李 永，范 蓓，劉 鵑

(1.同濟大學經(jīng)濟與管理學院，上海200092;2.南京紫金財產(chǎn)保險股份有限公司，南京210000)

一、引言

巨災債券對巨災風險損失補償作用令人矚目，可以有效增強一國應對巨災風險損失補償能力。自1990年代以來，被美國、歐盟、日本等發(fā)達經(jīng)濟體成功應用于防范和化解地震、颶風等自然災害造成的財產(chǎn)損失(Froot，1999)［1］。傳統(tǒng)巨災債券通過設置單一“觸發(fā)事件”(trigger event)將投資者收益與損失聯(lián)系一起，實現(xiàn)了保險市場風險向資本市場的轉(zhuǎn)移，解決了巨災風險的非可保性問題，應用范圍已逐步擴大到農(nóng)業(yè)、核燃料泄露、流行病、恐怖事件等非常規(guī)風險防范中(Bowers，2004;Lee，2004)［2-3］。但是由于巨災造成的后果往往多方面，具有多樣性、立體性特征，基于單一觸發(fā)事件的巨災債券已經(jīng)難以滿足市場多樣化需求。因而多事件觸發(fā)巨災債券開始出現(xiàn)，其中，瑞士、美國、法國等都已相繼發(fā)行了多事件觸發(fā)巨災債券，如地震颶風債券、恐怖襲擊債券、體育賽程取消債券等。

巨災債券定價是研究核心與難點之一，始于1990年代中期，仍然處于發(fā)展之中。定價新模型不斷涌現(xiàn)，又很快被改進。早期 Cummins等(1995)［4］利用無風險套利思想討論了巨災衍生產(chǎn)品定價，將B-S理論應用于保險衍生品市場。Briys(1997)［5］在市場完全、巨災損失指數(shù)服從幾何布朗運動以及市場無套利機會等假設下，得出巨災債券價格的表達式。Loubergé等(1999)［6］以B-S模型為基礎，假設利率是連續(xù)變動下建立了巨災債券定價模型。Morton Lane等(2000，2007)［7-8］對已發(fā)行的巨災債券的參數(shù)進行回歸分析，不斷發(fā)展和完善了LFC巨災債券定價模型。Pederson 和 Cox(1994，2000)［9，10］研究了均衡定價原理與普通無套利定價原理的關系，認為不完全市場背景下，不確定性現(xiàn)金收益的定價問題可以視為委托代理問題，而借助定價內(nèi)核(pricing kernel)和等價鞅(martingale)技術可以將風險中性理論泛化到各種衍生品，拓展了巨災債券的定價方法。Wang(2004)［11］通過概率變換發(fā)展了LFC模型，提高了計算效率。Woo(2004)［12］較早提出了多事件觸發(fā)思想，認為現(xiàn)代巨災風險如恐怖襲擊風險面臨的風險具有模糊性(ambiguity)，多事件證券化產(chǎn)品則可以轉(zhuǎn)移此類風險。由于牽涉“多事件”，定價過程比之以往更為復雜，實證研究直到Reshetar(2008)［13］出現(xiàn)，他以巨災保險財產(chǎn)損失、死亡人數(shù)為觸發(fā)事件，對英國巨災債券債券價格進行了估算。至今相關研究仍顯不足，滯后于實踐發(fā)展速度與需要。國內(nèi)研究僅限于普通巨災債券的研究，尚未開展多事件觸發(fā)巨災債券的探索。代表性成果包括韓天雄等(2003)［14］、田玲等(2006)［15］、施 建 祥 (2006)［16］、張 慶 洪 等(2008)［17］、李永等(2005，2010)［18-19］。事實上，相比普通巨災債券，多事件觸發(fā)事件巨災債券具有投資風險低、違約概率低、信用評級高等優(yōu)勢，較易為市場接納等優(yōu)勢，更適合在類似中國的新興市場推行。

本文以多事件觸發(fā)巨災債券為研究對象，構建并闡述了產(chǎn)品定價模型及其實現(xiàn)過程，首次在中國臺風巨災財產(chǎn)損失、受災面積兩事件基礎上，完成對巨災債券的初步設計與價格估算。具體而言，考慮多事件結構的巨災債券運行機制和市場的不完全性，建立委托代理定價模型;對中國1990年以來歷次臺風直接經(jīng)濟損失和受災面積的邊緣分布分別進行擬合;通過Copula函數(shù)建立邊緣分布的聯(lián)合分布比較分析，確定了Clayton Copula概率分布函數(shù)，完成了定價分析。

