諶貽慶，徐 鑫

1 馬爾可夫模型

1.1 概念與基本原理

（1）馬爾可夫鏈定義

給定隨機(jī)序列{Xn,n≥0}。如果對(duì)任意正整數(shù)k≥2，任意的 0≤t1＜t2＜...＜tk+1，任意的非負(fù)整數(shù)i1,i2,...,ik，E為Xn的狀態(tài)空間，條件概率函數(shù)總是滿足下式：

P(Xtk+1=ik+1|Xt1=i1,...,Xtk=ik)=P(Xtk+1=ik+1|Xtk=ik)(ik+1∈E)

那么，稱{Xn,n≥0}為離散時(shí)間的馬爾可夫鏈，簡(jiǎn)稱為馬爾可夫鏈（或馬氏鏈）[2]。

（2）一步轉(zhuǎn)移概率

稱條件概率 pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i}為馬爾可夫鏈{Xn,n≥0}在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移概率，其中i,j∈E，簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn)移概率。設(shè)P表示一步轉(zhuǎn)移概率pij所組成的矩陣，且狀態(tài)空間E={1,2,...}，則：

稱為系統(tǒng)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

（3）n步轉(zhuǎn)移概率

（4）馬爾可夫過程基本原理

按照系統(tǒng)的發(fā)展，時(shí)間可離散化為n=0,1,2,3,...i,....，對(duì)每個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)可用隨機(jī)變量表示，并且對(duì)應(yīng)一定的概率，該概率稱為狀態(tài)概率。如果轉(zhuǎn)移概率只與目前相鄰兩狀態(tài)的變化有關(guān)，即下階段的狀態(tài)只與現(xiàn)在狀態(tài)有關(guān)而與過去無關(guān)，那么這種離散狀態(tài)按照離散時(shí)間的隨機(jī)轉(zhuǎn)移系統(tǒng)過程，稱為馬爾可夫過程。

馬爾可夫過程具有以下特性：

①設(shè)馬爾可夫鏈{Xn,n≥0}的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=(pij)n×n，如果非負(fù)數(shù)列{πj}滿足：

則稱{πj,j∈I}為馬爾可夫鏈{Xn,n≥0}的平穩(wěn)分布。

②設(shè)馬爾可夫鏈{Xn,n≥0}有有限狀態(tài)空間I={1 ,2,...,n}，如果存在正整數(shù)n0，使對(duì)一切i,j∈I都有，則此馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的。

1.2 馬氏檢驗(yàn)

對(duì)于隨機(jī)序列{Xn,n≥0} ，用 pij表示在(X1,X2,...,Xn)中從狀態(tài)i經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的頻數(shù)，并將(pij)n×n的各列之和除以各行各列的總和所得到的值記為N?j，即：

2 運(yùn)用馬爾可夫鏈預(yù)測(cè)農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)

2.1 狀態(tài)的劃分與轉(zhuǎn)移概率矩陣

從中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒上得知，自農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)創(chuàng)立以來每個(gè)季度的數(shù)據(jù)，取2002～2008年共計(jì)28個(gè)季度的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 2002～2008年每季度農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)

將指數(shù)分為五個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間代表一種狀態(tài)，如表2所示。

表2 各區(qū)間所表示的狀態(tài)

由表1和表2可以統(tǒng)計(jì)得到每季度的農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移次數(shù)，所得結(jié)果如表3所示。

表3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移次數(shù)

綜上可得，農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的一步概率矩陣

2.2 對(duì)農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的馬氏檢驗(yàn)

根據(jù)以上所得數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量 χ2=36.1582。給定顯著性水平α=0.05，查表可得分位點(diǎn)的值χ2(16)=26.3，χ2＞χ2(16)，{Xn,n≥0}符合馬氏性，可以利用馬爾可夫鏈來處理農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)。

2.3 農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)馬氏鏈的遍歷性

由以上統(tǒng)計(jì)得到的P為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可以根據(jù)其計(jì)算出多步轉(zhuǎn)移概率矩陣，用P2，P3表示三步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

由以上計(jì)算可得，經(jīng)過足夠的時(shí)間，從任一狀態(tài)出發(fā)，達(dá)到任意狀態(tài)的概率都大于0，因此各個(gè)狀態(tài)是互通的，從而可知該馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的。

2.4 農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的馬氏鏈穩(wěn)定概率向量

根據(jù)馬氏鏈穩(wěn)定條件，設(shè)π=(x1,x2,...,xn)為原馬氏鏈的平穩(wěn)分布，從而有下式：

代入數(shù)據(jù)，得到方程：

解得(x1,x2,x3,x4,x5)=(0.16,0.32,0.2,0.16,0,16)

從而農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的馬氏鏈穩(wěn)定概率為(0.16,0.32,0.2,0.16,0,16).由表2可知，初始概率為(0.2143,0.3214,0.1786,0.1429,0.1429)

2.5 對(duì)農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)馬氏鏈數(shù)據(jù)的分析

由于數(shù)據(jù)的有限性，數(shù)據(jù)吻合的不是很好，但是數(shù)據(jù)大體符合實(shí)際情況。農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)處于狀態(tài)2時(shí)最穩(wěn)定，即當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品處于100～106時(shí)，指數(shù)最穩(wěn)定。一方面，隨著指數(shù)的增高，數(shù)據(jù)將慢慢的趨于不穩(wěn)定，會(huì)很快轉(zhuǎn)移；另一方面，隨著指數(shù)的降低，例如處于100點(diǎn)之下時(shí)，數(shù)據(jù)也是相對(duì)不穩(wěn)定的，會(huì)很快轉(zhuǎn)移。這和實(shí)際生活中的現(xiàn)象比較符合。農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)反映了全國(guó)農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格水平和結(jié)構(gòu)變動(dòng)情況，當(dāng)指數(shù)下降時(shí)，間接說明全國(guó)主要農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格的下跌，在一定程度上就會(huì)損害農(nóng)業(yè)生產(chǎn)者的利益，也可能導(dǎo)致農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)的供不應(yīng)求，此時(shí)，除了市場(chǎng)機(jī)制會(huì)起作用外，政府等相關(guān)部門也會(huì)采取相應(yīng)的政策，用以支持農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，從數(shù)據(jù)看，2003年第四季度農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)較快，而在當(dāng)時(shí)，黨中央作出了一系列積極決策，是政策實(shí)施密度較大的一年，這就解釋了上文研究所得的結(jié)果。

