戴天虹，袁 博

(東北林業(yè)大學機電工程學院，哈爾濱150040)

混沌是一種低階確定性的非線性動力系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的非常復雜的行為，它對現(xiàn)代科學具有廣泛而深遠的影響，幾乎覆蓋了一切學科領域，尤其是在物理學天體力學、數(shù)學、生物學、經(jīng)濟學等方面得到了廣泛的應用［1］。我國的資本市場是一個具有分形維結構的混沌系統(tǒng)［2］。對股票市場進行混沌分析首先要先進行重構相空間。

1 相空間重構

動力系統(tǒng)重建稱為相空間重構。動力系統(tǒng)長期演化中任一變量的演化過程都包含了系統(tǒng)所有變量的信息，即通過單變量時間序列反向構造出原系統(tǒng)相空間結構。考慮系統(tǒng)的某一單變量時間序列 {xi|i=1，2，…，N}，時間間隔選取為Δt，就可從單變量時間序列 {xi|i=1，2，…，N}分析系統(tǒng)所有變量發(fā)展演化過程，其中蘊藏著參與該運動的全部變量的演化信息在相空間反向重構得到分析。相空間重構可從一維擴展到多維，這樣就能充分分析動力系統(tǒng)的所有信息?；煦缦到y(tǒng)有奇怪吸引子、分維數(shù)、正的Lyapunov特征指數(shù)等幾個特征量。重構相空間就是通過選擇合適的延遲時間和嵌入維數(shù)將原系統(tǒng)重構后，還原混沌系統(tǒng)的混沌吸引子，分析各個特征量。

Takens證明了一個合適的嵌入維，即如果延遲坐標維數(shù)m≥2d+1，d是動力系統(tǒng)的維數(shù)，利用原始系統(tǒng)中的某個單時間變量的延遲坐標來重構相空間，就可在重構相空間里把有規(guī)律的混沌吸引子恢復出來［3］。

設動力系統(tǒng)單時間變量x(t)，t=0，1，2，…，N，選取嵌入維數(shù)m;延遲時間τ，則m維相空間矢量:

式中:m為嵌入維數(shù);τ為延遲時間;N'=N－(m－1)τ表示m維相空間矢量的有效長度。

時間序列的相空間重構即由一維單變量時間序列重構出一個多維多變量的確定性相空間，即可把動力系統(tǒng)中蘊藏著參與該運動的全部信息發(fā)展變化重構出來。動力系統(tǒng)的相空間重構是混沌時間序列分析的基礎，并以此可對重構后的相空間進行研究。

重構相空間目前廣泛采用的延遲坐標狀態(tài)空間重構法，即求取延遲時間τ和嵌入維數(shù)m之后，可按照公式 (1)對單變量時間序列進行重構其相空間。

本文重構相空間采用互信息函數(shù)方法選取單變量時間序列延遲時間τ，互信息第一次達到最小時滯時作為相空間重構的延遲時間 τ［4］。利用 CAO方法求取嵌入維數(shù) m［5］。

2 混沌特性判定

混沌系統(tǒng)其對初始條件敏感的的依賴性，使動力系統(tǒng)中初始條件下微小的變化能帶動整個系統(tǒng)的長期的巨大連鎖反應。，這就是蝴蝶效應。這種局部不穩(wěn)定性和對初始值的極度敏感性，被用來判斷混沌的發(fā)生。另外，混沌吸引子通常都是非整數(shù)維的。如果序列中含有噪聲，也會存在混沌吸引子為整數(shù)維的情況。所以通過計算關聯(lián)維和最大Lyapunov指數(shù)檢驗混沌的存在［6］。

2.1 關聯(lián)維計算

吸引子維數(shù)最常用算法為格拉斯貝格爾(Grassberger)和普羅卡恰 (Procaccia)于1983年提出的計算關聯(lián)維數(shù)計算方法，稱為G－P算法［2］。

G－P算法步驟如下:

(1)設x1，x2，…，xn為給定的一組反映系統(tǒng)狀態(tài)的單變量時間序列，采用延遲坐標法，按照公式構造m維相空間。

yi= (xi，xi+τ，xi+2τ，…，xi+(m－1)τ)(i=1，2，…)式中τ為延遲時間。

(2)計算該狀態(tài)空間中yi的關聯(lián)積分

式中:ε為給定的常數(shù);N是構造矢量個數(shù)，N=n－ (m－1)p;‖yi－yi‖為yi，yj的范數(shù)，如取‖x‖=δ(x)為δ函數(shù)，δ(x)=

距離小于ε的矢量，稱為有關聯(lián)的矢量。關聯(lián)積分是關聯(lián)矢量在一切可能的N2中配對所占的比例程度。即n充分大、ε充分小時，關聯(lián)積分:

