付學(xué)志，劉忠，胡生亮，劉志坤

(海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，湖北 武漢，430033)

時延估計技術(shù)隨聲納與雷達系統(tǒng)的被動定位而發(fā)展，利用時延估計算法輸出的同源信號到各傳感器之間的時間差得到目標(biāo)的位置信息?；谧钚【?LMS)理論的自適應(yīng)時延估計方法將信號的時延效應(yīng)等效為信號通過一個自適應(yīng)FIR濾波器的響應(yīng)，繼而將問題轉(zhuǎn)化為濾波器參數(shù)的估計問題。該方法能夠不依賴于輸入信號和噪聲的統(tǒng)計先驗知識，根據(jù)噪聲場的變化不斷地調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器本身的參數(shù)，從而有效地抑制了干擾[1]。隨著自適應(yīng)濾波理論的發(fā)展，對于 LMS自適應(yīng)時延估計算法的研究不斷深入。在各種自適應(yīng)時延估計算法中，固定步長 LMS自適應(yīng)濾波算法及在此基礎(chǔ)上改進得到的歸一化 LMS(即NLMS)自適應(yīng)濾波算法因其具有計算量小、易于實現(xiàn)、穩(wěn)定性好等優(yōu)點而被廣泛采用[2-4]。但是，LMS算法在收斂速率、跟蹤速率和權(quán)失調(diào)噪聲之間的要求是相互矛盾的，不能同時得到滿足；NLMS算法在輸入信號較大的情況下避免梯度噪聲放大的干擾，擴大輸入信號的動態(tài)范圍，具有更好的收斂性能，但受噪聲影響較大，仍然無法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間達到折中優(yōu)化[5]。針對上述問題，文獻[6-13]等給出多種不同的解決方法，其中，變步長算法是目前應(yīng)用最廣泛的改進策略，其改進原則是：在初始收斂階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，使用大步長調(diào)整，以便有較快的收斂速度；而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號有多大，保持很小的調(diào)整步長以達到很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲[14]。Gitlin等[15]提出步長μ(n)隨自適應(yīng)迭代次數(shù)n的增加而逐漸減小的策略，該算法可獲得很小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲，但不具有時變跟蹤能力[11]。Kwong等[6]提出一種VSS-LMS算法，算法的自適應(yīng)步長通過瞬時誤差的功率e2(n)來調(diào)節(jié)，在低噪聲干擾等理想情況下能夠同時兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)性能，但在強噪聲特別是相關(guān)噪聲干擾環(huán)境下仍然具有較大的失調(diào)噪聲[16]。Aboulnasr等[17]提出的MVSS-LMS算法應(yīng)用當(dāng)前誤差與上一步誤差自相關(guān)估計的迭代更新(e(n)e(n-1))代替 VSS-LMS算法中瞬時誤差的功率e2(n)來控制步長更新，在一定程度上消除噪聲中不相關(guān)成分的干擾，但由于誤差信號在收斂過程中相關(guān)性較小，導(dǎo)致算法的步長在收斂前就減小到最小值[18]。覃景繁等[7]提出基于Sigmoid函數(shù)的變步長LMS算法(SVS-LMS)，能同時獲得較快的收斂速度、跟蹤速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。但Sigmoid函數(shù)過于復(fù)雜，在誤差接近0時變化太大，不具有緩慢變化的特性，使得SVS-LMS算法在穩(wěn)態(tài)時仍有較大的步長變化。為此，Sristi等[18-19]提出具有代表性的類Sigmoid函數(shù)化改進算法，在穩(wěn)態(tài)時步長因子很小，且變化不大，但此類算法的收斂性能和穩(wěn)態(tài)誤差取決于2個固定參數(shù)，在干擾噪聲下并不具有較強的韌性且跟蹤時變信號的能力不強[20-21]。上述各種變步長 LMS自適應(yīng)濾波算法都可以直接應(yīng)用于時延估計問題中，由濾波器權(quán)系數(shù)峰值坐標(biāo)得到時延估值。為了強化變步長 LMS算法在水下聲信道等低信噪比條件下對時變時延的跟蹤性能，本文在 MVSS-LMS算法的基礎(chǔ)上對誤差自相關(guān)時間均值估計做遺忘加權(quán)補償，并改變步長因子的約束方式，HB加權(quán)方法[22]應(yīng)用到變步長自適應(yīng)濾波算法中，壓低相關(guān)噪聲功率，突出權(quán)系數(shù)峰值，進一步改善低信噪比下的時延估計性能。仿真實驗和消聲水池目標(biāo)被動定位試驗結(jié)果表明：在參數(shù)固定條件下，新算法與MVSS-LMS算法[17]和SVS-LMS算法[8]相比具有較強的時變時延跟蹤性能和抗噪聲干擾性能。

