賀洪江，王春霞

（河北工程大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，河北邯鄲 056038）

0 引言

最小均方（LMS）算法是由Widrow和Hoff兩人在1960年提出的，由于其計算復(fù)雜度低、易于實現(xiàn)等優(yōu)點［1］，廣泛應(yīng)用于自適應(yīng)控制、系統(tǒng)辨識、信號處理和噪聲抵消等領(lǐng)域，同時自適應(yīng)濾波器在通信、雷達(dá)、工業(yè)控制、地震預(yù)報及生物醫(yī)學(xué)電子學(xué)等領(lǐng)域也已經(jīng)有了越來越廣泛的應(yīng)用。初始收斂速度、對時變系統(tǒng)跟蹤能力、穩(wěn)態(tài)誤差以及抗噪聲干擾能力是衡量LMS算法優(yōu)劣的重要性能指標(biāo)［2，3］。傳統(tǒng)LMS算法中固定步長的取值不同會影響算法的性能。減小步長取值可以降低穩(wěn)態(tài)誤差，但會降低算法的收斂速度和對時變系統(tǒng)的跟蹤能力;增大步長取值可以提高收斂速度，但會增大穩(wěn)態(tài)誤差。傳統(tǒng)的固定步長的LMS算法的大收斂速度和小穩(wěn)態(tài)誤差不能同時滿足，這就要求在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差2個性能指標(biāo)之間權(quán)衡。為此，人們提出了多種變步長 LMS 自適應(yīng)濾波算法［3～10］。

文獻(xiàn)［4］中提出的SVSLMS算法的收斂速度較快，但在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段的步長變化較大，穩(wěn)態(tài)誤差也較大。文獻(xiàn)［5］中提出的G-SVSLMS算法是在SVSLMS的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，穩(wěn)態(tài)步長變化比較緩慢，收斂速度也較快。文獻(xiàn)［6］提出一種新的變步長函數(shù)，具有在初始階段和未知系統(tǒng)時變時步長自動增大而在穩(wěn)態(tài)時步長很小的特點，但收斂速度需要進(jìn)一步提高。SVSLMS和G-SVSLMS算法的步長受誤差調(diào)節(jié)，抗噪聲能力比較低。

本文算法采用輸入信號與誤差信號不相關(guān)的特點，用誤差信號的自相關(guān)時間均值來調(diào)節(jié)步長，并用絕對估計誤差的擾動量以更新自適應(yīng)濾波器的抽頭向量，算法性能較上述算法有較大的優(yōu)越性。

1 自適應(yīng)濾波算法原理

LMS算法的基本原理是基于最速下降法，即沿著權(quán)值的梯度估值的負(fù)方向搜索，達(dá)到權(quán)值最優(yōu)，實現(xiàn)濾波器的輸出信號與期望輸出信號之間的LMS誤差。自適應(yīng)濾波的原理框圖［7］如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)濾波器原理框圖Fig 1 Principle diagram of adaptive filter

圖1中，x（n）為n時刻的輸入信號矢量;y（n）為輸出信號;v（n）為噪聲信號;d（n）為期望輸出信號;e（n）為d（n）和y（n）之間的誤差信號估計;通過誤差信號e（n）調(diào)節(jié)自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)向量，使自適應(yīng)濾波器收斂至穩(wěn)定狀態(tài)?；谧钏傧陆捣ǖ腖MS算法公式［8］如下

式中w（n）為n時刻N(yùn)階自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù);μ為控制穩(wěn)定性和收斂性能的參量即步長因子。LMS算法收斂時，步長因子μ的取值范圍為:0＜μ＜1/λmax，λmax為輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值。

2 新的變步長LMS算法與性能分析

變步長LMS算法的基本思想［9，10］是:在初始收斂階段或者系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生時變的時候，最優(yōu)權(quán)值與自適應(yīng)濾波器的權(quán)值相距較遠(yuǎn)，為了保證能有較快的收斂速度和對時變系統(tǒng)的跟蹤速度，選取較大的步長μ;在算法接近收斂時，濾波器的權(quán)值接近最優(yōu)權(quán)值，為了減少算法的穩(wěn)態(tài)誤差，選取較小的步長μ?；谶@種思想，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，通過在步長參數(shù)μ（n）與誤差信號e（n）之間建立一種新的非線性函數(shù)關(guān)系來調(diào)節(jié)步長，提出一種新的變步長LMS算法，本文算法步長因子函數(shù)和權(quán)系數(shù)更新公式如下

式中α為控制函數(shù)形狀的常數(shù)，決定曲線上升的快慢;β為控制函數(shù)取值范圍的常數(shù)。α，β分別變化時步長因子μ（n）和誤差e（n）的關(guān)系曲線如圖2和圖3所示。

圖2 α=1，β變化時μ（n）與e（n）的關(guān)系曲線Fig 2 Relation curves with μ（n）and e（n）when α =1 and different β

圖3 β=1，α變化時μ（n）與e（n）的關(guān)系曲線Fig 3 Relation curves with μ（n）and e（n）when β =1 and different α

