邱 琳,周 杰,,李春梅,菊池久和

(1.南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,南京 210044;2.國立新瀉大學(xué) 電氣電子工學(xué)科,新瀉950-2181,日本)

1 引 言

隨著無線通信的快速發(fā)展,為了提高頻譜利用率、抵抗多徑衰落以及抑制噪聲干擾,充分發(fā)揮MIMO等核心通信技術(shù)優(yōu)勢以及優(yōu)化天線陣列,無線信道要發(fā)展成為高速通信媒質(zhì)還面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。信號(hào)在復(fù)雜物理信道傳播過程中,由于散射體介質(zhì)的存在,導(dǎo)致信號(hào)產(chǎn)生路徑損耗、陰影效應(yīng)以及多徑衰落等。尤其信號(hào)多徑分量的空間分布影響無線鏈路的性能,不同條件下的多徑效應(yīng)導(dǎo)致信號(hào)可能發(fā)生平坦衰落、頻率選擇性衰落和時(shí)間選擇性衰落,嚴(yán)重影響接收信號(hào)質(zhì)量。為了獲得豐富的無線信道空時(shí)信息,各類空時(shí)信道模型相繼提出并被深入研究。近年來,基于幾何單反射模型如幾何單反射圓盤模型(Geometrically Based Single Bounce Circular Model,GBSBCM)以及幾何單反射橢圓模型(Geometrically Based Single Bounce Elliptical Model,GBSBEM)[1-12]得到了廣泛應(yīng)用,該類空時(shí)信道模型假設(shè)單個(gè)信號(hào)多徑分量經(jīng)過單個(gè)散射體僅發(fā)生一次反射。研究結(jié)果表明,GBSBCM能夠有效給出室外宏小區(qū)(macrocell)信號(hào)傳播信道空時(shí)特性[1,4,7],而GBSBEM能夠理想估計(jì)微小區(qū)(microcell)和室內(nèi)微微小區(qū)(picocell)環(huán)境[1,3,5]。但由于隨機(jī)分布的散射體導(dǎo)致信道環(huán)境更加復(fù)雜,進(jìn)行信道建模時(shí)還需要考慮局部散射體簇[13]和遠(yuǎn)散射體群[4,7]等不同情形。除了散射體分布的空間幾何形狀之外,散射體概率密度分布(Probability Density Distribution,PDD)也是幾何信道建模所要考慮的一個(gè)重要因素。許多研究在不同的空間幾何模型中采用了各種散射體PDD,如均勻分布[1-4]、高斯分布[5-7]、反拋物線分布[8]、指數(shù)分布[9]、瑞利分布[9]、圓錐分布[10]以及雙曲線分布[11]等。相關(guān)文章表示不同散射體分布適用不同的無線信號(hào)傳播環(huán)境,如高斯散射體分布模型[5]通過調(diào)整參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差可以適用于macrocell和picocell環(huán)境,瑞利散射體分布模型[9]可描繪室外microcell環(huán)境,指數(shù)散射體分布模型[9]能夠匹配室內(nèi)環(huán)境。

文獻(xiàn)[2-3]針對(duì)室外環(huán)境,提出一種空心圓模型,但沒能給出空時(shí)統(tǒng)計(jì)特性的解析表達(dá)式和詳細(xì)的分析。結(jié)合室外環(huán)境下的空心圓模型,考慮到室外microcell和室內(nèi)picocell環(huán)境中的基站(Base Station,BS)天線高度相對(duì)較低,而且散射體并不是緊密圍繞在移動(dòng)臺(tái)(Mobile Station,MS)周圍,提出了室內(nèi)環(huán)境下的空心圓模型。鑒于非均勻散射體密度模型在進(jìn)行信道參數(shù)分析時(shí),例如推導(dǎo)到達(dá)角(Angle of Arrival,AOA)和到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival,TOA)的邊緣PDD非常困難[4-11];同時(shí)也考慮到小尺度衰落信道下,散射體分布有趨近于均勻分布的可能性,本文采用散射體為均勻分布,并使用簡單方法嚴(yán)格推導(dǎo)出上行鏈路信道空時(shí)統(tǒng)計(jì)特性的解析表達(dá)式。

