李 暢

華中師范大學(xué) 城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079

1 引 言

滅點(diǎn)是一種無(wú)成本的控制點(diǎn)，可用于非量測(cè)相機(jī)的定標(biāo)（內(nèi)方位元素：主距）及任意相機(jī)的定姿（外方位元素：角元素），在本文中將“定標(biāo)”和“定姿”合稱“定參”。以往的研究幾乎都假定3個(gè)正交方向上滅點(diǎn)存在［1－5］，然而有些場(chǎng)景中不存在3個(gè)正交方向滅點(diǎn)或者三滅點(diǎn)很難被全部檢測(cè)出來(lái)，那么傳統(tǒng)的三滅點(diǎn)定參理論在實(shí)際應(yīng)用中受到了挑戰(zhàn)。

另外，到目前為止，基于滅點(diǎn)的研究皆以應(yīng)用研究為主，如滅點(diǎn)自動(dòng)檢測(cè)和基于滅點(diǎn)的相機(jī)定參方面［1，3－8］，雖 然 精 度 評(píng) 定 必 不 可 少，卻 都 是 以滅點(diǎn)為橋梁建立直線與相機(jī)參數(shù)的關(guān)系，繞過(guò)滅點(diǎn)探討相機(jī)參數(shù)的精度，然而對(duì)滅點(diǎn)本身的誤差及其對(duì)應(yīng)的誤差空間分布研究并不多。

鑒于此，本文將探討滅點(diǎn)定參的充要條件，重點(diǎn)分析雙正交滅點(diǎn)聯(lián)合誤差分布條件下，雙滅點(diǎn)及第三滅點(diǎn)誤差空間分布及其不確定性問(wèn)題。

2 滅點(diǎn)定參的充要條件

在人類活動(dòng)最頻繁的城市，建筑物提供了大量的“空間平行線”。根據(jù)計(jì)算機(jī)視覺(jué)與攝影測(cè)量的滅點(diǎn)理論可知，空間的平行線在影像上的投影應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格相交于一點(diǎn)［6］。不同場(chǎng)景中相交所成的滅點(diǎn)個(gè)數(shù)亦會(huì)不同。由于建筑立面的特殊性，通常只能檢測(cè)出兩個(gè)滅點(diǎn)：建筑物水平方向滅點(diǎn)X和鉛垂線方向滅點(diǎn)Y，而垂直于建筑物（深度）方向的滅點(diǎn)Z不易被檢測(cè)。值得注意的是，影像中滅點(diǎn)個(gè)數(shù)可能會(huì)出現(xiàn)大于3而正交方向的滅點(diǎn)數(shù)卻小于3的情況，如圖1（a）截面為正六邊形的棱柱有4個(gè)滅點(diǎn)，但僅存在兩個(gè)正交方向的滅點(diǎn)。圖1（b）截面為正五邊形的棱柱有6個(gè)滅點(diǎn)，也僅存在兩個(gè)正交方向的滅點(diǎn)。

文獻(xiàn)［9］論述了滅點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)相機(jī)參數(shù)確定的影響。在此基礎(chǔ)上，補(bǔ)充并給出滅點(diǎn)定參的充要條件如下：

（1）若存在3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)，則可采用文獻(xiàn)［9］中的定參方法。

（2）若僅存在兩個(gè)正交方向的滅點(diǎn)，則需采用雙滅點(diǎn)定參方法，即解算出第3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)從而轉(zhuǎn)化成三滅點(diǎn)定參問(wèn)題。但存在一種病態(tài)情況（將在下一節(jié)討論）。

（3）不存在正交方向的滅點(diǎn)，此時(shí)無(wú)解。

即滅點(diǎn)定參的充要條件為：當(dāng)且僅當(dāng)存在3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)。綜上可知，對(duì)于規(guī)則的房子等建筑物，出現(xiàn)3個(gè)正交方向上的滅點(diǎn)是可能的，但更一般的情況下，像方可能存在兩個(gè)、3個(gè)、甚至多個(gè)方向上的滅點(diǎn)，但這些方向不一定都相互正交。加之滅點(diǎn)檢測(cè)算法的靈敏性又會(huì)對(duì)檢測(cè)到的滅點(diǎn)數(shù)打折扣（如，立面很難檢測(cè)深度方向滅點(diǎn)），故雙正交方向滅點(diǎn)更為普遍，亟須研究該條件下的滅點(diǎn)理論與方法并探討其不確定性。