當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)持續(xù)升高時(shí)，說明農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格整體在高位運(yùn)行，農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)可能會(huì)出現(xiàn)供過于求的狀況，比如2007年和2008年，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格持續(xù)上漲，針對(duì)這一情況，中國(guó)國(guó)務(wù)院在2008年1月30日晚發(fā)布了《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于切實(shí)加強(qiáng)農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)建設(shè)進(jìn)一步促進(jìn)農(nóng)業(yè)發(fā)展農(nóng)民增收的若干意見》?！兑庖姟贩Q，切實(shí)保障農(nóng)產(chǎn)品供給與穩(wěn)定市場(chǎng)價(jià)格是中國(guó)政府當(dāng)前和近期工作的主要任務(wù)。從此可以看出，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格指數(shù)偏高時(shí)，也就是農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格升高時(shí)，除了市場(chǎng)機(jī)制外，更多的是中央等部門在發(fā)揮市場(chǎng)調(diào)節(jié)的作用。

2.6 對(duì)2009年農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的預(yù)測(cè)

2008年第四季度的農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)為101.61，處于狀態(tài)2，即此時(shí)的初始概率為π(0)=(0,1,0,0,0)，所以2009年第一季度與第二季度的指數(shù)狀態(tài)概率向量為：

和實(shí)際數(shù)據(jù)相比（實(shí)際中，2009年第一季度農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)為94.14，第二季度為93.39），這有一定的出入，預(yù)測(cè)顯示，最穩(wěn)定的區(qū)間仍然是區(qū)間2，即處于100-106之間，但指數(shù)值處于第一區(qū)間的概率明顯上升，而處于高水平的區(qū)間的概率很?。◣缀鯙?），說明農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在2009年將有可能遭遇一輪下跌的趨勢(shì)，而在現(xiàn)實(shí)情況下，2008年爆發(fā)的金融危機(jī)對(duì)我過的農(nóng)業(yè)影響不容忽視，2009年中央也出臺(tái)了一系列針對(duì)金融危機(jī)的農(nóng)業(yè)新政策。為了剔除金融危機(jī)的影響，以2009年第一季度為初始數(shù)據(jù)，則此時(shí)的初始向量為π(0)=(1,0,0,0,0)，則第二季度的概率向量為：

這說明，如果農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)持續(xù)在低位運(yùn)行，那么其持續(xù)在低位運(yùn)行的概率將大大增加，僅僅依靠市場(chǎng)機(jī)制的作用，很難發(fā)揮其維穩(wěn)的作用，從而更加的需要中央等有關(guān)部門干預(yù)農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)。

3 農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)未來走勢(shì)的預(yù)測(cè)

3.1 指數(shù)走勢(shì)的轉(zhuǎn)移概率矩陣

整理表1，再加上國(guó)家統(tǒng)計(jì)局最新發(fā)布的2009年前三季度的數(shù)據(jù)（分別為94.14，93.39，97.33），觀察數(shù)據(jù)，取±2個(gè)點(diǎn)的值為分界線，增長(zhǎng)超過一點(diǎn)視為上升，下降超過一點(diǎn)視為下跌，在一點(diǎn)之內(nèi)視為持平，分別記做狀態(tài)E1,E2,E3。根據(jù)統(tǒng)計(jì)農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，統(tǒng)計(jì)伊始的第一季度視為持平從而有表4。

表4 2002～2009年三季度供31個(gè)季度指數(shù)的走勢(shì)

根據(jù)可以計(jì)算出指數(shù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況，如表5。

表5 農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況

得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P：

3.2 馬氏檢驗(yàn)

根據(jù)以上所得數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量 χ2=20.2994。給定顯著性水平α=0.05，查表可得分位點(diǎn)的值χ2(4)=9.49，χ2＞χ2(4)，{Xn,n≥0}符合馬氏性，可以利用馬爾可夫鏈來處理。

3.3 指數(shù)走勢(shì)穩(wěn)定概率向量

設(shè)指數(shù)狀態(tài)向量為(x1,x2,x3)，其中x1代表上升，x2代表持平，x3代表下跌。再將各項(xiàng)數(shù)據(jù)代入上述穩(wěn)定條件方程：

所以關(guān)于農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)走勢(shì)的穩(wěn)定概率向量為(0.3576,0.3329,0.3059)

3.4 對(duì)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)走勢(shì)的穩(wěn)定概率向量的分析

通過以上的分析，隨著以后每個(gè)季度對(duì)農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)的統(tǒng)計(jì)，指數(shù)將以35.76%的概率上升超過兩點(diǎn)，以33.29%的概率維持在兩點(diǎn)之內(nèi)，以30.59%的概率下跌超過兩點(diǎn)。所以可以看出，農(nóng)產(chǎn)品生產(chǎn)價(jià)格指數(shù)在長(zhǎng)期內(nèi)，上升的概率將大于下跌的概率，從而在長(zhǎng)期內(nèi)，國(guó)內(nèi)主要農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格將更有可能呈現(xiàn)出普漲的局面。

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