司偉建，蔣 鵬

（哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引言

瞬時頻率（instantaneous frequency，IF）是描述信號時變特征的基本參數，廣泛應用于工程應用領域，如地震、雷達、通信領域的信號識別、跟蹤估計等。

瞬時頻率的定義最早是由 Carson J R 與 Fry T C［1～3］提出，Ville將Gabor提出的解析信號與Carson及Fry的工作結合起來將瞬時頻率定義為解析信號的相位導數。Ville提到，由于瞬時頻率是時變的，所以，應該存在有與瞬時頻率相對應的瞬時譜，并且該瞬時譜的平均頻率即為瞬時頻率［4～6］。利用 Gabor的平均測度，Ville證明了信號譜的平均頻率等于瞬時頻率的時間平均。但是Ville并沒有進一步推導與瞬時頻率相對應的瞬時譜的表達式或者瞬時頻率的概率密度分布［7，8］。

本文從瞬時頻率的定義出發(fā)，研究了AWGN信道中采樣信號的瞬時頻率的概率密度分布。在差分運算的基礎上，提出了一種基于抽取與重構的瞬時頻率的估計算法，該算法具有與差分運算相似的瞬時頻率概率密度分布，根據分布模型的參數可知，該算法能夠極大地提高單載波信號瞬時頻率的估計性能。對于多載波信號，該算法同樣能夠提高瞬時頻率的估計性能，但是在提高估計性能的同時存在錯誤的瞬時頻率現象，本文稱其為虛假瞬時頻率（spurious IF）。如果在后續(xù)的處理中能夠剔除這些虛假瞬時頻率，那么對于提高多載波信號瞬時頻率的估計性能是非常有利的［9～11］。

1 瞬時頻率的概率密度分布

在方向數據統(tǒng)計理論中Von Mises分布M（μ0，k）在圓上分布中占有重要的作用，其密度函數為

其中，I0（·）為修正的第一類零階Bessel函數

且式（1）μ0中和k的取值有如下約定:

依余弦函數的性質，有M（μ0+π，k）=M（μ0－k），為克服由此帶來的不確定性，約定0≤μ0＜2π，k＞0。

本文提出了載波信號差分運算得到的瞬時頻率分布服從Von Mises分布的假設，且該分布的參數與載波頻率，采樣頻率和信噪比有關，表達式如式（3）和式（4）所示

式中fc為載波信號頻率，fs為信號的采樣頻率。ρ為信噪比，S為信號功率，N0為噪聲功率。文中在第3.2部分給出了假設檢驗結果。一般而言，信號的采樣頻率應滿足Nyquist采樣定理，即采樣頻率不低于信號最高頻率的2倍，因此，式（3）總能滿足μ0在［0，2π）區(qū)間或者［－π，π）區(qū)間。

對于MFSK這類多載波信號而言，瞬時頻率的分布是關于2πfc/fs對稱的多峰分布。其中每一個峰均符合Von Mises分布，相應的μi=2π（fc±nΔF）/fs，其中，ΔF為載波頻率間隔，n=（2（m－1）/2;m為調制階數。

圖1給出不同采樣頻率和不同信噪比下FSK信號載波頻率的概率密度分布曲線。載波信號的中心頻率經下變頻后fc=0，同時令κ=ΔF/fs為歸一化頻偏。圖1（a）為在信噪比ρ=10時，不同的歸一化頻偏時的概率密度分布曲線。圖1（b）為在歸一化頻偏為κ=0.075時，不同信噪比下的瞬時頻率的概率密度分布曲線。根據前面的分析可知，FSK信號的瞬時頻率分布的峰間距為Δμ=4πκ，當兩峰尖之間的峰谷值大于等于峰尖值時，那么FSK信號的2個瞬時頻率就會完全混疊在一起，以至于無法分辨。

從圖1（a）中可知，當信噪比ρ一定時，κ≤κT時，FSK信號的2個瞬時頻率無法分辨。為了能夠分辨2個瞬時頻率，歸一化頻偏κ應大于κT

當信號的頻偏一定和信噪比ρ一定時，fs≥fT時，FSK信號的2個瞬時頻率無法分辨。為了能夠分辨2個瞬時頻率，采樣頻率fs應小于fT，但同時fs不能小于信號最高頻率的2倍，以滿足Nyquist采樣定理

圖1 κ，ρ不同時FSK信號載波頻率的概率密度分布曲線Fig 1 Curve of probability density distribution of FSK carrier signal frequency under different κ and ρ

從圖1（b）中可知，對于FSK信號而言，歸一化頻偏κ一定時，當信噪比惡化時，2個瞬時頻率將部分混疊在一起，而當信噪比在ρ≤ρT時，FSK信號的2個瞬時頻率將無法分辨。因此，為了能夠分辨2個瞬時頻率，信噪比ρ應大于ρT

2 瞬時頻率的估計算法

對于單載波信號，改變信號的采樣頻率只會改變瞬時頻率概率密度分布的位置，并不會改變瞬時頻率概率密度分布的尺度。而對于多載波信號，只要瞬時頻率不發(fā)生混疊，改變信號的采樣頻率也只改變各個峰分布的相對位置，不會改變分布的尺度。根據這個結論，本文提出了一種基于抽取與重構的瞬時頻率估計算法，并且從理論上分析了該算法對瞬時頻率概率密度分布的影響，以及該算法對載波信號瞬時頻率估計的性能。