3 雙正交滅點(diǎn)條件下的滅點(diǎn)問(wèn)題

3.1 雙滅點(diǎn)不確定性分析

文獻(xiàn)［10］提出了3種確定地理信息數(shù)據(jù)中點(diǎn)的不確定方法：一是解析法，即基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的誤差傳播定律，其分布、方差協(xié)方差的傳播；二是基于試驗(yàn)法；三是基于模擬法。

通過(guò)解析法分析滅點(diǎn)不確定性方法如下：在有噪聲的情況下，空間平行線在影像上的投影未必交于一點(diǎn)，即存在閉合差。滿足滅點(diǎn)方向分組的線段ij對(duì)應(yīng)滅點(diǎn)V。

如圖2，由i、j、V三點(diǎn)共線可得

式中，（xV，yV）為滅點(diǎn)V的坐標(biāo)；（xi，yi）、（xj，yj）分別為點(diǎn)i、j坐標(biāo)，線性化后矩陣方程為［11］

式中，觀測(cè)向量為V＝［vxivyivxjvyj］T；未知數(shù)（即滅點(diǎn)）為x＝［vxvy］T；A為觀測(cè)系數(shù)矩陣；B為未知數(shù)系數(shù)矩陣；W為閉合差。此為附有參數(shù)的條件平差模型，在平差時(shí)采用粗差探測(cè)的“選權(quán)迭代法”［12］可在計(jì)算滅點(diǎn)坐標(biāo)的同時(shí)將不支持此滅點(diǎn)的粗差直線（誤分組）剔除掉，得到滅點(diǎn)坐標(biāo)。

圖2 滅點(diǎn)與分組直線段Fig.2 Vanishing point and grouped line segments

文獻(xiàn)［4］提出如下指標(biāo)評(píng)價(jià)滅點(diǎn)精度

式中，θi、θj表示交會(huì)滅點(diǎn)的兩條直線各自的角度。顯然指標(biāo)c接近于1精度最高，當(dāng)θi－θj為90°時(shí)，c＝1，即當(dāng)兩直線正交時(shí)，滅點(diǎn)的精度最高。在平行攝影時(shí)，物方的平行直線在像方幾乎也都是相互平行的。實(shí)際中c值往往很大，那么僅通過(guò)式（3）是無(wú)法更好評(píng)價(jià)滅點(diǎn)精度的，而且對(duì)滅點(diǎn)的點(diǎn)位誤差，和任意方向上的位差都無(wú)法評(píng)定。所以可利用誤差橢圓［11］來(lái)評(píng)定滅點(diǎn)分布的不確定性。

由平差中的協(xié)因數(shù)傳播律可知式（1）對(duì)應(yīng)未知參數(shù)（滅點(diǎn)）的方差為

則滅點(diǎn)的點(diǎn)位誤差為

誤差橢圓參數(shù)計(jì)算如下［13］

式中，QEE表示滅點(diǎn)在φE方向上取得位差的極大值；QFF為φE正交方向的極小值；E和F對(duì)應(yīng)誤差橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。此橢圓方程長(zhǎng)軸對(duì)應(yīng)的方位角為φE。根據(jù)點(diǎn)位誤差橢圓可以解算出點(diǎn)位誤差曲線從而確定任意方向上的誤差。

然而，在工程應(yīng)用中，有時(shí)需要關(guān)心任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間相對(duì)位置的精度，此時(shí)點(diǎn)位誤差橢圓失效，需用相對(duì)誤差橢圓進(jìn)行估算。設(shè)兩個(gè)待定點(diǎn)為Pi和Pk，這兩點(diǎn)的相對(duì)位置可通過(guò)其坐標(biāo)差來(lái)表示，即

根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可得

由于滅點(diǎn)的平差都是基于直線段分組的，X方向的分組直線對(duì)應(yīng)X方向的滅點(diǎn)，Y方向的分組直線對(duì)應(yīng)Y方向的滅點(diǎn)，這兩組觀測(cè)值相互獨(dú)立，所以其相關(guān)系數(shù)為零

