倪平濤，劉德剛，曲文強(qiáng)

（1 廣東南車軌道交通車輛有限公司，廣東江門529000；2 中國南車集團(tuán) 青島四方機(jī)車車輛股份有限公司高速列車系統(tǒng)集成國家工程實驗室，山東青島266111）

輪軌接觸幾何關(guān)系計算是機(jī)車車輛動力學(xué)的基礎(chǔ)，西南交通大學(xué)王開文提出的“跡線法”開創(chuàng)了我國輪軌接觸幾何研究的新階段［1］，為分析滾動振動臺試驗與車輛實際線路運(yùn)行特性的差異有貢獻(xiàn)，張衛(wèi)華參照“跡線法”的思路推導(dǎo)了輪輪接觸幾何關(guān)系計算公式，將輪輪接觸點的尋找簡化為一維搜索［2］。隨著我國多個滾動試驗臺的建成，為更好地發(fā)揮滾動試驗臺對機(jī)車車輛研發(fā)的指導(dǎo)作用，需要進(jìn)一步研究和明確輪軌、輪輪接觸幾何關(guān)系，與此同時，輪軌、輪輪接觸幾何方面的研究進(jìn)展也將促進(jìn)機(jī)車車輛仿真的深入及普及。本文在對輪軌接觸跡線法進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，提出一種簡潔、使用方便的輪輪接觸二維搜索計算方法，同時提供了一種快速搜索輪軌和輪輪接觸點的編程方法。

1 輪軌和輪輪接觸點計算公式的推導(dǎo)

在直線鋼軌上，由于直向半徑為無窮大，對于踏面已確定的輪對，輪軌接觸點跡線只與搖頭角和側(cè)滾角有關(guān)［1］；而對于輪輪接觸，還需考慮軌道輪的半徑和輪對初始位置。

1.1 輪軌、輪輪接觸坐標(biāo)系的建立

建立常用的機(jī)車車輛坐標(biāo)系，即以軌道輪對或輪對的幾何中心為原點，沿直線鋼軌前進(jìn)方向和軌道輪正位時的縱向為X軸，Z正向朝下的右手螺旋坐標(biāo)系。以軌道輪正位時的Or－XrYrZr為軌道輪對坐標(biāo)系（絕對坐標(biāo)系），輪對靜止時正位的O－XYZ坐標(biāo)系為輪對計算參考坐標(biāo)系（對于輪軌，則為輪對相對于軌道絕對坐標(biāo)系的輪對2運(yùn)動，反映輪對前進(jìn)、橫移、搖頭和側(cè)滾等5個方向運(yùn)動的輪對本體坐標(biāo)系。由于軌道輪對必須與車輛的輪對擺放位置相對應(yīng)，車輛輪對與軌道輪對不應(yīng)存在初始的搖頭角，否則就會出現(xiàn)輪對偏移甚至輪緣接觸，當(dāng)軌道輪對反轉(zhuǎn)時，偏移方向發(fā)生改變，出現(xiàn)這種現(xiàn)象后試驗不能進(jìn)行，即使強(qiáng)制進(jìn)行試驗，測試結(jié)果也不準(zhǔn)確，但滾動臺的軌道輪對位置可以與車輛在定距、軸距存在差異，輪對可能并不位于軌道輪對的頂點，即O－XYZ與Or－XrYrZr，在X方向可能存在初始的位移差xw0，但不會出現(xiàn)搖頭角差。設(shè)xw、yw、zw為滾動臺試驗時和線路上運(yùn)行時Ow－XwYwZw原點即輪對幾何中心相對于O－XYZ的3個方向平動位移，φw、θw為輪對的搖頭角及側(cè)滾角，如圖1、圖2。為了推導(dǎo)的方便性，不失一般性，這里假定xw0、xw、yw、zw、φw、θw為正值，下面以右側(cè)為例推導(dǎo)輪輪和輪軌接觸的坐標(biāo)求解公式。

