許 璐，趙聞達(dá)

（1.江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056； 2.明尼蘇達(dá)大學(xué)雙城分校 數(shù)學(xué)系，美國(guó) 55414）

復(fù)合二項(xiàng)分布模型的破產(chǎn)概率及其漸近估計(jì)

許 璐1，趙聞達(dá)2

（1.江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056； 2.明尼蘇達(dá)大學(xué)雙城分校 數(shù)學(xué)系，美國(guó) 55414）

運(yùn)用古典概率的有關(guān)知識(shí)，通過(guò)建立合適的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出了復(fù)合二項(xiàng)分布的破產(chǎn)概率的顯式解，進(jìn)而得到了它的漸近估計(jì)表達(dá)式。所得結(jié)論包含了有關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果。

復(fù)合二項(xiàng)分布；最終破產(chǎn)概率；顯式解；漸近估計(jì)

0 引言

文獻(xiàn)[1-2］通過(guò)利用計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)一些具體分布的破產(chǎn)概率進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算分析，文獻(xiàn)[3］對(duì)任意的初始盈余與任意索賠額給出了相應(yīng)的破產(chǎn)概率的遞推解和變換解，文獻(xiàn)[4-7］僅僅給出了有限時(shí)間生存概率的顯式解，但是都沒(méi)有討論保險(xiǎn)公司破產(chǎn)規(guī)律的漸近估計(jì)。文獻(xiàn)[8-10］討論了χ2分布、幾何分布和Gamma分布的破產(chǎn)問(wèn)題及其漸近估計(jì)。本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上討論并得出了復(fù)合二項(xiàng)分布的破產(chǎn)概率的顯式解，并得到了它的漸近估計(jì)。

1 模型的描述

考慮一個(gè)保險(xiǎn)公司，用ut表示在時(shí)刻t（t≥0）的盈余，初始盈余為u0=u。假設(shè)u是非負(fù)且已知，那么｛ut｝即是連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程。確切地，有ut=u+ct-St，c為常數(shù)，它表示單位時(shí)間里收到的保費(fèi)。因此，在（0，t）時(shí)間里收到的總保費(fèi)為ct， 記為這一時(shí)間里索賠總額，其中Nt為（0，t）里索賠次數(shù)?，F(xiàn)在假設(shè)｛N（t）；t≥0｝是參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，Xi（i=0，1，2，…，Nt）是第i次索賠額，進(jìn)一步假設(shè)Xi是獨(dú)立同分布的，而且Xi與N（t）獨(dú)立。由于Nt=0時(shí)St=0，所以｛St｝也符合泊松過(guò)程。它意味著在每一個(gè)區(qū)間（t，t+dt］里，要么沒(méi)有索賠（相應(yīng)的概率為1-λdt），要么發(fā)生一次索賠（相應(yīng)的概率為λdt）。

其中Λ＞0表示相對(duì)安全負(fù)荷，它意味著單位時(shí)間里收到的保險(xiǎn)費(fèi)多于單位時(shí)間里所支付的索賠額的期望值，這樣便有大于零，其中μ為個(gè)體索賠的平均值。

因?yàn)閡n表示時(shí)刻n的盈余，而u0=u為初始盈余（約定u0非負(fù)），那么｛un；n≥0｝就是一個(gè)離散隨機(jī)過(guò)程。因此有un=u+cn-Sn，n=0，1，2，…，而Sn=X1+X2+…+XN（n）表示至?xí)r刻n時(shí)的索賠總額。由模型的實(shí)際情況有S0=0，Nn=ξ1+ξ2+…+ξn（N（0）=0）至?xí)r刻n時(shí)的索賠次數(shù)。假設(shè)｛N（n）；n≥0｝服從參數(shù)為p的二項(xiàng)過(guò)程，而ξ1，ξ2，…，ξn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，記

那么｛Sn；n≥0｝復(fù)合二項(xiàng)序列。

設(shè)ut（t＞0）是一負(fù)值時(shí)，約定保險(xiǎn)公司破產(chǎn)，記ψ（u）為這一事件的發(fā)生概率，可以把它視為初始盈余u的一個(gè)函數(shù)。進(jìn)一步地，ψ（u，t）表示時(shí)刻t以前發(fā)生破產(chǎn)的概率。記T=inf｛t|ut＜0｝為破產(chǎn)發(fā)生的時(shí)刻。

如果對(duì)任意的t，都有ut＞0，則約定T=∞，便有ψ（u）=P[T＜∞］和ψ（u，t）=P[T＜t］[11-13］。

2 主要結(jié)果

引理[14］設(shè)ξ1，ξ2是兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量，則ξ1+ξ2也是連續(xù)隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)是它們兩個(gè)密度函數(shù)的卷積。

定理1 假設(shè) ｛Sn；n≥0｝是復(fù)合二項(xiàng)過(guò)程，且在每個(gè)單位時(shí)間初始收取一個(gè)單位保費(fèi)，約定Xi一個(gè)整數(shù)，那么在前面模型的條件下，保險(xiǎn)公司最終的破產(chǎn)概率為

證明由離散模型及全概率公式有

所以ψ（0）=μp。

再由（5）式得到

且（4）式得證。

特別地，若

此結(jié)果即是文獻(xiàn) [15］中的賭博破產(chǎn)問(wèn)題的概率。

定理2 在前面模型的描述下，保險(xiǎn)公司最終破產(chǎn)概率的漸近估計(jì)為

證明由定理1，我們有

因此（6）式得證。

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XU Lu1，ZHAO Wen-da2
（1.School of Mathematics and Computer Sciences，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China；2.Department of Mathematics，University of Minnesota Twin Cities，55414，USA）

The classical probability theory is used to derive solution of the ultimate ruin probability in a compound binomial distribution model，and its asymptotic estimation is obtained.The conclusion has improved the result in related literature.

compound binomial distribution；ultimate ruin probability；explicit expression；asymptotic estimate

O211.67

：A

：1673-0143（2012）03-0019-03

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

2012-03-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 （10961003）；江西省教育廳科學(xué)計(jì)劃項(xiàng)目 （GJJ08338）

許 璐 （1969—），男，副教授，研究方向：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。