糾永志，劉忠玉，樂金朝，孫麗云

（1.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海200092；2.同濟大學 地下建筑與工程系，上海200092；3.鄭州大學 土木工程學院，河南 鄭州450001；4.鄭州大學 水利與環(huán)境學院，河南 鄭州450001）

飽和軟黏土非線性1維固結(jié)理論的研究始于上世紀60年代.Davis和 Raymond等［1－2］分別求得了特定情況下的1維非線性問題的解析解.而對于一般情況通常難以得到解析解，因此Chen和Zhou等［3－4］分別采用有限差分或有限體積法等對土體1維非線性固結(jié)理論進行了求解.不過這些理論都建立在假定地基中的初始有效應力為恒值（即初始有效應力沿土體深度是不變的）的基礎(chǔ)上的，但是現(xiàn)實土體中存在的是沿深度變化的自重應力.Gibson等［5］的研究表明，當土層較厚時，固結(jié)土體的自重應力將會對其固結(jié)過程產(chǎn)生很大的影響，且考慮自重應力所得出的土體的固結(jié)速率快于Terzaghi理論值.在計算地基最終沉降量時，已有一些方法體現(xiàn)了自重應力水平的影響，比如，丁洲祥等［6］在修正割線模量法時就引入了修正系數(shù)α，并指出該系數(shù)有隨埋深增加而逐漸減小的規(guī)律.所以有必要把土體自重應力沿土體深度的實際分布的因素引入到非線性固結(jié)理論的研究工作中.因此，竇宜等［7］用多種土體進行了室內(nèi)離心試驗，文獻［8－9］用數(shù)值方法在考慮土體自重應力的基礎(chǔ)上對特定情況進行了求解.但是上述對Terzaghi 1維固結(jié)理論的改進都是基于飽和黏土中滲流符合Darcy定律的假定之上的.

在孔隙水滲流方面，Darcy定律因其簡潔而被廣泛用于多種飽和土，但其對滲透性較低的致密黏土以及某些軟土的有效性卻一直受到質(zhì)疑.Gibson等［10］指出Darcy定律是有限適用的，土體的滲透與土骨架形狀的改變以及超靜孔隙水壓力減少的梯度有關(guān).另外，文獻［11－13］在滲透試驗中都發(fā)現(xiàn)了相關(guān)黏土中的滲流都不同程度地存在著對Darcy定律偏離的現(xiàn)象，并分別提出了不同形式的非Darcy滲流數(shù)學擬合式.其中，應用較廣的當屬 Hansbo［14］公式

式中：q為滲透速度；m為由實驗確定的常數(shù)；k，K分別為指數(shù)形式和線性關(guān)系表達式中的滲透系數(shù)；i為水力梯度；i1為直線滲流起始水力梯度；i0為直線滲流計算起始水力梯度.

曲線在i＝i1處是連續(xù)的，因此i0，k滿足下式：

式（2）中，如令m＝1，則i0＝0，k＝K，式（1）可退化為Darcy定律的表達形式.如忽略式（1）中的曲線段，該式中的i0可視為滲流起始水力梯度［15］.劉忠玉等［16－17］基于忽略式（1）曲線段的直線型非Darcy滲流對Terzaghi 1維固結(jié)理論進行了修正，強調(diào)了起始水力梯度的影響.謝海瀾、劉忠玉、鄂建等［18－21］采用指數(shù)－直線型非 Darcy滲流模型式（1）對Terzaghi 1維固結(jié)方程進行了修正，并分別采用了半解析法、有限體積法和有限差分法對相關(guān)固結(jié)方程進行了求解.這些研究雖然都不同程度地考慮了滲流的非Darcy特性，但沒考慮固結(jié)過程中土體壓縮變形的非線性和土體初始有效應力的實際分布.

本文擬把式（1）所示的 Hansbo［14］非Darcy滲流模型引入到考慮土體自重應力的1維非線性固結(jié)理論中，進一步探討土體自重應力和土體滲流非Darcy特性對正常固結(jié)飽和軟黏土非線性固結(jié)的影響.