1 VSS-LMS算法及改進的MVSSLMS算法

Kwong等提出了VSS-LMS算法[6]，公式如下：

其中：d(n)為 M 階自適應(yīng)濾波器的期望輸出；x(n)為某一時刻的輸入向量；ω(n)為此時刻濾波器權(quán)系數(shù)向量；e(n)為此時刻的誤差；μ(n)為自適應(yīng)調(diào)整步長，且滿足以下步長約束范圍：當(dāng)μ(n+1)＜μmin，則μ ( n+1)=μmin；當(dāng)μ(n+1)＞μmax時，μ(n+1)=μmax。μmax一般選擇接近固定步長LMS算法的不穩(wěn)定步長點，以提供最大的可能的收斂速度；μmin在算法穩(wěn)定收斂的前提下，根據(jù)所預(yù)期的失調(diào)和收斂速度作出一個合適的選擇，關(guān)于μmax和μmin的取值可參考文獻[25]。

由μ(n)的迭代公式可見：自適應(yīng)步長通過瞬時誤差的功率e2(n)來調(diào)節(jié)，參數(shù)λ為步長的遺傳因子，0＜λ＜1，決定了算法收斂時的步長；參數(shù)γ＞0，決定步長受瞬時誤差功率的影響程度，控制算法的失調(diào)和收斂速度。這種變步長LMS算法比固定步長LMS具有顯著優(yōu)勢，即在自適應(yīng)初始階段，誤差較大，則使用大步長調(diào)整，加快收斂速度；隨著收斂的加快，誤差減小，則改用小步長調(diào)整，產(chǎn)生較小的失調(diào)。

理論分析和仿真試驗均表明[16,23-24]：在噪聲環(huán)境下，直接使用瞬時誤差功率調(diào)整步長并不能準(zhǔn)確反映收斂前后自適應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)，特別是當(dāng)ω(n)接近最佳權(quán)向量 ωopt(n)時，由于噪聲的存在，步長μ(n)圍繞ωopt(n)有較大的波動，導(dǎo)致較大的失調(diào)噪聲。MVSS-LMS算法[17]通過使用誤差e(n)和e(n-1)的自相關(guān)估計來控制步長更新，其步長更新公式如下：

其中：p(n)為e(n)e(n-1)的自相關(guān)時間均值估計；正常數(shù)β(0＜β＜1)用來控制收斂時間。在迭代開始時p(n)很大，有較快的收斂速度；當(dāng)達到最佳權(quán)值附近時，誤差的自相關(guān)很小，p(n)很小，則得到一個小的調(diào)整步長。單個樣本的誤差對 p(n)的影響由(1-β)加權(quán)，大大減小了白噪聲的干擾。

2 新的變步長自適應(yīng)LMS算法

2.1 算法表示

盡管MVSS-LMS算法具有比VSS-LMS算法更優(yōu)異的抗獨立噪聲干擾性能，但在自適應(yīng)濾波器的迭代過程中，誤差信號 e(n)在收斂過程中相關(guān)性較小，用e(n)e(n-1)調(diào)整步長會使MVSS-LMS算法的步長因子很快變小，從而導(dǎo)致算法的步長在收斂前就減小到最小值[18]。

針對以上不足，本文在步長的迭代過程中引入歷史誤差e2(n-i) (i=0, 1, …, n-1)的遺忘加權(quán)和，然后補償?shù)絜(n)e(n-1)中，一方面可以減緩由于e(n)相關(guān)性較小所導(dǎo)致的步長快速衰減趨勢，另一方面也能夠獲得與 MVSS-LMS算法同樣的抗獨立噪聲干擾性能，但與 MVSS-LMS算法相比省卻了中間變量 p(n)的迭代運算。本文提出的新的變步長自適應(yīng) LMS算法的步長迭代公式為：