2 室外和室內(nèi)空間幾何信道模型以及聯(lián)合概率密度函數(shù)

圖1所示為文獻(xiàn)[2-3]所提出的室外空心圓模型,其中BS位于直角坐標(biāo)系(x,y)的原點(diǎn),MS位于坐標(biāo)(x,y)=(D,0),散射體均勻隨機(jī)分布在以MS為中心的空心圓內(nèi)。對(duì)于圖2,BS與MS之間通信距離相對(duì)較短,散射體均勻分布在包含BS與MS的空心圓中。為簡化推導(dǎo)信道參數(shù),進(jìn)行如下假設(shè):接收信號(hào)為平坦波形;單個(gè)散射體為全方向散射元,散射體之間不相關(guān);BS和MS均使用全向天線,并忽略極化影響。

圖1 室外環(huán)境下的空心圓模型Fig.1 Hollow-disc model for outdoor environment

圖2 室內(nèi)環(huán)境下的空心圓模型Fig.2 Hollow-disc model for indoor environment

由于本文采用散射體均勻分布,圖1和圖2所示的二維空間空心圓模型的散射體概率密度為

式中,r和R分別表示空心圓內(nèi)外徑,D表示收發(fā)機(jī)間距。當(dāng) r※R時(shí),空心圓模型退化成均勻散射體分布圓環(huán)模型,如Lee模型;同樣r=0時(shí),空心圓模型就成為GBSBCM。下面進(jìn)行推導(dǎo)空時(shí)聯(lián)合概率密度一般表達(dá)式,將二維直角坐標(biāo)系下的(x,y)用極坐標(biāo)表示,即

式中,θb表示上行鏈路到達(dá)信號(hào)多徑分量的AOA;rb表示BS與單個(gè)散射體間距,可由時(shí)延τ和θb來表示:

式中,c表示光速。由文獻(xiàn)[1]可知,對(duì)于任意散射體密度分布的空時(shí)聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為

將公式(1)代入式(4),就得到非視距(Non Line of Sight,NLOS)情況下的空時(shí)聯(lián)合概率密度函數(shù)

若考慮信號(hào)存在視距(Line of Sight,LOS)分量,即 τ=D/c以及θb=0,將公式(5)應(yīng)用洛必達(dá)法則

聯(lián)合公式(5)～(7),可求得LOS的空時(shí)聯(lián)合概率密度。綜上所述,兩種空心圓幾何信道模型的空時(shí)聯(lián)合概率密度函數(shù)表達(dá)式均可表示為

將rb=D代入公式(3)可得出

圖3和圖4分別給出了對(duì)應(yīng)圖1和圖2的聯(lián)合概率密度譜。當(dāng)空心率r/R較小時(shí),圖3所示在室外macrocell通信環(huán)境下,接收信號(hào)概率密度在小角度到達(dá)相對(duì)較高,仿真結(jié)果和文獻(xiàn)[1-3]相同;而圖4給出室內(nèi)microcell和picocell通信環(huán)境,接收信號(hào)表現(xiàn)出集中分布在全方位和短時(shí)延[14]。但空心率的增加,受MS周圍遠(yuǎn)處散射體的影響,BS所接收信號(hào)經(jīng)歷角度到達(dá)和時(shí)延也不斷增大;尤其r※R時(shí),可以直觀看出室外空心圓模型趨近于圓環(huán)模型時(shí),空時(shí)聯(lián)合PDD呈“U型”分布[16],而室內(nèi)空心圓模型的空時(shí)聯(lián)合PDD呈“V型”分布。文獻(xiàn)[6]指出在靠近LOS的區(qū)域內(nèi),聯(lián)合概率密度急劇增加,如圖3和圖4所示r/R=0的情況。這是因?yàn)榭諘r(shí)聯(lián)合PDD函數(shù)在NLOS情況下存在兩個(gè)峰值點(diǎn)為其中以及。當(dāng)多徑信號(hào)分量趨向于并且過渡到LOS這條路徑時(shí),聯(lián)合概率密度就急劇下降,說明信號(hào)在LOS上的概率密度較低。

