劉榮玄，朱先陽(yáng)，安 萍

0 引言

BurrI.W.在1942年基于微分方程F(x)/dx=dF(x)(1 -F(x ))g(x , F(x ))引入了Burr分布函數(shù),這一分布在精算學(xué)、質(zhì)量控制和可靠性研究中有著廣泛的應(yīng)用。因此許多學(xué)者致力于Burr分布的研究。文獻(xiàn)[1]討論了BurrTypeXII分布的統(tǒng)計(jì)推斷,文獻(xiàn)[2]討論了兩參數(shù)BurrXII分布的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問(wèn)題,文獻(xiàn)[3]討論了Burr-XII。

部件可靠性指標(biāo)的貝葉斯估計(jì),文獻(xiàn)[4]討論了熵?fù)p失函數(shù)下Burr分布參數(shù)的Bayes估計(jì)。文獻(xiàn)[5]討論了指數(shù)族刻度參數(shù)EB估計(jì)的漸近最優(yōu)性。關(guān)于三參數(shù)BurrI分布中形狀參數(shù)EB估計(jì)的研究,目前尚未有文獻(xiàn)發(fā)表.本文將在平方損失下研究其EB估計(jì),并討論其收斂速度。

假設(shè)在θ已知的條件下,三參數(shù)BurrI分布為：

其中，參數(shù)α,λ已知,λ為刻度參數(shù),θ為形狀參數(shù),α為不等式參數(shù)。由于三參數(shù)BurrI分布是一類(lèi)重要的壽命分布,隨機(jī)變量X的取值x總是正的,因此不妨假設(shè)x≥ε,ε為給定的任意小的正實(shí)數(shù)。

在Bayes統(tǒng)計(jì)中,參數(shù)θ為隨機(jī)變量,假設(shè)它的先驗(yàn)分布為H()θ,屬于先驗(yàn)分布族F={H()θ: θ＞0, E()θδ＜∞ ,δ＞2,},則隨機(jī)變量(r.v.)X的邊緣分布為：

r.ν.θ的后驗(yàn)分布為：

π(θ|x)∝f(x|θ)H′(θ)

取損失函數(shù)為平方損失,即

其中d為參數(shù)θ的僅與x有關(guān)的判決函數(shù),顯然它是對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)。

于是可得參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為：

其相應(yīng)的Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

這里的E(X,θ)表示對(duì)(X , θ)的聯(lián)合分布取期望.

引理1對(duì)于三參數(shù)BurrI分布(1),在均方損失函數(shù)(3)下，其形狀參數(shù)θ的Bayes估計(jì)為：

其中：

f′X(x)是fX(x)的導(dǎo)數(shù)。

證明：由(1.2)式可得

解得

將（6）式代入（4）式得

證畢。

將(5)式代入(4)式得

1 EB估計(jì)的構(gòu)造

假設(shè)隨機(jī)向量序列(X1, θ1),(X2, θ2), …, (Xn, θn) 與(X , θ)相互獨(dú)立且有相同的分布(iid),X1, X2, …, Xn,為iid的隨機(jī)變量序列,它們是可觀(guān)測(cè)的,與X獨(dú)立且有相同的邊緣概率密度f(wàn)X(x),X1, X2, …, Xn為歷史樣本,X為當(dāng)前樣本,θ1, θ2, …, θn和θ為不可觀(guān)測(cè)的,但有相同的先驗(yàn)分布H(θ)，并假設(shè)：

（1）fX()x ∈Cs,M, x∈R1,其中s＞2為正整數(shù),Cs,M表示R1中的一族概率密度函數(shù),其s階導(dǎo)數(shù)存在,連續(xù)且絕對(duì)值不超過(guò)M。

（2）Ki(x)(i=0, 1)為Borel可測(cè)實(shí)值核函數(shù),滿(mǎn)足

①Ki(x)=0,x?(0, 1);

②Ki(x)為有界的,除有限點(diǎn)集外是可微的,且微分有界;

定義fX(x),f′X(x)的核估計(jì)分別為：

其中，hn＞0,當(dāng)n→∞時(shí), hn→0, nhn→∞。

?n(x)實(shí)數(shù)