即式（7）中

可得計(jì)算Pi和Pk點(diǎn)間的相對(duì)誤差橢圓3個(gè)參數(shù)［13］的公式

下面討論式（8）中的如何確定。此時(shí)涉及兩類獨(dú)立觀測(cè)值：X和Y方向滅點(diǎn)，依據(jù)滅點(diǎn)方程（2）可列出如下方程

先對(duì)各類觀測(cè)量定初權(quán)，進(jìn)行預(yù)平差，滅點(diǎn)初始定權(quán)可參見(jiàn)文獻(xiàn)［11］。再用平差后得到的觀測(cè)值改正數(shù)進(jìn)行估計(jì)并重新定權(quán)，如此重復(fù)，直到不同類觀測(cè)值的權(quán)趨于合理，即采用赫爾默特（Helmert）驗(yàn)后方差分量估計(jì)［14］，以此估算出單位權(quán)方差。

3.2 第三正交方向滅點(diǎn)解算

圖3中3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)為X∞，Y∞，Z∞即為三點(diǎn)透視，攝影中心為S，o為相機(jī)主點(diǎn)，f為主距，3個(gè)正交方向X、Y、Z的直線所形成的滅點(diǎn)必落在相應(yīng)的坐標(biāo)軸上。因此SX∞Y∞Z∞為一直角錐，So⊥ΔX∞Y∞Z∞，則相機(jī)主點(diǎn)o為ΔX∞Y∞Z∞的垂心［9］。

圖3 三正交方向上滅點(diǎn)幾何關(guān)系Fig.3 Image geometry with three vanishing points

設(shè)像主點(diǎn)坐標(biāo)O（x0，y0）為坐標(biāo)系原點(diǎn)，VX（x1，y1）、VY（x2，y2）和VZ（x3，y3）為該坐標(biāo)系下三正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo)，并已知兩個(gè)滅點(diǎn)VX和VY，以及O（x0，y0），如何解算第3個(gè)正交方向的滅點(diǎn)VZ？如圖4，O（x0，y0）是像主點(diǎn)同時(shí)也是滅點(diǎn)三角形ΔVXVYVZ的垂心（注意不是重心，若為重心，滅點(diǎn)三角形在像主點(diǎn)為圓心的外接圓上，雙滅點(diǎn)無(wú)法定參）。易知OZo⊥VXVY，VXOXo⊥VZVY，所以VZ是ZoO與VYXo的交點(diǎn)，可得方程

解得第三滅點(diǎn)坐標(biāo)VZ（x3，y3）

式中

滅點(diǎn)VX、VY的誤差橢圓方程可寫為

式中，E和F由式（6）計(jì)算可得，將式（13）轉(zhuǎn)換到像主點(diǎn)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系，則有

將其代入橢圓式（13），可得

此方程就是在右手坐標(biāo)系XOY（見(jiàn)圖4）下滅點(diǎn)VX，VY的誤差橢圓方程，由此也可確定XOY坐標(biāo)系下相對(duì)誤差橢圓方程。式（14）中i＝1，2，即為XOY下VX和VY橢圓圓心坐標(biāo)。

圖4 滅點(diǎn)幾何及誤差橢圓Fig.4 Vanishing points geometry and error ellipses

值得注意式（11）存在一種病態(tài)情況，即

將式（12）代入式（15）可得

也就是當(dāng)兩個(gè)滅點(diǎn)坐標(biāo)VX、VY與像主點(diǎn)坐標(biāo)O（x0，y0）3點(diǎn)共線時(shí)，不能解算第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)，因此無(wú)法通過(guò)滅點(diǎn)定參。