1 問題的描述

本文的分析模型如圖1所示，均質(zhì)正常固結(jié)飽和黏土層的厚度為H，頂面為透水面，底面為不透水面，假定頂面瞬時加載且該土層在自重應力作用下已經(jīng)完成固結(jié).對于正常固結(jié)飽和黏土其初始有效應力可取其自重應力σ′cz.采用文獻［18－20］相似的推導過程可得

圖1 分析模型Fig.1 Schematic diagram of analytical model

由e—lgσ′和e—lgK的經(jīng)驗關(guān)系式［1－2，8－9］可得

式（3）—（5）中：u＝u（z，t）為t時刻距黏土層頂面深度z處的孔壓；γw為水的重度；e0和K0分別與某一應力狀態(tài)σ′0相對應的孔隙比和滲透系數(shù)；e和K分別為與某時刻土層任意深度z處的有效應力σ′（z，t）相應的孔隙比和滲透系數(shù)；cc為壓縮指數(shù)；ck為滲透指數(shù).

在瞬時均布荷載p0的作用下深度z處總應力為

式中：σ′cz0為壓縮土層頂面的初始有效應力，其大小反映了土體的埋深；γ′為土的有效重度.

由式（6）可得

通過對式（7）兩邊關(guān)于z求偏導可得

將式（4），（5）和（8）代入式（3）可得控制方程為

其初始條件和邊界條件分別為

將式（9）量綱一化可得

這里，P≠0意味著考慮土體的自重，P＝0即不考慮自重.同時，I可改寫為

相應的初始條件和邊界條件為

式中：d＝σ′cz0／σ′0，可反映土體的埋深；Q＝p0／σ′0為量綱一化后的土體頂面荷載.

這樣，式（12），（13）—（15）構(gòu)成封閉方程組，通過迭代求解便可得j＋1時刻任一深度處的有效應力.需要注意的是，由于和中含有，因此迭代格式（12）為隱式格式，可從透水邊界開始逐步向不透水邊界移動迭代求解.

當量綱一化后的有效應力F求出后，由式（7）可得量綱一化的超孔隙水壓

2 方程的有限差分求解

令

則方程（10）變?yōu)?/p>

目前方程（11）尚無法求得其解析解，因此本文用有限差分法來對此固結(jié)方程進行求解.即以ΔZ從上到下將土層離散為n個薄層，同時以步長ΔT對時間進行離散，這樣方程（11）離散為

式中：λ＝ΔT／ΔZ2；i為空間節(jié)點數(shù)，i＝1，2，…，n－1；j為空間節(jié)點數(shù)，j＝0，1，2，….當1≤i≤n－1時

相應的初始條件和頂面邊界條件離散為

考慮到底面不排水，此時最底層的排水量應等于體積壓縮量，經(jīng)推導可得

這樣可以獲得如下按孔壓和變形定義的兩種平均固結(jié)度公式：

式中：Up，Us分別為量綱一化的孔壓固結(jié)度和變形固結(jié)度；e1，ef和e分別為第i層土初始孔隙比、最終孔隙比和j時刻的孔隙比.

3 解法驗證

當c＝1，土體頂面自重應力d＝1，且不考慮土體固結(jié)過程中的非Darcy滲流特性，并令土體初始有效應力沿深度不變，即P＝0時，本文模型便退化為Davis和Raymond固結(jié)方程［1］.按前述有限差分法對符合Davis和Raymond假定的特例計算了平均固結(jié)度Up（計算中，取ΔZ＝0.02，ΔT＝10－6，迭代精度為10－6），結(jié)果示于圖2.為便于對比，圖中也給出了Davis和Raymond解析解結(jié)果［1］.很明顯，本文有限差分法計算結(jié)果曲線與解析解之間的誤差極小，這證明了本文解法的有效性.

圖2 平均孔壓固結(jié)度Up與時間因子T關(guān)系曲線（d＝1，c＝1，m＝1，I1＝0）Fig.2 Relationship between Upand T（d＝1，c＝1，m＝1，I1＝0）

4 計算與分析

4.1 非Darcy滲流參數(shù)對土體固結(jié)的影響

首先考察在考慮自重應力情況下直線滲流起始水力梯度i1的影響.圖3和4分別繪出了當c＝0.5和1.2、m＝2.0以及不同I1（即不同i1值）值時考慮土體自重時的Up和Us隨時間的變化曲線.由圖中可以看出，在考慮土體自重的情況下，非Darcy滲流特性和不考慮自重時［21］相似，即基于非Darcy滲流的孔壓消散和地基沉降速率都明顯慢于基于Darcy滲流的情形（圖中I1＝0的曲線）.