算法描述:對原始采樣序列x（n）以整數倍D進行抽取，以形成一個新序列xD（m）使抽取后的抽取序列取樣率fs/D不小于載波信號最高頻率的2倍以滿足Nyquist采樣定理。根據取樣的不同起始時刻可以得到D個序列xD（m），xD（m+1），…，xD（m+D－1），對每個序列分別求取瞬時頻率序列fif（m），fif（m+1），…，fif（m+D－1），對瞬時頻率重構后除以抽取倍數D，即可算得采樣頻率fs下的瞬時頻率?，F分析該算法的瞬時頻率分布情況。

從算法的描述中可知瞬時頻率依然服從Von Mises分布，但是分布的參數相應的變?yōu)槿缦卤磉_式

從公式（9）可知，該算法比直接用差分法求瞬時頻率時信噪比提高了D2倍。該算法對于提高單一載波信號的瞬時頻率的估計精度具有良好的效果，但是對于頻率不是恒定的信號（如FSK信號），這種算法在提高估計精度的同時會引入虛假的瞬時頻率。原因是當FSK信號頻率改變時，信號的瞬時相位變化曲線（理論上該變化曲線是一條直線）就會改變，將原始采樣信號以整數倍D進行抽取后，對于相隔D點的2個相位有可能正好位于2個變化曲線上，差分運算后就會產生虛假的瞬時頻率。當信號的采樣速率遠大于碼元速率且D較小，該算法所產生的虛假瞬時頻率對瞬時頻率的分布和瞬時頻率的判斷并無多大影響，但當采樣頻率不夠高而抽取的D較大，或者信號的瞬時頻率變化較快時，這種虛假瞬時頻率的影響也許會導致錯誤的結論。

綜合以上分析，對于不同的載波信號應采取不同的策略，對于單載波信號應盡可能地選取較大的抽取倍數以提高估計精度，而對于多載波的信號，應根據不同的應用場合選取合適的抽取倍數。

3 蒙特—卡羅模擬實驗

3.1 分布模擬

為了分析瞬時頻率計算方法對瞬時頻率概率分布的影響，分別對單載波信號和多載波信號進行了仿真分析。圖2（a）對單一載波信號的瞬時頻率分別采用差分運算和本文提出基于抽取與重構的算法進行計算機仿真（圖中D=1即為差分運算方法），并且將仿真結果與各自的理論分布曲線畫在同一個圖上，以方便分析和比較。圖中歸一化頻率κ=1/15，信噪比ρ=10。差分運算（D=1）的瞬時頻率分布與M（2π/15，10）的 Von Mises分布相一致，本文提出的算法當D=3時的瞬時頻率分布與M（2π/15，90）的Von Mises分布相一致。圖2（b）對多載波信號（FSK）的瞬時頻率分別采用差分運算和本文提出的算法進行計算機仿真，將仿真結果與各自的理論分布曲線同時畫在同一個圖上。圖中歸一化頻率，信噪比ρ=20約13 dB。從圖中可以明顯地看出:當以2倍抽?。―=2）時，在O點附近產生了虛假瞬時頻率，當兩瞬時頻率的分布曲線跟虛假的瞬時頻率沒有重疊時，是能夠將該虛假頻率從真實的頻率中剔除出去，這樣就能提高瞬時頻率的估計精度。

圖2 不同的抽取值D對單載波信號和FSK載波信號瞬時頻率分布的影響Fig 2 Effect of different value of D on single carrier signal and the FSK carrier signal instantaneous frequency distribution

3.2 假設檢驗計算

表1 瞬時頻率概率分布的擬合優(yōu)度檢驗Tab 1 Goodness-of-fit test of instantaneous frequency probability distribution

4 結論

本文提出了在AWGN信道中載波信號采樣序列的瞬時頻率的概率密度分布模型，并且通過假設檢驗的方法驗證了該假設，給出了假設檢驗結果。同時根據該分布模型提出了一種提高瞬時頻率估計精度的算法。從仿真結果可以看出:在低信噪比的情況下，該算法仍能保持96%以上的正確率。文中還分析了多載波信號采樣序列的瞬時頻率產生混疊以至無法分辨的情況，推導了瞬時頻率完全混疊時的極限公式，并且詳細分析了虛假瞬時頻率產生原因。如果在后續(xù)的處理中能夠剔除這些虛假瞬時頻率，那么對于提高多載波信號瞬時頻率的估計性能也是非常有利的。

［1］Carson J R，Fry T C.Variable frequency electric circuit theory with application to the theory of frequency modulation［J］.Bell Sys Tech，1937，16（1）:513 －540.

［2］Boashash B.Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal-part 1:Fundamentals［J］.Proceedings of the IEEE，1992，80（4）:520 －538.

［3］Boashash B.Estimating and interpreting the instantaneous frequency of a signal-part 2:Algorithms and applications［J］.Proceedings of the IEEE，1992，80（4）:540 －568.

［4］王竹溪，郭敦仁.特殊函數概論［M］.北京:北京大學出版社，2004.

［5］Dacidson K L，Cazzanti L，Pitton J W.Feature-based modulation classification using circular statistics［C］//2004 IEEE Military Communication Conference，2004:765 －771.

［6］李元生.方向數據統(tǒng)計［M］.北京:中國科學技術出版社，1998.

［7］楊小牛，樓才義，徐建良.軟件無線電原理與應用［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2001.

［8］劉慶云，陸飛飛，朱偉強.輻射源細微特征用于個體識別的可行性分析［J］.航天電子對抗，2008（2）:40－42.

［9］Abdi A，Bargnr J A，Kaveh M.A paranaetric model for the distribution of the angle of arrival and the associated correlation function and power spectrum at the mobile station［J］.IEEE Tram VT，2002，51（3）:425 －434.

［10］許月一.輻射源指紋機理及識別方法研究［D］.長沙:國防科學技術大學，2008.

［11］朱力行，許王莉.非參數蒙特—卡羅檢驗及其應用［M］.北京:科學出版社，2008.