圖3 室外空心圓模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)(R=100 m,D=1 000 m)Fig.3 The joint PDF of outdoor hollow-disc model(R=100 m,D=1 000 m)

圖4 室內(nèi)空心圓模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)(R=10m,D=8 m)Fig.4 The joint PDF of indoor hollow-disc model(R=10m,D=8 m)

3 AOA邊緣概率密度函數(shù)

推導(dǎo)圖1所示的空間幾何模型,為簡便運(yùn)算推導(dǎo)AOA邊緣概率密度函數(shù),可采取對(duì)公式(5)在距離rb上積分,積分結(jié)果為[1]

式中,A為空心圓的面積。由式(1)可知散射體分布有效范圍為

變量 rb1(r,R)(θb)和 rb2(r,R)(θb)的值可通過將公式(3)代入上式,所求得上下限分別為

參數(shù) rb1r(θb)、rb2r(θb)、rb1R(θb)和 rb2R(θb)定義可參照?qǐng)D 1和圖 2。對(duì)于 θb∈[-arcsin(r/D),+arcsin(r/D)],此時(shí)AOA邊緣概率密度函數(shù)為

對(duì)于 θb∈(±arcsin(r/D),±arcsin(R/D)],AOA 邊緣概率密度函數(shù)為

圖2所示室內(nèi)空心圓的 AOA,只需用到rb1r(θb)、rb2r(θb)和 rb2R(θb)這3 個(gè)參數(shù)。由于 BS被包含在空心圓內(nèi),所以推導(dǎo)AOA要進(jìn)一步分為r≤D 以及r>D 這兩種情況,當(dāng) r≤D 以及 θb∈[-arcsin(r/D),+arcsin(r/D)],AOA邊緣概率密度函數(shù)為

當(dāng)r>D 時(shí)以及θb∈[-π,π],AOA邊緣概率密度函數(shù)為

4 TOA邊緣概率密度函數(shù)

對(duì)于任意散射體密度函數(shù),即使均勻分布,由公式(9)可以看出,直接對(duì)角度 θb積分從而獲得TOA的解析表達(dá)式非常困難。因此可先推導(dǎo)TOA的累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function,CDF),然后對(duì)CDF關(guān)于時(shí)延τ求導(dǎo),即可得到TOA的解析表達(dá)式。按照本文所假設(shè)的條件,對(duì)于所有時(shí)延為τ的接收信號(hào)所經(jīng)過的散射體均應(yīng)分布在同一個(gè)橢圓上,CDF應(yīng)是此橢圓與空心圓的加權(quán)相交面積(用Aτ(τ)表示)。

以室外環(huán)境下空心圓的TOA推導(dǎo)為例,如圖5所示,Aτ(τ)是區(qū)域AEGFA面積的2倍。橢圓與空心圓外徑和內(nèi)徑相交點(diǎn)分別記為F和G,則∠BMF和∠BMG均為上行鏈路信號(hào)的方位角,分別記為α1和 α2。

圖5 室外空心圓模型的TOAFig.5 TOA of outdoor hollow-disc model

圖5中橢圓與外圓和內(nèi)圓相交面積分別為

將公式(18)除以空心圓面積A,再對(duì)時(shí)延 τ求導(dǎo)可得到解析表達(dá)式為

其中參數(shù)ki(i=0,1,2,3,4)如下所示:

由圖5可以看出,隨延時(shí) τ增加,橢圓不斷變化,橢圓與空心圓的相交面積 Aτ(τ)也不斷變化。當(dāng) τ∈(D/c,(2r+D)/c],有

對(duì)上式關(guān)于 τ求導(dǎo),得到TOA邊緣概率密度函數(shù)為

將公式(20)(除了系數(shù)項(xiàng) c/(πR2-πr2))和(21)中的 R均用r代替,即可得到 fr(τ)。當(dāng)τ∈((2r+D)/c,(2R+D)/c],可得到此時(shí)的TOA邊緣概率密度函數(shù)