二、運作與定價模型

(一)運作原理

本文以付息巨災債券為例。每年末按合同約定條件向投資者支付息票，收益來自于息票利息和期末本金兩部分，利息和本金均不確定，即都存在“違約”可能;以臺風巨災直接經(jīng)濟損失、受災面積作為標的損失指標，當且僅當一項標的損失超過觸發(fā)水平，當期和余期的息票將不予支付(或按一定比例支付);當且僅當兩項標的損失均超過各自對應觸發(fā)水平，到期的本金也將不予償還。即:

1.到期日為T，面值為F，每年支付息票利息為 Ct，t=1，2，… ，T，息票和本金均不確定，取決于觸發(fā)事件是否發(fā)生;

2.單位直接經(jīng)濟損失額為IL=ItL，0≤t≤T，為非負隨機變量服從FL分布;

3.單位受災面積 IS=，0≤t≤T，為非負隨機變量服從FS分布;

5.觸發(fā)事件的起始時間:

6. 一期利率 {r(k);k=0，1，2，…，T-1}。投資者第k年的現(xiàn)金流收益表示為:

(二)定價模型

巨災債券是一種零貝塔產(chǎn)品，即與金融市場其他產(chǎn)品價格收益相關性幾乎為零，無法借助資產(chǎn)組合實現(xiàn)定價過程(Litzenberger，1996)［20］。實際上，巨災債券收益取決于巨災發(fā)生概率，而在不完全性的巨災債券市場，并不存在可以套期保值的交易性損失指數(shù)。通過委托代理定價模型(representative agent pricing model)可以較合理解決巨災債券市場的不完全性問題。

假設金融市場變量的概率空間(Ω(1)，p(1)，P1)，影響巨災債券定價相關金融市場變量包括利率期限結構等因素;巨災風險變量的概率空間(Ω(2)，p(2)，P2)，P2概率由巨災事件概率決定。整體模型的概率空間X(Ω，p，P)，假設決定經(jīng)濟風險變量與巨災風險變量的事件相互獨立，則Ω=Ω(1)×Ω(2)，p=p(1)×p(2)，P=P(1)×P(2)。代理人根據(jù)效用最大化進行消費決策，實現(xiàn)未來現(xiàn)金流收益 CF={CF(k);k=1，2，…，T}:

當T=0時價格期望值:

其中，C*(k);k=0，1，2，…，T 表示累積消費的隨機過程;uk(C*(w，k))表示在k期隨機經(jīng)濟狀態(tài)為w時效用水平。

假設完全市場與無套利定價理論成立，一期利率為:

則價格期望值轉(zhuǎn)換為:

通過求Radon-Nikodym①在［0，T］區(qū)間Radon-Nikodym導數(shù):［1+r(0)］［1+r(1)］…［1+r(k-1)導數(shù)，證明巨災風險債券存在定價內(nèi)核或折價因子。進一步借助等價鞅原理證明式(2)等于式(4)［10］，因此可將均衡定價模型的巨災債券定價過程轉(zhuǎn)化為普通無套利定價和概率結構兩個階段，即式(4)所示價格由現(xiàn)金流收益和利率期限結構兩部分組成。假設利率為依賴金融風險大小而獨立于巨災風險的變量;現(xiàn)金流收益CF(k)只與巨災風險有關。相對于單一觸發(fā)性質(zhì)債券，多事件觸發(fā)巨災債券價格的概率結構更為復雜，其價格表示為:

其中，P(0，k)表示k時到期，面值為1元的無違約零息債券在t=0時價格。

三、參數(shù)估計與實證結果

(一)數(shù)據(jù)處理

選取1990-2009年《中國氣象災害年鑒》記錄的131次臺風災害的直接經(jīng)濟損失、受災面積數(shù)據(jù)為隨機變量樣本數(shù)據(jù);通過CPI指數(shù)逆推法將各年直接經(jīng)濟損失額換算為2009年不變價，并對受災面積剔除0值。

圖1 直接經(jīng)濟損失、受災面積的統(tǒng)計密度直方圖

根據(jù)中國臺風直接經(jīng)濟損失、受災面積的樣本數(shù)據(jù)，繪制頻率密度直方圖和密度估計曲線:均具有非對稱性和重尾特征，其中直接經(jīng)濟損失樣本數(shù)據(jù)偏度為2.207515，分布為左偏斜，峰度5.754364，數(shù)據(jù)集中于單側(cè)極端，尾部分散;受災面積樣本數(shù)據(jù)偏度為1.511036，峰度2.460155，分布也呈現(xiàn)左偏斜，尾部分散(見圖1)。

(二)邊緣分布檢驗

假設直接經(jīng)濟損失、受災面積為連續(xù)型變量。選取6種常用概率分布函數(shù):帕累托分布、伽馬分布、對數(shù)正態(tài)分布、偏斜正態(tài)分布、指數(shù)分布、威布爾分布，采用極大似然法估計參數(shù)，借助Kolmogorov-Smirnov(K-S)法進行擬合優(yōu)度檢驗，確定最適概率分布函數(shù)。見表1、表2。

