顏媛媛 鄒玉廣

(1．南京理工大學(xué)紫金學(xué)院機(jī)械系，江蘇 南京 210046; 2．泰州科技學(xué)院，江蘇泰州 225300)

0 引言

工程實(shí)踐中，往往會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜邊界且角點(diǎn)自由矩形板，如無(wú)梁陽(yáng)臺(tái)板等。這類板的內(nèi)力變形相對(duì)比較復(fù)雜，尚無(wú)精確的分析方法，可用差分法、有限元法等求得數(shù)值解，如能推導(dǎo)出完整的撓度表達(dá)式，其內(nèi)力分析和設(shè)計(jì)制表將變得非常簡(jiǎn)便。

本文依據(jù)彈性薄板理論，先將復(fù)雜邊界支承板分割成兩塊簡(jiǎn)單邊界板，并在公共邊界處引入廣義支承邊概念，再對(duì)每塊簡(jiǎn)單邊界板進(jìn)行疊加求解，進(jìn)而利用板的邊界條件和兩板間的幾何相容條件聯(lián)立求解出基本未知量，最后得到原問(wèn)題的解析解，經(jīng)驗(yàn)算，計(jì)算結(jié)果可靠，可作為數(shù)值解校核的依據(jù)或在工程設(shè)計(jì)中直接采用。

1 基本結(jié)構(gòu)及邊界條件

考察見(jiàn)圖1的矩形薄板OABC受均布荷載q時(shí)的彎曲問(wèn)題。

圖1 復(fù)雜邊界角點(diǎn)自由矩形板示意圖

按照小撓度理論，板的撓度勢(shì)函數(shù)W(x，y)應(yīng)滿足如下的微分方程:

其中，W為板的位移函數(shù);q(x，y)為作用在板上的橫向荷載;D為抗彎剛度。

在板的各段邊界上，還應(yīng)滿足下列邊界條件:

OC，OD，CE 邊固支，AB，AD，BE 邊自由:

此外，還有A，B角點(diǎn)自由條件:

由于邊界條件比較復(fù)雜，現(xiàn)將原矩形板分割為兩塊簡(jiǎn)單邊界板進(jìn)行分析，如圖2所示。

圖2 被分割成兩塊簡(jiǎn)單邊界矩形板

板Ⅰ，Ⅱ的公共邊界ED為廣義支承邊，設(shè)廣義支承邊處存在的位移和彎矩分別為:

則廣義支承邊ED滿足以下兩個(gè)相容條件:

剪力相等:

轉(zhuǎn)角相等:

2 運(yùn)用疊加法求解兩分塊簡(jiǎn)單矩形板

2．1 疊加法求解板Ⅰ

對(duì)于板Ⅰ，可由下列5個(gè)基本問(wèn)題的解疊加而成，如圖3所示。

1)四邊簡(jiǎn)支，受均布荷載q作用時(shí)板Ⅰ的解，如圖3a)所示。

圖3 板Ⅰ 的疊加法求解示意圖

2)四邊簡(jiǎn)支，在 OC邊上作用分布彎矩 My，設(shè)為:如圖3b)所示。

3)四邊簡(jiǎn)支，在 OE和CD兩邊上作用有分布彎矩，設(shè)為:如圖3c)所示。

4)四邊簡(jiǎn)支，在ED邊上作用有廣義支承邊彎矩My，由廣義支承邊定義可知:

5)四邊簡(jiǎn)支，在ED邊上有廣義支承邊撓度Wy，由廣義支承邊定義可知:

2．2 疊加法求解板Ⅱ

對(duì)于第Ⅱ塊板，可由6個(gè)基本問(wèn)題的解疊加得到，見(jiàn)圖4。

1)四邊簡(jiǎn)支，受均布荷載q作用時(shí)板Ⅱ的解，如圖4a)所示。

圖4 板Ⅱ 的疊加法求解示意圖

2)ED和AB兩邊簡(jiǎn)支，AE和BD邊兩邊廣義簡(jiǎn)支，且在兩廣義簡(jiǎn)支邊上有對(duì)稱的撓度W，設(shè)為:

3)四邊簡(jiǎn)支，ED邊作用有廣義支承邊撓度W，由板Ⅰ，Ⅱ的相容條件可知，廣義支承邊的撓度為:

4)四邊簡(jiǎn)支，AB邊有支座沉降位移W，設(shè)為:

5)四邊簡(jiǎn)支，ED邊上作用有廣義支承邊分布彎矩My，由板Ⅰ，Ⅱ的相容條件可知:

6)角點(diǎn)A，B具有剛性位移時(shí)的解:

3 聯(lián)立求解復(fù)雜邊界且角點(diǎn)自由矩形板

如圖1所示復(fù)雜邊界且角點(diǎn)自由矩形板可采用上述11個(gè)基本問(wèn)題所分解組成，則共引入了 7 組未知量:λm，Lm，Em，Hm，Dn，F(xiàn)n，K，可由四個(gè)邊界條件、一個(gè)角點(diǎn)條件及兩個(gè)相容條件確定。