3.3 第三滅點(diǎn)不確定性隨機(jī)統(tǒng)計(jì)模擬

3.3.1 第三滅點(diǎn)不確定空間分布模擬

上面討論了如何通過(guò)兩個(gè)正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo)VX和VY解算第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo)VZ的方法，然而滅點(diǎn)VX和VY本身就存在不確定性。文獻(xiàn)［10］用點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢圓和圓形正態(tài)模型分析了點(diǎn)誤差的不確定性。在點(diǎn)誤差的二維正態(tài)分布下還可以計(jì)算其概率［13］。所以，本節(jié)提出在雙滅點(diǎn)聯(lián)合誤差分布（誤差橢圓）條件下，利用 Monte－Carlo方法模擬第三滅點(diǎn)的誤差分布。算法如下。

（1）在誤差橢圓內(nèi)生成均勻分布的偽隨機(jī)點(diǎn)：

①在VX和VY對(duì)應(yīng)誤差橢圓的外切矩形區(qū)域內(nèi)生成均勻分布隨機(jī)點(diǎn)；

②通過(guò)下面的兩個(gè)集合判斷是否落入VX或VY誤差橢圓內(nèi)

即保留落入誤差橢圓內(nèi)的均勻分布隨機(jī)點(diǎn)。

（2）遍歷VX和VY誤差橢圓內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)并利用推導(dǎo)的第三滅點(diǎn)坐標(biāo)公式（11）計(jì)算對(duì)應(yīng)的Z方向滅點(diǎn)，模擬出VZ的離散點(diǎn)空間分布。

3.3.2 第三滅點(diǎn)空間分布面積估算

如圖5要計(jì)算y＝f（x）與x＝0和y＝0圍成的Ω區(qū)域面積，通?？梢酝ㄟ^(guò)積分的方法。

圖5 基于Monte－Carlo估算Ω區(qū)域面積Fig.5 Estimation of the area size ofΩ

此處可通過(guò)Monte－Carlo方法來(lái)計(jì)算，根據(jù)幾何概型可知落入Ω區(qū)域的概率為

式中，p為概率；S＿AreaΩ為所求面積；nΩ為落入Ω的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)；N為總隨機(jī)點(diǎn)數(shù)

RectX和RectY為Ω的外切矩形區(qū)域的長(zhǎng)和寬，乘積即為Ω的外切矩形區(qū)域面積。圖5中RectX＝RectY＝1。由中心極限定理可知當(dāng)N趨于無(wú)窮時(shí)有

4 試 驗(yàn)

4.1 模擬試驗(yàn)

表1中設(shè)計(jì)了4組誤差橢圓參數(shù)進(jìn)行仿真試驗(yàn)。

表1 誤差橢圓參數(shù)Tab.1 The error ellipse parameters of VXand VY

根據(jù)表1中第1組誤差橢圓參數(shù)并忽略相機(jī)的畸變，令像主點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）（隨著當(dāng)代相機(jī)鏡頭的畸變?cè)絹?lái)越小，此處做一個(gè)近似）。模擬出的第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)的分布如圖6所示，其中類似雙葉型的VZ區(qū)域即為Z方向滅點(diǎn)的不確定性空間分布。在此區(qū)域的外切矩形內(nèi)隨機(jī)投15 000個(gè)點(diǎn)，并統(tǒng)計(jì)落入VZ區(qū)域的點(diǎn)數(shù)并根據(jù)式（20）計(jì)算得VZ區(qū)域面積S＿AreaVZ為1 447.1像素，該面積區(qū)域的估算精度約為±0.008像素。第2組數(shù)據(jù)在第1組的基礎(chǔ)上減少了VY分布范圍顯然S＿AreaVZ減少了。第3組數(shù)據(jù)在第2組的基礎(chǔ)上增大VX面積的同時(shí)增大了VX和VY間的距離，S＿AreaVZ雖然變大但仍小于第1組數(shù)據(jù)中VZ區(qū)域的面積。第4組數(shù)據(jù)在第3組的基礎(chǔ)上進(jìn)一步增大了VX和VY間的距離，并令VX的誤差橢圓長(zhǎng)短半軸與VY相同，此時(shí)VZ區(qū)域的面積為3 933.8，不確定性最強(qiáng)。但如果在第4組的基礎(chǔ)上將VY恢復(fù)到原來(lái)的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)，不確定性降到了5組數(shù)據(jù)中的最低。由此有理由假設(shè)：在VX和VY的空間分布范圍一大一小的條件下，隨著兩者間的距離增大，VZ分布的不確定性會(huì)降低。