其中：ε(i)為遺忘加權(quán)因子，其作用是對過去的n個誤差功率作指數(shù)函數(shù)衰減加權(quán)，越是過去的誤差，對當(dāng)前步長的影響就越??；參數(shù)χ≥1，控制加權(quán)因子的衰減速度。在自適應(yīng)初始階段，誤差較大，遺忘加權(quán)補償也較大，導(dǎo)致大步長調(diào)整；隨著收斂的加深，e(n)e(n - 1 ) → 0 ，對步長調(diào)整起主導(dǎo)作用的變?yōu)檠a償項(實際上由于遺忘因子的作用，，此時本文算法的步長調(diào)整方式趨向于VSS-LMS算法。

為避免算法深度收斂時噪聲干擾使步長μ(n)產(chǎn)生較大的幅度變化，使步長的調(diào)整緊隨時變信號，將VSS-LMS算法和MVSS-LMS算法中原有的定步長約束改為動態(tài)約束，即當(dāng)μ(n+1)＜σμ(n)時，μ(n+1)=σμ( n )； 當(dāng) μ(n+1) ＞ σμ(n)/σ 時 ， μ(n+1)=σμ( n )/σ。參數(shù)0＜σ＜1，可以控制步長始終在最佳步長附近變化，增強了算法的魯棒性。σ越小，步長對時變信號越敏感，但同時抗干擾能力越弱；σ越大，抗突變噪聲干擾的能力越強，但步長調(diào)整對時變信號的響應(yīng)越滯后，一般可取典型值σ=1/2或σ=1/3。

2.2 算法參數(shù)改進

2.2.1 算法復(fù)雜度改進

由式(7)可見，本文算法引入所有歷史時刻的誤差進行遺忘加權(quán)補償，提高了步長跟隨精度。但隨著收斂的加快，誤差 e(n)和遺忘因子ε(i)的拖尾部分將逐漸趨近于 0。因此，在實際工程應(yīng)用中，可只取長度為K(例如當(dāng)χ=2，K＞10時， ε( i) →0)的滑動窗遺忘加權(quán)，在減小運算量的同時對步長調(diào)整精度的影響可以忽略。在固定窗長度下，本文算法與 VSS-LMS算法和MVSS-LMS算法的計算復(fù)雜度均為O(M)。需要指出的是：相比于VSS-LMS算法，本文的新算法在計算量上僅增加了K次乘法運算，這在并行運算器件如FPGA中實現(xiàn)時可以通過 e xp(-χi)函數(shù)的查表實現(xiàn)滑動窗加權(quán)運算；在數(shù)字信號數(shù)延器(DSP)中實現(xiàn)時可以將 e xp(-χi)函數(shù)變?yōu)?-χi，并進一步簡化為對誤差e(n-i)的移位運算。以上2種實現(xiàn)方式的計算復(fù)雜度增加幾乎可以忽略。

2.2.2 歸一化處理

為使算法能夠適應(yīng)大的動態(tài)輸入范圍，也可以進一步在式(2)中引入信號 x(n)的歸一化功率，以μ(n)/Pxx代替μ(n)，在輸入信號有大范圍的動態(tài)變化時，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。歸一化處理后的變步長算法權(quán)系數(shù)迭代公式如下：

其中：參數(shù) c為小的正常數(shù)，防止分母為 0的情況發(fā)生。

2.2.3 HB加權(quán)抑噪

在 LMS自適應(yīng)時延估計算法中，由自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù)的峰值位置即可得到時延估值，即：

當(dāng)信噪比很小時，噪聲的存在會導(dǎo)致峰值位置偏移，甚至出現(xiàn)虛假的峰。解決方法之一是尋找1種加權(quán)方法，突出峰值并平滑假峰，使噪聲項的影響降到最小。由此，在期望信號峰值與輸出噪聲之比為最大的準(zhǔn)則下，Hassab等[26]導(dǎo)出了HB加權(quán)函數(shù)為：

進一步將HB加權(quán)函數(shù)表示為2個自適應(yīng)Roth處理器的組合形式[22]，并得到加權(quán)后的濾波器權(quán)向量V(n)為：

由V(n)的峰值坐標(biāo)得到HB加權(quán)抑噪后的時延估值。此算法的原理框圖如圖1所示。

圖1 本文算法的HB加權(quán)抑噪方法Fig.1 Schematic diagram of HB weighted algorithm

HB加權(quán)對信號和噪聲功率譜進行預(yù)白化處理，增強了信號中信噪比較高的頻率成分。但由圖1可知，HB加權(quán)需要3次FFT運算和2個并行的LMS自適應(yīng)濾波器，運算量較大，適用于部署在FPGA等大規(guī)模并行運算器件中、對低階次的變步長 LMS算法抗噪聲干擾性能進行改進。