圖1 輪軌接觸幾何關(guān)系分析示意圖

圖2 輪輪接觸幾何關(guān)系分析示意圖

在圖2中，過輪輪接觸點C作法線，其與輪對實際中心線相交于O1、與軌道輪對中心線相交于O4，車輪實際滾動圓圓心為O2，O3為軌道輪的圓心。

1.2 直線軌道上輪軌接觸點的計算

當(dāng)輪對有搖頭角φw和側(cè)滾角θw的位移時，輪對實際中心線相對于O－XYZ坐標(biāo)系的方向余弦為：

對于待求的輪輪和輪軌接觸點C（x，y，z），必在與輪對中心線垂直的平面（式2）、球面（式3）相交的圓周上，在O－XYZ坐標(biāo)系中的方程為：

R為實際滾動圓半徑，恒取正；x o2、y o2和z o2為實際滾動圓圓心O2在O－XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

dw為實際滾動圓圓心O2在Ow－XwYwZw坐標(biāo)系中距輪對中心的距離，與Yw正向相同的右側(cè)取正，與Yw負(fù)向相同的左側(cè)取負(fù)。

對于在直線鋼軌上的輪軌接觸點，通過接觸點的法線恒與鋼軌橫截面YOZ平行，即輪軌接觸點和法線與輪對中心線的交點O1的x坐標(biāo)相等。

式（5）在圖形上表現(xiàn)為一個同X軸垂直的平面，它與平面（2）、球面（3）相交的圓周上有上下兩個交點，其中下部交點為輪軌接觸點；δ為踏面接觸角。

如圖1所示，對于O1點，以右側(cè)為例，其x坐標(biāo)值應(yīng)比實際滾動圓圓心O2的x坐標(biāo)值大，由于l x為負(fù)值，故右側(cè)接觸角δ必取正值才能滿足等式（5）；對于左側(cè)輪軌接觸點，則剛好相反，左側(cè)接觸角δ必取負(fù)值。只有進(jìn)行這樣的處理，才能使式（5）同時滿足左右側(cè)輪軌接觸點，方程才能得以統(tǒng)一和后續(xù)過程一起推導(dǎo)。

令

則式（2）、（3）簡化為：

聯(lián)立式（7）、式（8），用x t表示y t、z t：

由式（7）得：y t＝－代入式（8）并整理得：

對于根號內(nèi)部，令：

由式（9）得到：

對于式（10），由于搖頭角φw和側(cè)滾角θw均很小，由l y＝cosθwcosψw可知l y恒為正值，且左右輪軌接觸點為滾動圓的下部交點，即z值正向一則，故表達(dá)式的“±”取“＋”，式（10）簡化為：

由式（7）、式（8）可知，y t和z t具有對稱性和交換性，只需將式（10）中l(wèi)的下標(biāo)y、z互換即可得到y(tǒng) t的表達(dá)式：

對于y t的表達(dá)式（12），當(dāng)輪對的側(cè)滾角θw＞0時，l z＝sinθw＞0，左右側(cè)實際輪軌接觸點y值均小于對應(yīng)的由式（2）、式（3）和式（5）相交得到的上部交點的y值（備注：圖1中為了看圖清晰，θw為負(fù)值），故“±”取“－”；當(dāng)θw＜0時，l z＝sinθw＜0，左右側(cè)輪軌接觸點的y值均大于對應(yīng)上部交點的y值，“±”取“＋”，但此時l z去掉絕對值時前面取負(fù)，故“±”仍取“－”，式（12）則簡化為：

由式（5）得，x t＝x－x o0＝－l x Rtanδ，則：

令m＝，聯(lián)合式（5），（6），（11），（13）和式（14），并整理得左右輪軌接觸點在輪對平移坐標(biāo)系O－XYZ中的坐標(biāo)值為：

式（15）與文獻(xiàn)［4］在表達(dá)式中正負(fù)號不同，這里對于dw和δ正負(fù)取值規(guī)定為與Yw正向相同的右側(cè)均取正，與Yw負(fù)向相同的左側(cè)均取負(fù)，這樣便于記憶和使用。從上述推導(dǎo)過程可知：文獻(xiàn)［1］和［4］中公式的正負(fù)號均有誤。