在直接經(jīng)濟損失邊緣分布結果中，伽馬分布擬合優(yōu)度檢驗效果最好。K-S檢驗在5%顯著性水平D=0.0733，P值 =0.6858 ＞0.05。確定伽馬分布Gamma(0.7880，69.4444)為直接經(jīng)濟損失的統(tǒng)計分布(見圖2)，概率密度函數(shù)為:

表1 直接經(jīng)濟損失的6種概率分布擬合結果

圖2 中國臺風直接經(jīng)濟損失分布擬合結果

表2 受災面積的6種概率分布擬合結果

圖3 中國臺風受災面積分布擬合結果

在受災面積邊緣分布擬合結果中，威布爾分布擬合優(yōu)度檢驗效果最好。K-S檢驗表明在5%顯著性水平D=0.0622，P值=0.7190＞0.05。因此，確定威布爾分布Weibull(0.9067，438.5740)為受災面積的統(tǒng)計分布(見圖3)，其概率密度函數(shù)為:

(三)聯(lián)合分布函數(shù)與參數(shù)估計

1.Copula函數(shù)

由于通常直接經(jīng)濟損失、受災面積具有較強相關性，不能視作相互獨立變量。而在定價過程中現(xiàn)金流收益取決于二維隨機變量經(jīng)濟損失、受災面積概率函數(shù)形式，所以需要構造二者聯(lián)合分布函數(shù)?？刹捎冒⒒椎翪opula連接函數(shù)①Copula概念最先被Sklar(1973)［21］引入用于連接聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布，Mendes等(2004)［22］將其延伸到金融風險分析用于測度金融資產(chǎn)之間的相依結構。阿基米德Copula函數(shù)可以較好捕捉變量間非對稱相關關系和尾部相關性特征，在金融和保險分析中廣泛應用。擬合解決這一問題，即:

其中，φ(·)表示生成元，Gumbel、Clayton 和Frank Copula函數(shù)為常見二元阿基米德Copula函數(shù)形式。

2.非參數(shù)估計

根據(jù)Kendall秩②Kendall秩相關系數(shù)，表示隨機向量之間一致概率與不一致概率之差，即:τ(X1，X2)=P{［X1-E(X1)］-［X2-E(X2)］＞0}-P{［X1-E(X1)］-［X2-E(X2)］＜0}。與阿基米德Copula生成元參數(shù)間關系，結合K-S方法進行參數(shù)估計和擬合優(yōu)度檢驗。通過計算得到Kendall秩相關系數(shù)τ=0.6795，以及 Copula參數(shù) θ的 Kendall秩估計結果。見表3。

表3 Copula參數(shù)θ的Kendall秩估計結果

圖4 阿基米德Copula聯(lián)合分布函數(shù)擬合結果

3.聯(lián)合分布函數(shù)選擇

對比 K-S和 Copula擬合優(yōu)度檢驗結果，Clayton Copula函數(shù)擬合情況最好(見圖4)。根據(jù)生成元，得到聯(lián)合分布的累計概率函數(shù):

其中:

(四)數(shù)據(jù)設定與定價分析

1.數(shù)據(jù)設定與定價

假設其他基本數(shù)據(jù)設定:

(1)本金為100元，息票率為300個基點的1年期債券，即 F=100，C=3，T=1;

(2)市場利率參照2011年7月5日的12個月中國銀行同業(yè)拆借利率(SHIBOR)，r(0)=5.15%，并假設利率在到期前保持不變;

由式(9)計算觸發(fā)事件發(fā)生概率，由于第一類觸發(fā)事件即損失標的有且僅有一件超出觸發(fā)水平造成債券利息違約的概率為28.16%;由于第二類觸發(fā)事件即損失標的均超出觸發(fā)水平造成本金違約的概率為11.13%。已知定價公式表示為:

根據(jù)中性定價公式可知1年期債券息票的價格期望為2.05，本金的價格期望為84.52，所以該多事件觸發(fā)臺風巨災債券價格=2.05+84.52=86.57元。

2.價格動態(tài)分析

(1)價格敏感性分析

分別分析定價模型中主要參數(shù)變化對價格的影響程度，著重考察巨災風險變量即雙損失標的的觸發(fā)值增減10%時價格變化(見表4);金融市場變量即市場利率與債券息票率分別增減10%時價格變化。見表5。