對(duì)于LOS情況下的 fτ(τ)可以由公式(9)求得:

綜上所述,室外空心圓的TOA邊緣概率密度函數(shù)解析表達(dá)式為

對(duì)于圖6所示室內(nèi)空心圓的TOA,時(shí)延為τ所對(duì)應(yīng)的橢圓的面積為

圖6 室內(nèi)空心圓模型的TOAFig.6 TOA of indoor hollow-disc model

從圖6可看出,Aτ(τ)不但與橢圓變化有關(guān),還與線段BE和內(nèi)徑r之間的大小關(guān)系有關(guān)。類似室外空心圓模型TOA的推導(dǎo),在R-r≤D時(shí),TOA邊緣概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式可以歸納為

上式中的fE(τ)為公式(27)關(guān)于延時(shí) τ求導(dǎo)的結(jié)果;以及R-r>D時(shí)的TOA邊緣概率密度函數(shù)解析表達(dá)式

綜上所述,室內(nèi)空心圓的TOA概率密度函數(shù)解析表達(dá)式可歸納為

5 仿真結(jié)果

5.1 AOA結(jié)果分析

圖7給出了室外空心圓幾何模型在macrocell和microcell環(huán)境下的AOA分布情況,而圖8仿真了室內(nèi)空心圓幾何模型在microcell和picocell環(huán)境下的AOA分布情況。在空心率較小時(shí),圖7清晰顯示接收信號(hào)多徑分量約束在小角度達(dá)到[1-3,16],而圖8中AOA范圍包含各個(gè)方向[14]。由圖7和圖8可看出,除了空心率 r/R=0或者 r/R※1,其余每條AOA分布曲線都有兩個(gè)極大值,分別出現(xiàn)在 θb=±arcsin(D/R),這是單個(gè)信號(hào)多徑分量 BS與內(nèi)徑為r的圓環(huán)相切的結(jié)果,如圖6所示。但圖8顯示當(dāng)r>D時(shí),即使空心率繼續(xù)增加,極值點(diǎn)也不會(huì)出現(xiàn)。這是因?yàn)閞變化到r>D時(shí),多徑分量BS不可能和內(nèi)徑為r的圓環(huán)相切,此時(shí)AOA曲線變得平滑連續(xù)。

Jiang[14]指出對(duì)于均勻分布散射體模型,AOA分布僅依賴于D/R。對(duì)于空心圓模型,AOA分布除了與D/R有關(guān),還受空心率影響?？招穆实淖兓瘺Q定了AOA的極大值變化,并且隨著空心率的增加,AOA分布偏向于大角度。圖7中的D/R決定接收信號(hào)AOA范圍;在圖8中,當(dāng)D/R取值較大時(shí),如子圖(a)和(c)所示D/R=0.8時(shí),對(duì)于室內(nèi)環(huán)境下的AOA概率密度基本上都集中在(-100°,100°)范圍內(nèi)[14],并且隨著D/R減小,比較圖8中的(a)與(b)可知,角度擴(kuò)展逐漸增大[14-15]。

圖7 室外空心圓模型在macrocell和microcell環(huán)境下的AOA邊緣PDDFig.7 The marginal PDD of AOA in macrocell and microcell environment for outdoor hollow-disc model

圖8 室內(nèi)空心圓模型在microcell和picocell環(huán)境下的AOA邊緣PDDFig.8 The marginal PDD of AOA in microcell and picocell environment for indoor hollow-disc model