由圖2可知，當(dāng)α固定時，β取值越大，步長初始值也越大，收斂速度也越快，同時穩(wěn)態(tài)誤差也越大;β取值越小，步長初始值也越小，收斂速度也越慢，穩(wěn)態(tài)誤差也越小。由圖3可知，當(dāng)β固定時，α取值變化時也具有同樣的特點，同時，在|e（n）|＞1.3時步長變化不明顯，但α越大時步長也越大，收斂速度也越快。e（n）趨近于0時，步長變化也較緩慢。由以上分析可知，新算法穩(wěn)態(tài)時步長變化平滑，克服了SVSLMS算法e（n）接近0時步長變化太大的缺點。算法性能由α和β共同決定，當(dāng)要求較快的收斂速度時，2個參數(shù)的取值都應(yīng)該較大，當(dāng)要求較小的穩(wěn)態(tài)誤差時，2個參數(shù)的取值都應(yīng)該較小，在實際應(yīng)用中根據(jù)環(huán)境的不同來確定最佳取值。

式（4）中的kγ（n）（|e（n）|－|e（n－1）|）為本文算法絕對估計誤差的擾動量。傳統(tǒng)算法采用隨機(jī)梯度調(diào)整抽頭權(quán)向量，每次迭代時的估計誤差e（n）的正負(fù)并不確定，抽頭權(quán)向量的調(diào)整只能圍繞w0震蕩。本文用絕對估計誤差能更好地表示估計信號偏離期望信號的程度，擾動量可以對w（n）進(jìn)行正反向調(diào)節(jié)來加快算法的初始收斂速度。通過γ（n）擾動量幅度因子，把擾動量對w（n）的調(diào)節(jié)控制在一個最佳水平。γ（n）以式（5）的指數(shù)形式衰減，其中，p＜1。在迭代次數(shù)比較少時，擾動量對w（n）的影響較大，隨著迭代次數(shù)的增加，γ（n）趨近于0，e（n）的波動幾乎不會對w（n）造成影響，從而使穩(wěn)態(tài)誤差抑制在較低的水平。為了加強(qiáng)算法的抗噪性能，本文算法中用式（3）的誤差向量自相關(guān)值e（n）e（n－1）來調(diào)節(jié)步長。設(shè)自適應(yīng)濾波器抽頭權(quán)向量的維納解為w0，令Δw=w（n）－w0為n時刻權(quán)系數(shù)矢量與最佳值之差，期望信號的介入噪聲為ξ（n），與x（n）不相關(guān)，則有

由式（6）、式（7）得

設(shè)噪聲功率為σ2，由系統(tǒng)特性可知

由式（12）和式（13）可知，誤差自相關(guān)函數(shù)只與輸入信號有關(guān)，而與噪聲無關(guān)。SVSLMS算法用誤差調(diào)節(jié)步長，GSVSLMS算法用誤差功率調(diào)節(jié)步長，導(dǎo)致在低信噪比條件下性能惡化。本文算法的噪聲抑制能力優(yōu)于上述算法。

3 算法仿真結(jié)果分析比較

3.1 仿真條件

1）自適應(yīng)濾波器階數(shù)L=2;

2）未知系統(tǒng)的 FIR 系數(shù)為w1=［0.8，0.5］T;

3）參考輸入信號x（n）是均值為0，方差為1的高斯白噪聲;

4）v（n）為與x（n）不相關(guān)的高斯白噪聲，其均值為0，方差為1;

5）在本文實驗條件下對三種算法進(jìn)行了大量的仿真，測定了三種算法性能最優(yōu)時的參數(shù)取值范圍，參數(shù)取值如下:SVSLMS算法中α=150，β=0.07;G-SVSLMS算法中α=450，β=0.06;本文算法中α=1500，β=0.05，γ（0）=0.4，p=0.4;

6）采樣點數(shù)為1000，分別做500次獨立仿真，然后通過求其統(tǒng)計平均，得出學(xué)習(xí)曲線。

3.2 仿真結(jié)果分析比較

本文算法和SVSLMS算法及G-SVSLMS算法收斂曲線的比較如圖4所示。

圖4 三種不同算法收斂曲線Fig 4 Convergence curve of three different algorithm

圖4中的三條收斂曲線從上到下依次為SVSLMS算法、G-SVSLMS算法和本文算法的收斂曲線。由圖3可知，本文算法的收斂速度快于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法，穩(wěn)態(tài)誤差小于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法的穩(wěn)態(tài)均方誤差較接近，本文算法有效抑制了隨機(jī)噪聲對信號的干擾，在綜合性能上優(yōu)于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法，驗證了前文對算法性能的分析。

4 系統(tǒng)發(fā)生時變時算法分析

系統(tǒng)發(fā)生時變時的總采樣點數(shù)為1000，系統(tǒng)在第500個采樣點時刻未知系統(tǒng)發(fā)生時變，未知系統(tǒng)的FIR系數(shù)由原來的w1=［0.8，0.5］T變?yōu)閣2=［0.7，0.5，0.2］T，做500次獨立仿真，求其統(tǒng)計平均，得出系統(tǒng)發(fā)生時變時本文算法收斂曲線如圖5所示。

圖5 本文算法發(fā)生時變時收斂曲線Fig 5 Convergence curve when this algorithm have time-varying

由圖可以看出:本文算法在系統(tǒng)發(fā)生時變時同樣具有很快的收斂速度，因此，本文算法在綜合性能上優(yōu)于SVSLMS算法和G-SVSLMS算法的同時仍具有較好地對時變系統(tǒng)的跟蹤能力。

5 結(jié)論

本文通過在步長因子與誤差信號之間建立一種新的非線性函數(shù)數(shù)，同時引入絕對估計的擾動量，提出了一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法，較好地解決了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。理論分析與仿真驗證顯示，本文算法不僅初始收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差和抗噪性能均優(yōu)于傳統(tǒng)的幾種算法，而且具有較好的對時變系統(tǒng)的跟蹤能力。

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