圖6 滅點(diǎn)VZ空間分布Fig.6 VZerror graph under the Vxand Vy

4.2 影像試驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述假設(shè)進(jìn)行實(shí)拍檢驗(yàn)，相機(jī)為KODAR （PROFESSIONAL DCS Pro SLR／n）普通數(shù)碼相機(jī)，像幅大小1000像素×1500像素，相機(jī)主距24mm，像元大小0.025mm，影像見(jiàn)圖7。提取圖7中的直線段，并對(duì)VX和VY滅點(diǎn)方向線段進(jìn)行分組，采用式（2）可計(jì)算出滅點(diǎn)坐標(biāo)。忽略相機(jī)系統(tǒng)誤差，假設(shè)像主點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），由式（6）和式（8）可得雙正交方向滅點(diǎn)的誤差橢圓和相對(duì)誤差橢圓，再根據(jù)VX和VY坐標(biāo)及其誤差橢圓內(nèi)生成的均勻分布隨機(jī)點(diǎn)和式（11）估算出第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)的坐標(biāo)及分布范圍（xmin，ymin，xmax，ymax表示VZ空間分布的邊界坐標(biāo)最大最小值）見(jiàn)表2。利用 Monte－Carlo方法在VZ外切矩形內(nèi)隨機(jī)投15 000個(gè)隨機(jī)點(diǎn)，再用式（20）估算出VZ分布的面積為28.2±0.008（像素）。由此看出，盡管VX的誤差分布面積較大，但在VY分布面積不太大且VX和VY間距很大的條件下，它們的聯(lián)合誤差分布VZ的不確定區(qū)域卻相對(duì)較小。由此，驗(yàn)證了前面的假設(shè)，其他實(shí)拍影像也能得出一致結(jié)論。此結(jié)論對(duì)于基于雙滅點(diǎn)的相機(jī)定參十分重要，拍攝角度對(duì)滅點(diǎn)的精度有很大的影響，獲得較好精度的雙滅點(diǎn)拍攝角度未必能得到（三滅點(diǎn)更難），但拍攝獲得一個(gè)較好精度的滅點(diǎn)角度比較容易，如圖7仰拍時(shí)VY滅點(diǎn)不確定性較小，表2中VY的誤差橢圓長(zhǎng)軸和短軸皆相對(duì)較小。而且一般物方平行線投影于像方交會(huì)出的滅點(diǎn)間的坐標(biāo)距離往往又很大，這都符合假定條件：在VX和VY的空間分布范圍一大一小的條件下，隨著兩者間的距離增大，VZ分布的不確定性似乎會(huì)變小。

圖7 原始影像及直線提取滅點(diǎn)分組后影像Fig.7 Original image and extracted and grouped lines

表2 雙滅點(diǎn)及第三滅點(diǎn)的不確定性Tab.2 The error ellipse parameters of VXand VYfor figure 7

5 結(jié) 論

本文在原來(lái)滅點(diǎn)理論與方法的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充完善了滅點(diǎn)檢校與定姿的充要條件，給出了雙正交方向滅點(diǎn)定參中存在的病態(tài)問(wèn)題。補(bǔ)充了基于雙滅點(diǎn)（兩個(gè)待定點(diǎn)）的相對(duì)誤差橢圓評(píng)定相對(duì)精度的方法。重點(diǎn)探討了在更普遍的情況：雙正交方向滅點(diǎn)聯(lián)合誤差橢圓分布條件下，解算第3個(gè)正交方向滅點(diǎn)坐標(biāo)并隨機(jī)模擬其誤差空間分布和不確定性問(wèn)題。通過(guò)試驗(yàn)，提出并驗(yàn)證了第3滅點(diǎn)不確定性較小的條件，進(jìn)一步揭示和探討了滅點(diǎn)空間分布的規(guī)律。今后將通過(guò)計(jì)算滅點(diǎn)誤差空間分布的解析解，進(jìn)一步揭示和論證滅點(diǎn)的不確定性規(guī)律。

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［15］ ROBERT C P，CASELLA G.Monte Carlo Statistical Methods：2nd ed［M］.New York：Springer－Verlag，2004.