這里的E?表示對(duì)隨機(jī)向量(X1, X2, …, Xn, (X , θ))的聯(lián)合分布求數(shù)學(xué)期望。

這樣構(gòu)造的θ的EB估計(jì)與其Bayes估計(jì)所產(chǎn)生的效果相當(dāng),即在一定的條件下當(dāng)歷史記錄較多時(shí),EB估計(jì)所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)近似于Bayes估計(jì)所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn),結(jié)論是:

定理1在平方損失下，如果上述A、B條件成立，且滿(mǎn)足EX(| X|6s)＜ ∞,E(|θ |δ)＜ ∞,對(duì) 給 定的 正數(shù)s＞2,δ＞2，時(shí),則有c為常數(shù)。

2 定理1的證明

在證明定理的過(guò)程中需要用到下列幾個(gè)引理,并假設(shè)c為常數(shù),且在同一等式或不同等式中可以代表不同的常數(shù)。

引理2在平方損失下,有

這里的EX表示對(duì)隨機(jī)變量X取數(shù)學(xué)期望,En表示對(duì)隨機(jī)向量(X1, X2, …, Xn)的聯(lián)合分布取數(shù)學(xué)期望。

證明：見(jiàn)文獻(xiàn)[6]中的引理3。

引理3設(shè)Y, Y′分別為r.v,y, y′為實(shí)數(shù),L＞0,則對(duì)0＜γ＜2有

證明：見(jiàn)文獻(xiàn)[7]中的引理3.1。

引理4X1, X2, …, Xn,…,為iid的隨機(jī)變量序列,滿(mǎn)足上述條件A、B,當(dāng)hn=n-1/(1+2s),0＜γ＜2時(shí),則有

證明：見(jiàn)文獻(xiàn)[9]中的引理3。

引理5若1/2＜γ＜1-1/(2s),EX(X6s)＜∞,s＞2為整數(shù),則有

證明：因?yàn)?/p>

根據(jù) H?lder不等式有

從而

又因?yàn)?/p>

而

由（13）、（14）式可知（12）式成立。

引理6對(duì)于給定的自然數(shù)δ,δ ＞2,當(dāng)E(|θ |δ)＜ ∞,時(shí),則有

由(16)、（17）式可知（15）式成立。

定理1的證明：

證明

令

由引理2有

在X已知的條件下，由引理3和引理4有

由引理5可知

由H?lder不等式和Markov不等式，對(duì)于任意給定的δ，δ＞2，有

由引理6知

在(18)和(19)式中取ν=γ(s -1)/δ(1 +2s),則有

證畢。

3 例子

下面的例子說(shuō)明存在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的先驗(yàn)分布。

設(shè)r.vX的條件概率密度為(2)式,取θ的先驗(yàn)分布為其共軛分布Γ(r, ρ) ,即

于是可得r.vX的邊緣分布為：

顯然fX(x)滿(mǎn)足上述A,B中的條件。

由文獻(xiàn)[10]可知給定自然數(shù)δ,δ＞2,則有

當(dāng)r較大時(shí)有

由此可知定理1中的條件全滿(mǎn)足,則定理1的結(jié)論成立。

[1] 王炳興.Burr TypeXII分布的統(tǒng)計(jì)推斷[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2008,28A(6).

[2] 韋程?hào)|,陳志強(qiáng)等.兩參數(shù)BurrXII分布的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問(wèn)題[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010,27(2).

[3] 王婷婷等.Burr-XII部件可靠性指標(biāo)的貝葉斯估計(jì)[J].系統(tǒng)工程,2009,27(5).

[4] 陳志強(qiáng),韋程?hào)|等.熵?fù)p失函數(shù)下Burr分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,24(3).

[5] 劉榮玄.指數(shù)族刻度參數(shù)EB估計(jì)的漸近最優(yōu)性[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2010,29(6).

[6] 韋來(lái)生.連續(xù)型多參數(shù)指數(shù)族參數(shù)的漸近最優(yōu)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),1985,1(2).

[7] 趙林城.一類(lèi)離散分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)的收斂速度[J].中國(guó)數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1981,(1).

[8] 劉次華,李少玉.線(xiàn)性指數(shù)模型參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào),2006,34(3).

[9] 田霆,劉次華.定數(shù)截尾場(chǎng)合下Weibull分布的形狀參數(shù)置信上下限[J].南昌大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版)2010,34(3).