(3)對于ε的某一個適當范圍，吸引子的維數(shù)D與關聯(lián)積分C(ε)滿足對數(shù)線性關系D(m)=ln C(ε)/lnε。

(4)重構向空間后，即可增加狀態(tài)空間嵌入維數(shù)m，重復操作上述過程。如果單變量時間序列{xi}含有混沌吸引子，不斷增大狀態(tài)空間嵌入維數(shù)m，關聯(lián)維數(shù)Dm也會隨即增大，增長率會降低。狀態(tài)空間嵌入維數(shù)m增大到一定程度時，Dm就在一定誤差范圍內(nèi)保持穩(wěn)定而不再增大，并向飽和值D收斂。由此計算出混沌吸引子的關聯(lián)維數(shù)D。如果Dm不斷增大且增長率也無序變化并不收斂于一個飽和值，則該系統(tǒng)包含噪聲，是一個隨機時間序列。

2.2 最大Lyapunov指數(shù)

混沌運動的基本特點是動力系統(tǒng)初始條件極為敏感，初始條件即使有細微的變化，動力系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間演變的軌線就會以指數(shù)速度分離。Lyapunov指數(shù)就是定量描述這一現(xiàn)象的量?；煦缦到y(tǒng)具有整體穩(wěn)定性和內(nèi)在不穩(wěn)定性。整體穩(wěn)定性使混沌系統(tǒng)的運動軌道收斂到混沌吸引子上。內(nèi)在不穩(wěn)定性使系統(tǒng)在收斂到吸引子上的同時，某些方向上的運動又是不穩(wěn)定的，導致系統(tǒng)對初始條件極其敏感。Lyapunov指數(shù)表示系統(tǒng)在多次迭代中平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)，是研究幾何上相鄰軌道以指數(shù)方式分離的快慢程度，反映了混沌系統(tǒng)局部范圍內(nèi)收縮與發(fā)散的速度。

對于n維動力系統(tǒng)而言，系統(tǒng)在每一維都存在一個Lyapunov指數(shù)，表示系統(tǒng)軌道在該維上的發(fā)散程度［5］。若一個初始條件為n維的無限小橢球體的長期演化過程，系統(tǒng)演化發(fā)生的局部變形使得小球體最終演化成n維橢球體，其中第i個Lyapunov指數(shù)LE可以用橢球體的第i個主軸長度li(k)來定義。即:

式中，{LEi|i=1，3，……，n}按照從大到小的順序排列，稱為Lyapunov指數(shù)譜，并將LEi稱為最大 Lyapunov指數(shù)［6］。

如果時間序列的最大Lyapunov指數(shù)LEi大于零，就基本上可以肯定混沌的存在，最大Lyapunov指數(shù)值表明了系統(tǒng)的混沌程度［7］。

計算時間序列Lyapunov指數(shù)的方法主要分成兩種:分析法和軌道跟蹤法。軌道跟蹤法是有A.Wolf、J.B.Swift等人提出并廣泛應用的一種方法，該算法直接從Lyapunov指數(shù)的定義出發(fā)，跟蹤系統(tǒng)的兩條軌道，從而獲取Lyapunov指數(shù)［8］。

3 數(shù)據(jù)分析

根據(jù)圖1流程圖對中國股票市場進行混沌判定，并仿真預測，并由1996.2.6～2005.12.6中國股票市場收盤價，共2 374個點。最高點:2 242.421。最低點:520.691。

圖1 流程圖Fig.1 Flow chart

圖2 1996.2.6～2005.12.6中國股票市場收盤價Fig.2 Closing price of China's stock market between 1996.2.6 to2005.12.6

根據(jù)圖3所得，第一次達到最小值的時滯作為相空間重構的時間延遲τ，即τ=13。

由圖4CAO方法計算混沌時間吸引子的嵌入維m可以看出，當m=9的時候，Ei不再變化，即m=9。

圖3 互信息函數(shù)法確定延遲時間τFig.3 Delay timeτcalculated by mutual information method

圖4 CAO法確定嵌入維數(shù)mFig.4 Embedding dimension m computed by CAO method

由圖5和圖6可知最大Lyapounv指數(shù)數(shù)為2.342 2，飽和嵌入維數(shù) m=14，關聯(lián)維數(shù)為2.342 2。關聯(lián)維數(shù)Dm=2.342 2為非整數(shù)，最大Lyapounv指數(shù)大于0，可以斷定中國的股票市場是一個的混沌系統(tǒng)。收盤價最大Lyapounv指數(shù)LEi=0.078 8，因此預測時間為12.69 d。即可對股票市場可進行短期預測。通過MATLAB軟件對其仿真，由圖7可以看出，收盤價和預測值之間有些許誤差。如仿真預測圖7所示。

圖5 最大Lyapounv指數(shù)Fig.5 Largest Lyapounv index

圖6 GP法求關聯(lián)維數(shù)Fig.6 Correlation dimension calculated by GP

圖7 仿真預測結果Fig.7 The results of simalation and prediction

5 結束語

通過相空間重構，根據(jù)G－P算法計算的關聯(lián)維Dm非整數(shù)，通過計算得到的最大Lyapunov指數(shù)LE1均大于零，由此可以得出我國股票市場是一個混沌系統(tǒng)?；谧畲驦yapunov指數(shù)的混沌預測證明對其可以進行短期預測，通過MATLAB軟件對其仿真。

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