需要說明的是由于式（15）含有xw，yw，zw，為了保持與文獻(xiàn)［4］的連貫性和便于使用，式（15）中的x o2，y o2和z o2的表達(dá)式與本文中的式（4）有差異（下同）。若只求單個輪軌接觸點，接觸點與xw，zw無關(guān)，在式（15）可不考慮，在求輪軌壓縮量時才會使用到zw。

1.3 直線鋼軌上Z軸正向朝上的輪軌接觸點計算

在1.2節(jié)介紹機(jī)車車輛慣用的Z軸正向朝下的坐標(biāo)系得到的輪軌接觸點計算公式。若使用汽車運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)中常用的Z軸正向朝上，X軸仍向前，Y軸正向隨著向左的坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，式（1），（2），（3）并沒有改變；為使左右輪軌接觸點均滿足式（5），對于dw和δ正負(fù)取值：與Yw正向相同的左側(cè)均取正，與Yw負(fù)向相同的右側(cè)均取負(fù)，這一點剛好與1.1節(jié)在機(jī)車車輛慣用的Z軸正向朝下的坐標(biāo)系相反，但兩者存在相同點：與Y正向相同一側(cè)的dw和δ均取正、與Y負(fù)向相同一側(cè)均取負(fù)。對于式（11），當(dāng)Z軸向上時，接觸點在滾動圓的下部即Z正向下部，應(yīng)取較小值，則式（11）根號前面取負(fù)值；對于式（12），根號前面則取正值；對xw、zw的處理，與前述相同。在該輪對平移坐標(biāo)系下O－XYZ的左右輪軌接觸點的坐標(biāo)計算公式為：

只有在直線軌道上通過接觸點的法線才會鋼軌的橫截面YOZ平行，才會有簡潔的表達(dá)式（5），故公式（15）、（16）在理論上并不適應(yīng)于在過渡曲線和圓曲線。對于R300 m的曲線，通過輪軌接觸法線與YOZ平面的夾角數(shù)量級為10－5rad，故在考慮外軌超高的條件下，工程上式（15），（16）在過渡曲線和圓曲線上具有足夠的精度，可以近似使用。

1.4 單個和多個輪軌接觸點的尋找方法

上述式（15）和（16）只是得到了在輪對為某一搖頭角φw和側(cè)滾角θw的情況下接觸點所確定的空間坐標(biāo)。當(dāng)dw從輪緣最低點開始往踏面外端以某一間隔如0.1，0.05 mm進(jìn)行離散，這樣在輪緣和踏面上可能的接觸點組成的一條空間曲線，即文獻(xiàn)［1］稱之的跡線。在車輪的輪緣、踏面和鋼軌的頂面、側(cè)面在經(jīng)過離散和曲線擬合后，主曲率半徑、橫向曲率半徑和接觸角等所需原始參數(shù)同時得到，并用文件保存，在程序中則用數(shù)組表示。在考慮左右鋼軌人為下沉，鋼軌橫移、浮沉、含軌底坡的翻轉(zhuǎn)和不平順的條件下，經(jīng)過坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為輪對參考坐標(biāo)系O－XYZ的數(shù)值（人為下沉了zs的其他坐標(biāo)系亦可，下同），由于直線鋼軌接觸點的確定與X向無關(guān)，只需將鋼軌和踏面Y坐標(biāo)相同點的Z值相減，比較后得到左右兩側(cè)各自的最小間隙ΔZminL和ΔZminR，若不相等，則不斷改變側(cè)滾角θw，直到當(dāng)左右兩側(cè)最小值的差值絕對值小于某一數(shù)值如10－4mm時，即可尋找到接觸點，具體可見參考文獻(xiàn)［1，5］。

當(dāng)將鋼軌側(cè)面和頂面劃分為兩個或多個區(qū)域時，在某一側(cè)滾角時無需迭代，利用上述方法，即可判斷和得到兩點和多點接觸，并直接求出各處的法向力，具體可參考文獻(xiàn)［5］，注意文獻(xiàn)［5］中左右輪軌接觸點的計算公式應(yīng)替換為本文中的式（15）或（16）。