圖3 I1值對平均孔壓固結(jié)度Up的影響Fig.3 Influence of I1on degree of consolidation Up

為了考察m值的影響，圖5和圖6分別繪出了當c＝0.5和c＝1.2時基于非Darcy滲流（I1＝1.0但不同m值）且考慮土體自重時的孔壓消散和地基沉降隨時間變化曲線.很明顯，m值對孔壓消散速率和地基沉降速率的影響，與I1相似.即m值越大孔壓消散速率和地基沉降速率都越慢，并且隨著時間的發(fā)展非Darcy滲流參數(shù)的影響越來越顯著.

4.2 考慮非Darcy滲流時埋深對固結(jié)度的影響

基于Darcy滲流時埋深對固結(jié)度的影響，馬崇武［9］已做過探討，本文只討論非Darcy滲流情況下埋深對固結(jié)度的影響.

為了分析在非Darcy滲流條件下并考慮土體自重時土層埋深對土體的孔壓消散和地基沉降速率的影響，本文分別取c＝0.8和c＝1.5時計算了不同埋深時Up和Us隨時間的變化曲線，如圖7和圖8所示.這里的結(jié)論與文獻［9］相似，即埋深越大，地基沉降速度就越慢，并且c值越大，土體埋深對地基沉降速度影響就越大；但土體埋深對孔壓消散速率的影響規(guī)律與其對地基沉降的影響不同：當c值較小時（例如c＝0.8）土體的埋深越大，孔壓消散速度越快；當c值較大時（例如c＝1.5），c值對孔壓消散速度的影響體現(xiàn)出和孔壓較小時不同的規(guī)律：即在固結(jié)的前期，埋深越大，孔壓消散速度越快，而在固結(jié)的后期，情況正好相反.但和文獻［9］不同的是，由于滲流非Darcy特性的影響，孔壓消散和地基沉降速度都明顯慢于符合Darcy滲流時的孔壓消散和地基沉降速率.

圖6 m值對平均變形固結(jié)度Us的影響Fig.6 Influence of mon degree of consolidation Us

4.3 土體自重及非Darcy滲流特性對土體固結(jié)的影響

為了系統(tǒng)探討土體變形的非線性、土體自重應力、土體滲流的非Darcy特性等對孔壓消散和地基沉降的影響，圖9和圖10分別給出了c＝0.5和c＝1.2時基于Darcy滲流或非Darcy滲流、考慮土體自重應力與不考慮土體自重應力時的孔壓消散曲線和地基沉降曲線.

從圖中可以看出，不論是否考慮非Darcy滲流，考慮土體自重應力時的孔壓消散速率和地基沉降速率都要大于不考慮土體自重時的情況，這與文獻［7］的結(jié)論相似.另外，不論是否考慮土體自重應力，土體滲流的非Darcy特性都延緩了孔壓消散速率和地基沉降速率，這與文獻［18－21］相似.但綜合考慮土體自重應力和非Darcy滲流特性的影響時，這里得出了與上述結(jié)論都有所不同的結(jié)果.由圖10可以看出，在固結(jié)的前期，考慮非Darcy滲流且考慮土體自重（圖中P＝1.0，m＝2.0，I1＝1.0的曲線）的地基沉降速率要快于考慮Darcy滲流且不考慮土體自重（圖中P＝0，Darcy的曲線）的地基沉降速率，但在固結(jié)后期則出現(xiàn)相反的情況，即考慮非Darcy滲流且考慮土體自重的孔壓消散速率逐漸開始慢于考慮Darcy滲流但不考慮土體自重的地基沉降速率.同時，圖9所示的孔壓消散速率的規(guī)律與之相似.因此不考慮滲流非Darcy特性和土體自重的固結(jié)分析在土體固結(jié)的前期低估了孔壓消散速率和地基沉降速率，而在固結(jié)后期則正好相反.

由圖9可以看出，土體自重對固結(jié)前期的孔壓消散無明顯的影響，但隨著時間的發(fā)展考慮土體自重的孔壓消散逐漸快于不考慮土體自重的情形，但到固結(jié)的后期，基于Darcy滲流考慮或不考慮土體自重的孔壓消散曲線逐漸趨于一致，基于非Darcy滲流時也是如此，因此可以認為，土體自重對孔壓消散的影響主要表現(xiàn)在固結(jié)的中期，而對前期和后期無明顯影響，而土體滲流的非Darcy特性對孔壓消散的影響主要表現(xiàn)在中后期，對前期無明顯影響.