表4 損失標的觸發(fā)值對價格的敏感性

表5 息票率與市場利率變化比例對價格的敏感性

第一，巨災風險變量中，債券價格與觸發(fā)值的變化正相關，即觸發(fā)值增大導致現(xiàn)金流損失的可能性下降，風險收益率低導致債券價格高。

第二，金融市場變量中，債券價格與市場利率的變化負相關，與息票率的變化正相關，而且對市場利率的變化更敏感。債券價格和市場利率的關系與債券定價理論是吻合的，對息票支付債券而言，息票率增加，會增加債券的現(xiàn)金流，從而提升債券價格，反之亦然。此外，該結論還表明，在金融市場價格波動風險主要來自于市場利率。

第三，相較對金融市場變量的敏感度，債券價格對巨災風險變量更加敏感。通過初步比較，表4價格的變化比例大于表5價格變化比例。以市場利率和觸發(fā)值兩個變量為例，將基礎情況τ=0.6795=87.69=777.28作為參照點，模型其他參數(shù)不變，當市場利率分別增加10%和減少10%，價格變化分別為0.487%和0.492%，而當雙觸發(fā)值分別增加10%和減少10%，價格變化分別為3.21%和2.6%。可見，對比普通巨災債券，多事件觸發(fā)的臺風債券雖然違約風險較低，更加接近普通債券，但價格變化對巨災風險因素更加敏感。

(2)價格穩(wěn)定性分析

價格穩(wěn)定性分析研究使債券價格趨于不變的參數(shù)水平，著重考察了損失標的中直接經(jīng)濟損失的觸發(fā)值。見表6。

四、結論

近年來，中國自然災害造成的經(jīng)濟損失愈發(fā)嚴重，巨災風險補償工作迫切需要從傳統(tǒng)的計劃模式向市場模式轉(zhuǎn)變。在這一轉(zhuǎn)變過程中，保險作為社會穩(wěn)定器，發(fā)揮化解巨災風險和損失補償?shù)墓δ?，是不可替代的。長期以來，主要依靠政府的賑災資金災與民間援助，但可謂杯水車薪。而由于中國保險發(fā)展正處于初級階段，覆蓋率低、償付能力不足等現(xiàn)象嚴重制約著巨災保險市場的發(fā)展，未能充分體現(xiàn)對經(jīng)濟風險的規(guī)避功能。當前巨災債券等保險衍生產(chǎn)品正在發(fā)揮著重要作用，可作為傳統(tǒng)再保險的補充手段，不僅使相關者獲得制度創(chuàng)新條件下的報酬遞增和自我強化利益，而且可能成為中國巨災補償制度完善的方向之一。

基于以上討論，本研究可以對中國巨災債券的理論與實踐發(fā)展起到一定推動作用。得到主要結論如下:

(1)巨災債券的價格隨著觸發(fā)值的增加而增加。主要原因在于，損失觸發(fā)值的增加表明該債券是易觸發(fā)、高風險的，即由違約風險引起的風險溢價較大，所以收益率也偏大。上述因素與風險溢價產(chǎn)生聯(lián)系，進而影響債券價格。另外，債券價格和市場利率的關系與債券定價理論是吻合的，債券價格隨著市場利率的增加而減少，隨著息票率的增加而增加。

表6 直接經(jīng)濟損失觸發(fā)值變化對價格的穩(wěn)定性

(2)在巨災債券設計時，我們可以考慮通過增加觸發(fā)值來達到在價格穩(wěn)定前提下巨災風險保障的目的，尤其可以應用于極端事件如核燃料泄漏、流行病、恐怖事件等的防范之中，并且可以滿足愿意承擔較低風險，支付較高價格的投資者。

(3)與金融市場變量的敏感性相比，價格變化過程中巨災風險變量發(fā)揮主要作用。按照理論預期，多事件觸發(fā)巨災風險債券由于現(xiàn)金流損失的可能性很小，更接近于普通債券，應與金融市場變量的相關性較強。此結論有悖于理論的原因可能是本文臺風債券所選擇的觸發(fā)事件相關性為0.6795，獨立性較低。所以在多事件結構的巨災債券設計時，可以考慮選擇除受災面積外，其他與經(jīng)濟損失標的事件相關性較低的事件，如死亡人數(shù)，從而減少觸發(fā)事件的相關性來降低價格變動中巨災風險因素的作用，同時也有利于應對災害的異質(zhì)性結果。

本文實現(xiàn)了對多事件觸發(fā)的巨災債券定價模型與應用研究的初步探討，但研究中仍然有如下方面需要考慮并解決:要將多事件觸發(fā)的臺風巨災債券定價推廣到其他巨災風險，建立涵蓋自然災難和人為災難的多風險結構產(chǎn)品的定價模型;債券期限結構復雜化，要將設計期限延長使分析過程更具有普遍意義;等。上述問題的存在，也為今后研究的完善明確了方向。

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