2 輪輪接觸點的計算和尋找方法

滾動臺分為軌道輪無激振的純滾動臺和具備橫向與垂向激振的滾振臺，為了模擬曲線通過軌道輪還可以搖頭，如已拆除的德國慕尼黑的滾動臺，這里以慕尼黑滾動臺為例進(jìn)行推導(dǎo)輪輪接觸點的求法。在此之前應(yīng)先對含有軌底坡的軌道輪從軌距點開始，沿軸線方向進(jìn)行離散和曲線擬合，并得到各點的實際滾動圓半徑、橫向曲率半徑等，用文件保存，在程序中使用數(shù)組形式。

對于輪輪接觸，除需象輪軌接觸一樣考慮輪對的搖頭及側(cè)滾外，還要考慮軌道輪半徑和初始位置。對于輪輪和輪軌的接觸點，均在與輪對中心線垂直的平面（2）、球面（3）相交圓周上，但與輪軌接觸點相比，通過輪輪接觸點的法線并不與YOZ平面平行，存在夾角ε，即點O1與接觸點的x坐標(biāo)并不相等，見圖2。為此，這里在機(jī)車車輛慣用的坐標(biāo)系下采用同在一定范圍離散的x得到x t，并由式（13）得到y(tǒng) t，進(jìn)而得到y(tǒng)，由x、y進(jìn)行二維搜索。在O－XYZ坐標(biāo)系下，對輪緣和踏面，軌道輪側(cè)面和頂面上的x、y坐標(biāo)均相同對應(yīng)點的z坐標(biāo)相減。輪緣和踏面上的接觸點z坐標(biāo)由式（18）給出。為此，必須求得軌道輪上相對于坐標(biāo)系O－XYZ的zr坐標(biāo)表達(dá)式。

雖然軌道輪上x坐標(biāo)也不影響輪輪接觸幾何參數(shù)［3］，但接觸斑在x方向可能有一個斜坡，而在該接觸斑上所求的輪輪蠕滑力必須投影到坐標(biāo)系O－XYZ上。因此，理論上應(yīng)考慮O－XYZ相對于Or－XrYrZr的初始平移xw0和輪輪接觸點的x位移。在坐標(biāo)系OXYZ上，zr坐標(biāo)表達(dá)式為：

其中R0、Rr0并不是車輪和軌道輪的名義滾動圓半徑，而是分別為車輪和軌道輪的正位接觸時的滾動圓半徑，此時輪對的搖頭角和側(cè)滾角均為零，且左右車輪和軌道輪接觸點的各參數(shù)一致，可通過調(diào)試程序得到，這一點與輪軌接觸相同，zrir為軌道輪的垂向激勵位移。由于在Y向軌道輪上各處的實際半徑Rr并不相等，通過由式（13）給出的輪輪接觸點y坐標(biāo)與軌距點的橫向位移的距離 即“y－b g－yrir”，在以橫向距離為橫軸的軌道輪初始離散數(shù)據(jù)列表中比較，插值即可得到實際的軌道輪半徑Rr，其中，b g為軌道輪軌距之半，與Y正向相同的一側(cè)取正，另一側(cè)取負(fù)；當(dāng)軌道輪有搖頭角φr時，則通過“y－b g－yrir－（xw0＋x）cosφr”比較。輪輪接觸點的計算公式為式（18），由x和通過x t得到的y經(jīng)過二維搜索得到z，具體與輪軌接觸類似，參見文獻(xiàn)［1］，［5］。

當(dāng)采用Z軸向上的汽車運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)的常用坐標(biāo)系時，對比式（16），輪輪接觸點的求解公式如下：

對軌道輪模擬的不平順值yrir、zrir和φr，在式（18），（19）中以各自的坐標(biāo)正向為正。輪軌與輪輪接觸點的尋找相比，前者為一維掃描搜索，只需利用Y坐標(biāo)相同條件下車輪和鋼軌Z坐標(biāo)相減，得到各點的輪軌間隙，而Y值通過dw等可直接求出；后者為二維掃描搜索，除Y坐標(biāo)外，還應(yīng)補(bǔ)充X坐標(biāo)，x在一定范圍內(nèi)給定并離散，y坐標(biāo)通過x t、dw等求出，其余搜尋工作與前者相似。在單點輪軌接觸中應(yīng)用的搜索方法在輪輪接觸中同樣適用。