由圖10可以看出，考慮土體自重時的地基沉降速率一開始就明顯快于不考慮土體自重時的地基沉降速率，但到固結(jié)的后期二者逐漸趨于一致.因此可以認為，土體自重對地基沉降的影響主要表現(xiàn)在前期和中期，而對后期的影響較??；土體滲流的非Darcy特性對地基沉降的影響主要表現(xiàn)在中后期，而對前期的影響較小.

4.4 和Terzaghi解的對比

為了和Terzaghi解進行對比，圖9和圖10中以實線標出了Terzaghi解的固結(jié)曲線.Gibson等［5］認為考慮自重應力所得出的土體的固結(jié)速率快于Terzaghi理論值，但這里通過綜合考慮非達西滲流、土體自重應力和土體非線性變形時得出了與此不同的結(jié)論.由圖9可以看出，當c值較小時（例如c＝0.5），在考慮土體自重的情況下，基于Darcy滲流（圖中P＝1.0，Darcy的曲線）的孔壓消散速率快于Terzaghi解，這點與文獻［5］相同；但基于非Darcy滲流（圖中P＝1.0，m＝2.0，I1＝1.0的曲線）的解答，則可能出現(xiàn)在固結(jié)的中期孔壓消散速率快于Terzaghi解，而在固結(jié)后期，由于非Darcy特性的影響其孔壓消散速率慢于Terzaghi解的情況.當c值較大時（例如c＝1.2），在考慮土體自重的情況下基于Darcy或非Darcy滲流的孔壓消散速率都要慢于Terzaghi解.

對比圖9和10可以看出地基沉降速率和孔壓消散速率有著不同的情況.當c值較小時（例如c＝0.5），基于Darcy滲流考慮土體自重和不考慮土體自重時的地基沉降速率要明顯快于Terzaghi解，基于非Darcy滲流時由于非Darcy特性的影響只在固結(jié)快要完成的時候出現(xiàn)了固結(jié)沉降速率慢于Terzaghi解的情況.當c值較大時（例如c＝1.2），考慮土體自重應力時的地基沉降速率和Terzaghi解相對比則可能出現(xiàn)前期快而后期慢的相反情況.

5 結(jié)論

本文在考慮土體變形非線性的基礎(chǔ)上引入Hansbo滲流模型，并同時考慮土體自重和埋深的影響，以有效應力為求解對象，推導了飽和黏土的1維固結(jié)方程，并給出了隱式有限差分格式.數(shù)值分析結(jié)果表明了分析飽和黏土非線性固結(jié)時，考慮滲流非Darcy特性且同時考慮土體自重和埋深影響的必要性，并得出下列結(jié)論：

（1）無論是基于Darcy還是基于非Darcy滲流，考慮土體自重應力時的孔壓消散速率和地基沉降速率都要大于不考慮土體自重時的情況.無論是考慮或不考慮土體自重應力，土體滲流的非Darcy特性都延緩了孔壓消散速率和地基沉降速率.

（2）土體自重對孔壓消散的影響主要表現(xiàn)在固結(jié)的中期，而對前期和后期無明顯影響；對地基沉降的影響主要表現(xiàn)在前期和中期，而對后期的影響較小.土體滲流的非Darcy特性對地基沉降和孔壓消散的影響相似，主要表現(xiàn)為在中后期影響較大而對前期的影響較小.

（3）當c值較小時（例如c＝0.5），在考慮土體自重的情況下，基于Darcy滲流的孔壓消散速率快于Terzaghi解；但基于非Darcy滲流的解答，則可能出現(xiàn)在固結(jié)的中期孔壓消散速率快于Terzaghi解，而在固結(jié)后期，由于非Darcy特性的影響其孔壓消散速率慢于Terzaghi解的情況.

（4）當c值較大時（例如c＝1.2），在考慮土體自重的情況下，基于Darcy或非Darcy滲流孔壓消散速率都要慢于Terzaghi解.但考慮土體自重應力時的地基沉降速率和Terzaghi解相對比則可能出現(xiàn)前期快而后期慢的相反情況.

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