當(dāng)y≤(1－ζ)b時(shí)，y=0，x=0及x=a這三邊位移為0的條件已自動(dòng)滿足，這三邊的未知彎矩可由對(duì)應(yīng)邊轉(zhuǎn)角為0的邊界條件確定，由于x=0及x=a兩邊對(duì)稱，故可得兩個(gè)獨(dú)立的方程。

同理，當(dāng)(1 － ζ)b≤y≤b時(shí)，y=ζb，x=0 及x=a三邊彎矩為0的條件已自動(dòng)滿足，這三邊的未知撓度可由剪力為0的條件確定，又可得兩個(gè)獨(dú)立的方程。

另外，還有一個(gè)獨(dú)立的角點(diǎn)自由條件及板Ⅰ，Ⅱ公共邊界處兩個(gè)相容條件，這樣總共得到7個(gè)方程，具體的邊界條件如下:

1)板Ⅰ中x=0邊上轉(zhuǎn)角:

2)板Ⅰ中y=0邊上轉(zhuǎn)角:

3)板Ⅱ中x=0邊上剪力:

4)板Ⅱ中y2=ζb邊上剪力:

5)在x=0，y2=ζb角點(diǎn)自由處反力:

6)廣義支承邊撓度W相容條件:

7)廣義支承邊彎矩My相容條件:

聯(lián)立求解7個(gè)方程，當(dāng)截?cái)嗉?jí)數(shù)最大項(xiàng)數(shù)取M=N時(shí)，可以得到7N個(gè)線性代數(shù)方程，運(yùn)用Mathematica語(yǔ)言編程求解聯(lián)立方程即可得到全部的待定常數(shù)。

4 算例分析

如圖1所示鋼筋混凝土復(fù)雜邊界且角點(diǎn)自由矩形板，取板厚h=100 mm，邊長(zhǎng)為 a=3 000 mm，b=4 500 mm，ζ=0．25，E=3．0 ×104MPa，泊松比μ=0．2，承受均布荷載q，分別采用本文方法和有限元進(jìn)行計(jì)算。運(yùn)用Mathematica語(yǔ)言編程求解出部分網(wǎng)點(diǎn)的撓度和彎矩系數(shù)表，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 矩形板在均載作用下的撓度和彎矩系數(shù)表

從算例分析也驗(yàn)證了本文方法的可靠性，當(dāng)取最大項(xiàng)數(shù)M=N=60時(shí)，其數(shù)值結(jié)果能滿足工程精度要求。在計(jì)算機(jī)條件較好的今天，可按需要方便地調(diào)節(jié)項(xiàng)數(shù)，以滿足局部高精度要求。根據(jù)各點(diǎn)的撓度計(jì)算結(jié)果，按比例描繪出矩形板的撓度軸測(cè)圖，如圖5所示(虛線代表板的原圖，實(shí)線代表板的變形圖)。

圖5 復(fù)雜邊界且角點(diǎn)自由矩形板的撓度軸測(cè)圖

5 結(jié)論與建議

本文給出了復(fù)雜邊界支承矩形板的撓度和彎矩的表達(dá)式，利用計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言的獨(dú)到優(yōu)勢(shì)，較好的解決了復(fù)雜邊界支承矩形板的受力分析問(wèn)題，并得出如下結(jié)論和建議:

1)該復(fù)雜邊界且角點(diǎn)自由板由于懸挑板的根部不為固定端，懸挑板的撓度相對(duì)較大，而增加板厚對(duì)減小撓度效果較明顯。

2)當(dāng)該矩形板的總體尺寸確定后，減小懸臂外挑的尺寸即ζ值，可降低懸挑板的撓度。

3)實(shí)際工程中，設(shè)計(jì)人員可利用本文方法制作系數(shù)表或者直接使用公式程序?qū)Υ祟惏暹M(jìn)行計(jì)算。

4)對(duì)于板內(nèi)彎矩最大值的求解，可在局部區(qū)域內(nèi)按一定網(wǎng)格依次取點(diǎn)試算，直至能達(dá)到工程精度要求。

5)用本文方法及程序，可計(jì)算任意材料、任意尺寸矩形板的撓度和彎矩系數(shù)，也可對(duì)常見(jiàn)尺寸的撓度和彎矩系數(shù)制表，為此類板的受力分析和工程設(shè)計(jì)提供參考。

［1] 鐵摩辛柯．板殼理論［M］．北京:科學(xué)出版社，1997:189-238．

［2] 朱敬舉，付寶連．彈性矩形薄板穩(wěn)定問(wèn)題的廣義位移解及應(yīng)用［D］．秦皇島:燕山大學(xué)，2001:18-23．

［3] 張福范．均布荷載下懸臂矩形板的彎曲［J］．應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1980(3):349-362．