3 實驗驗證

通過自適應(yīng)時間延遲估計仿真實驗驗證本文算法的性能。設(shè)自適應(yīng)濾波器的參考輸入和基本輸入信號序列分別為：

其中：n為離散時間刻度，自適應(yīng)濾波器階數(shù)為M；源信號為多個單頻信號的疊加，頻點分別為f1=1 kHz，f2=2 kHz和f3=5 kHz，信號采樣頻率為fs=80 kHz；v1(n)和v2(n)為按設(shè)定信噪比疊加的高斯白噪聲；時延D(n)為模擬目標(biāo)運動所產(chǎn)生的時變時延；時延估值由自適應(yīng)濾波器權(quán)向量ω(n)或ω(n)經(jīng) HB加權(quán)后的最大值坐標(biāo)得到，并對峰值點做拋物線插值。

3.1 高斯噪聲干擾下時變時延跟蹤性能仿真實驗

圖 2所示為本文算法、本文算法的 HB加權(quán)、MVSS-LMS算法[17]和SVS-LMS算法[8]在信噪比RSN=-7 dB和-10 dB下的時變時延跟蹤性能對比，各算法的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 各種LMS算法的仿真參數(shù)設(shè)置Table 1 Simulation parameters of various LMS algorithms

雖然各算法的參數(shù)設(shè)置未必與輸入信號達到最佳匹配，但各算法在參數(shù)固定條件下的時延估計性能對比仍然具有參考價值。由圖2可見：

(1) 信噪比越大，各算法對時變時延的跟蹤性能越好；

(2) 在時變時延跟蹤速度方面，本文算法與SVS-LMS算法性能基本相當(dāng)，而MVSS-LMS算法的響應(yīng)時間明顯遲滯于時延真值(在圖中可見時變時延估值相對真值有“偏移”，且信噪比越小，偏移越明顯)；

(3) 在時變時延跟蹤精度方面，相同信噪比下本文算法的性能明顯優(yōu)于MVSS-LMS算法和SVS-LMS算法，特別是當(dāng)RSN=-10 dB時，MVSS-LMS算法和SVS-LMS算法圍繞時變時延真值均出現(xiàn)了較大的遲滯或波動，甚至無法收斂到時延真值；而本文算法帶有歷史誤差的遺忘加權(quán)補償，基本上能夠緊隨時變時延，魯棒性較強；

(4) 本文算法及其 HB加權(quán)改進是一種對噪聲干擾具有較強韌性的時延估計算法。加權(quán)策略進一步壓低時延估值中的噪聲成分，突出 LMS濾波器權(quán)向量的峰值(RSN=-2 dB，如圖3所示)。而且HB濾波器改善輸入信號的信噪比，在相同步長因子的前提下可以加快自適應(yīng)濾波器的收斂速度[22]，因此，對時變時延的跟蹤性能最好。

進一步對比各算法的步長因子調(diào)整曲線可見(RSN=-7 dB，如圖4所示)：

(1) 由于誤差信號e(n)在收斂過程中相關(guān)性較小，MVSS-LMS算法用e(n)e(n-1)來調(diào)整步長導(dǎo)致步長因子很快減小為μmin并保持，由此導(dǎo)致時延跟蹤速度較慢。

(2) 對比式(3)和(7)，本文算法的步長調(diào)整相當(dāng)于在 MVSS-LMS算法的基礎(chǔ)上疊加了補償項，因此整體步長大于MVSS-LMS算法的步長，對時延的跟蹤速度也較快。

圖2 高斯噪聲干擾下本文算法與MVSS-LMS算法、SVS-LMS算法的時變時延跟蹤性能對比Fig.2 Performance comparison of tracking time-varying delay in Gaussian interference using MVSS-LMS, SVS-LMS and proposed algorithms

圖3 不同變步長算法下歸一化權(quán)系數(shù)對比(SNR=-2 dB)Fig.3 Comparison of filter’s coefficient of various adaptive algorithms for SNR=-2 dB

圖4 不同變步長算法下的步長調(diào)整曲線(RSN = -7 dB)Fig.4 Comparison of adjusting step-size of various adaptive algorithms for RSN = -7 dB