文獻(xiàn)[1]和[5]指出無論是macrocell環(huán)境下的GBSBCM,還是microcell環(huán)境下的GBSBEM,AOA的PDD變化近似服從余弦分布或者高斯分布,如圖7和圖8中的(a)。Janaswamy[5]驗(yàn)證改變散射區(qū)域大小,高斯散射體分布能模擬macrocell以及picocell環(huán)境,而且高斯分布更適用室外環(huán)境。Jiang[9]也指出瑞利散射體分布模型隨著D/R增加,其AOA分布更加靠近高斯分布,從而適應(yīng)室外microcell環(huán)境。在本文的室內(nèi)空心圓模型中,以圖8中子圖(a)和(b)為例,空心圓退化成GBSBCM時(shí),用最小二乘法擬合,可以得到D/R※1的AOA分布與標(biāo)準(zhǔn)差為35.9°的零均值高斯分布相一致。而且隨著D/R增加,AOA分布更接近高斯分布,因此圖2所示的空心圓幾何模型也可以適用于室外microcell環(huán)境。

5.2 TOA結(jié)果分析

圖9和圖10分別給出了兩種空心圓幾何模型的TOA邊緣PDD示意圖。圖9顯示接收信號(hào)在短時(shí)延出現(xiàn)概率較高,而且空心圓退化成圓盤模型或圓環(huán)模型時(shí),不會(huì)出現(xiàn)極大值[1-3]。與圖9相比較,圖10顯示的PDD變化波動(dòng)較小,每條TOA曲線的首個(gè)極大值出現(xiàn)于同一時(shí)延,而第二個(gè)極大值和圖9中的極大值一樣,都隨著空心率的增大而向長時(shí)延靠攏。由圖6可以看出,無論空心率r/R如何變化,在延時(shí) τ所對(duì)應(yīng)的橢圓變化過程中,某一時(shí)刻橢圓必然內(nèi)切于外徑為R的圓。而且本文假設(shè)散射體服從均勻隨機(jī)分布,所以某一時(shí)刻的TOA概率大小可以看作是橢圓位于空心圓內(nèi)的加權(quán)有效長度。因此無論r/R如何變化,在橢圓內(nèi)切于外徑為R的圓時(shí),即時(shí)延τ為(2R-D)/c時(shí),橢圓加權(quán)有效長度AEG第一次達(dá)到最大值,如圖6所示。對(duì)于第二個(gè)極大值,即有效長度CHF,出現(xiàn)的時(shí)延τ均為(2r+D)/c。

TOA的PDD同樣受到 r/R與D/R變化影響。空心率r/R決定了圖9中的極大值點(diǎn)以及圖10中的第二個(gè)極大值點(diǎn)的變化;D/R不但決定最大時(shí)延也影響圖10中的第一個(gè)極大值。圖9中空心圓模型的TOA分布仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[1-3]完全相同;圖10顯示改進(jìn)空心圓模型的TOA分布比較平坦,但漸變?yōu)閳A環(huán)模型時(shí),和圖9類似,此時(shí)TOA呈“U型”分布,體現(xiàn)了室外和室內(nèi)環(huán)境下圓環(huán)模型的TOA分布特征。

圖9 室外空心圓幾何模型在macrocell和microcell環(huán)境下的TOA邊緣PDDFig.8 The marginal PDD of TOA inmacrocell and microcell environment for outdoor hollow-disc model

圖10 室內(nèi)空心圓幾何模型在microcell和picocell環(huán)境下的TOA邊緣PDDFig.10 The marginal PDD of TOA in microcell and picocell environment for indoor hollow-disc model

6 結(jié)束語

本文考慮了兩種基于空心圓散射體二維空間幾何信道模型,采用AOA與TOA聯(lián)合算法研究無線信道上行鏈路統(tǒng)計(jì)特性。仿真結(jié)果表明,在室外空心圓模型體現(xiàn)macrocell環(huán)境下,BS接收信號(hào)多徑分量多以小角度方位角和長時(shí)延;改進(jìn)的空心圓模型呈現(xiàn)出室內(nèi)傳播環(huán)境以及室外microcell環(huán)境的信道信息,BS接收信號(hào)為短時(shí)延,來波方向集中分布在(-100°,100°)。這在深入分析信號(hào)衰落包絡(luò),為 BS設(shè)計(jì)定向天線以及獲得多普勒頻譜有著重要的參考價(jià)值與應(yīng)用。本文可以推廣研究任意非均勻散射體分布下的二維或三維空間空心圓幾何模型。

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