由上述分析可知：即使軌道輪對的踏面為圓柱面即半徑恒不變，鑒于輪輪接觸點的法線并不與軌道輪對的YOZ平行，在輪輪接觸中接觸點的X坐標(biāo)并不存在本文中簡潔的式（5），且軌道輪對存在有限的半徑值和實際半徑是變化的，理論上輪輪接觸點的求解只能由二維搜索而不能由一維搜索得到，雖然輪軌接觸點的求解可由軌道輪對半徑取無限大如106 m退化得到，但仍為二維搜索，不如式（15）和（16）的一維搜索方便和快捷，文獻(xiàn)［2］的方法值得商榷。

對于車輛在滾動臺上的試驗，一樣會出現(xiàn)多點接觸，某型動車組由于踏面磨耗量較大在試驗時就出現(xiàn)過這種情況，相比單點接觸的車輛，滾動試驗表明噪聲顯著增大。與輪軌接觸一樣，由于式（18），（19）時車輪上接觸點是完全脫離軌道輪對推導(dǎo)的，同輪軌的多點接觸類似，同樣可將軌道輪對的輪緣和頂面分成兩個或多個區(qū)域，無需側(cè)滾角的迭代，在每個區(qū)域?qū)ふ铱赡艿慕佑|點，計算各點的輪輪法向壓縮量，其法向力的計算公式具體可參見文獻(xiàn)［3］，這里不多贅述。

3 一種快速編程的搜尋方法

對于輪軌和輪輪接觸點的實時計算，每運(yùn)行一步應(yīng)根據(jù)當(dāng)前步的搖頭角和側(cè)滾角等應(yīng)重新尋找，而積分步長一般為0.1～1.0 ms，有的甚至更小，這樣當(dāng)前步的接觸點與上一步的接觸點相距很近，編程仿真時可記下某條輪對在上一輪中得到的實際輪軌或輪輪接觸點相關(guān)數(shù)組如dw，xw等的索引值如i＿search，在本輪循環(huán)中在i＿search的鄰域內(nèi)進(jìn)行搜索接觸點，以Fortran95的Do語句為例：Do i＝i＿search－k，i＿search＋k

k為鄰域值，可通過調(diào)試得到，k的取值與離散時的間隔有關(guān)，一般選20～50即可，隨著程序的進(jìn)行，i＿search被不斷地替換，可大大地縮小搜索范圍，當(dāng)搜索到接觸點時即可通過cycle或exit語句跳出循環(huán)，這樣極大地提高了計算速度。此方法特別適用于不需要側(cè)滾角迭代的機(jī)車車輛大系統(tǒng)動力學(xué)，對滾動臺上的動力學(xué)同樣適用。

4 結(jié)束語

在深入研究輪軌接觸“跡線法”的基礎(chǔ)上，給出了輪軌接觸跡線的正確表達(dá)公式，修正了常用文獻(xiàn)中的問題，有利于研究人員的進(jìn)一步應(yīng)用；在利用輪軌和輪輪共用方程基礎(chǔ)上，考慮了軌道輪的橫向、垂向和搖頭激擾及輪對相對于軌道輪的初始位移差，可全面地反映輪輪接觸的真實情況，從理論上證明了輪輪接觸只能是二維搜索，輪軌接觸可以將軌道輪半徑視為無窮大的二維搜索得到，但不能退化成一維搜索；提供的輪輪接觸點計算公式在數(shù)學(xué)表達(dá)式上和輪軌接觸計算公式具有表觀相似性，公式簡潔，使用方便。

［1］王開文.車輪接觸點跡線及輪軌接觸幾何參數(shù)的計算［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報，1984，（1）：89－99.

［2］張衛(wèi)華.空間狀態(tài)輪輪（軌）接觸點接觸點計算方法［J］.中國鐵道科學(xué)，2006，（4）：76－79.

［3］金學(xué)松.輪軌摩擦學(xué)［M］.北京：中國鐵道出版社，2004.

［4］瞿婉明.車輛－軌道耦合動力學(xué)（第3版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［5］倪平濤.磁流變輪對耦合器及其車輛動力學(xué)研究［D］.成都：西南交通大學(xué)，2007.