(3) 本文算法采用與歷史步長有關(guān)的動態(tài)步長限幅策略，算法收斂后的步長變化相比 SVS-LMS算法更“平滑”，一方面提高了時延跟蹤速度，另一方面也減小了由于步長快速調(diào)整導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。

(4) 大量仿真實驗結(jié)果表明，盡管可以通過增大SVS-LMS算法的β參數(shù)加快其時延跟蹤速度，或減小α參數(shù)提高時延跟蹤精度。但由本文的仿真結(jié)果可知：隨著輸入信號噪聲的增大，參數(shù)固定條件下的SVSLMS算法對信噪比敏感，難以在跟蹤速度和跟蹤精度性能上達到折中，且其最大步長調(diào)整幅度受參數(shù)β的約束，即μ(n ) = β ；而本文算法的參數(shù)設(shè)置對輸入信號信噪比并不敏感，是一種韌性較強的算法。

圖5 突變噪聲干擾下本文算法與MVSS-LMS算法、SVS-LMS算法的時變時延跟蹤性能對比Fig.5 Performance comparison of tracking time-varying delay in impulsive interference using MVSS-LMS, SVS-LMS and proposed algorithms

3.2 抗沖激干擾性能仿真實驗

下面模擬存在于輸入信號中的突變噪聲對時延估計的影響。這種突變干擾在時延估計問題中經(jīng)常發(fā)生，有可能使自適應(yīng)時延估計算法無法收斂到真值。假設(shè)突變噪聲模型為d(n)中間點處的單位沖激序列δ(n)，干擾強度為10δ(n)，各算法的參數(shù)設(shè)置同上。受干擾后的時延跟蹤曲線如圖5所示。由圖5可知：

(1) SVS-LMS算法在受干擾的初始階段偏離時延真值，但最終也將逐步收斂；

(2) 由于 MVSS-LMS算法在收斂后以小步長調(diào)整，對沖激噪聲干擾并不敏感；

(3) 本文算法在深度收斂后以趨向于 VSS-LMS算法的方式調(diào)整步長，且采用動態(tài)步長限幅策略，因此，對沖激噪聲干擾也具有較強的魯棒性。

3.3 消聲水池目標(biāo)被動定位試驗

進一步將上述變步長 LMS算法應(yīng)用到基于垂直三陣元的消聲水池時延估計和目標(biāo)被動定位試驗中。試驗態(tài)勢和目標(biāo)被動定位原理如圖6所示，圖中S為目標(biāo)聲源，H1，H2和H3為等間隔d排列的水聽器。通過估計聲信號到達 H1和 H2的時延τ?12，以及到達H2和 H3的時延，可求解目標(biāo)聲源的距離與深度[22]。

在某次試驗中各試驗態(tài)勢變量如下：R=3.685 m，N=3 m，L=4.835 m，d=0.605 m，fs=200 kHz，消聲水池中聲速c以1 450 m/s計，則可得到以采樣周期為單位的時延真值為≈6.568、≈16.669，目標(biāo)斜距離真值為4.883 m，深度真值為3 m。圖7所示為上述幾種變步長算法下的時延估計和目標(biāo)定位試驗結(jié)果。

圖6 消聲水池目標(biāo)被動定位態(tài)勢和原理圖Fig.6 Schematic diagram for passive localization in anechoic tank

圖7 消聲水池目標(biāo)被動定位試驗結(jié)果Fig.7 Experiment results of passive localization in anechoic tank

由圖7可見：與MVSS-LMS和SVS-LMS算法相比，本文算法及其HB加權(quán)抑制了一部分由噪聲引起的時延野值，目標(biāo)定位結(jié)果的穩(wěn)態(tài)誤差也較小。

4 結(jié)論

(1) 將 LMS自適應(yīng)濾波器瞬時誤差的功率 e2(n)予以遺忘加權(quán)，補償?shù)秸`差的自相關(guān)時間均值估計中，并改變步長因子的約束機制，得到改進的、韌性更好的變步長LMS自適應(yīng)時延估計算法。

(2) 在高斯噪聲和突變噪聲干擾下，相比于常見的參數(shù)固定的MVSS-LMS算法和SVS-LMS算法，本文算法及帶有HB加權(quán)的改進算法能夠獲得更好的時變時延跟蹤性能。消聲水池目標(biāo)被動定位試驗也驗證了該算法的有效性。

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