郝騰飛 陳 果

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

0 引言

機(jī)械故障檢測(cè)在本質(zhì)上是一個(gè)模式識(shí)別問(wèn)題，建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論之上的支持向量機(jī)（support vector machines，SVM）［1－2］具有良好的推廣能力，已經(jīng)在機(jī)械故障檢測(cè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［3－8］。但是，支持向量機(jī)作為一種兩類分類方法，在訓(xùn)練中須同時(shí)使用正常樣本和故障樣本。機(jī)械故障檢測(cè)中，故障樣本通常很難獲取，也不可能為了獲得故障樣本而故意破壞機(jī)械設(shè)備，因此，在機(jī)械故障檢測(cè)中，故障樣本是可遇而不可求的。針對(duì)該問(wèn)題，一些學(xué)者將支持向量數(shù)據(jù)描述（support vector data description，SVDD）［9－10］應(yīng) 用 于機(jī)械故障檢測(cè)［11－13］，該方法只需使用正常樣本進(jìn)行訓(xùn)練，因此有效地解決了故障樣本缺失情況下的故障檢測(cè)問(wèn)題。但是，在現(xiàn)實(shí)的機(jī)械故障檢測(cè)中，故障樣本雖然不易獲取，但一般通過(guò)各種途徑還是能獲取到一些，如通過(guò)機(jī)械設(shè)備曾經(jīng)偶爾發(fā)生的一些故障可以收集到一些故障樣本，只是這些樣本相對(duì)于正常樣本較少，因此，機(jī)械故障檢測(cè)的現(xiàn)實(shí)情況是正常樣本較多，故障樣本較少，兩者在數(shù)量上嚴(yán)重不平衡。在這種情況下，如果使用傳統(tǒng)的支持向量機(jī)進(jìn)行故障檢測(cè)，由于訓(xùn)練樣本嚴(yán)重不平衡，其性能會(huì)顯著下降。如果使用支持向量數(shù)據(jù)描述進(jìn)行故障檢測(cè)，則故障樣本得不到有效利用。基于上述分析，在機(jī)械故障檢測(cè)領(lǐng)域，研究不平衡樣本下的故障檢測(cè)方法是一個(gè)重要且有意義的問(wèn)題。

針對(duì)該問(wèn)題，本文將小球大間隔方法（small sphere large margin，SSLM）［14］應(yīng)用于機(jī)械故障檢測(cè)，提出了一種不平衡樣本下的機(jī)械故障檢測(cè)方法。該方法在訓(xùn)練中不僅使用大量的正常樣本，而且可以使用少量的故障樣本對(duì)決策邊界進(jìn)一步修訂，其基本思想是通過(guò)訓(xùn)練構(gòu)造一個(gè)包圍正常樣本的超球，在使超球體積最小化的同時(shí)，進(jìn)一步使超球邊界和故障樣本之間的間隔最大化。本文首先使用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行不平衡樣本下的分類實(shí)驗(yàn)，直觀地表明了小球大間隔方法在不平衡樣本學(xué)習(xí)下的優(yōu)越性；然后將該方法應(yīng)用到滾動(dòng)軸承故障檢測(cè)中，并將其與傳統(tǒng)的支持向量機(jī)和支持向量數(shù)據(jù)描述進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了該方法在解決不平衡樣本下機(jī)械故障檢測(cè)問(wèn)題中的優(yōu)越性。

1 小球大間隔方法

小球大間隔方法［14］是一種針對(duì)訓(xùn)練中擁有大量正常樣本和少量異常樣本情況的異常檢測(cè)方法，其集成了一類分類方法（支持向量數(shù)據(jù)描述）和傳統(tǒng)兩類分類方法（支持向量機(jī)）的思想。一方面，與支持向量數(shù)據(jù)描述類似，小球大間隔方法通過(guò)在特征空間中構(gòu)造一個(gè)包圍正常樣本的超球來(lái)進(jìn)行異常檢測(cè)，若一個(gè)測(cè)試樣本落入超球內(nèi)部，則將其分類為正常，否則，將其分類為異常。為了減小將異常樣本分類為正常樣本的可能性，該超球的體積被最小化。另一方面，受支持向量機(jī)大間隔思想的啟發(fā)，為了進(jìn)一步減小將異常樣本分類為正常樣本的可能性，小球大間隔方法要求超球邊界與異常樣本之間的間隔最大化。

式中，φ（xi）、φ（xj）分別為正常樣本和異常樣本在特征空間中的位置；c、R分別為在特征空間中建立的超球的球心位置和半徑；ρ2為超球邊界與異常樣本之間的間隔；ξ為松 弛 向 量，ξ＝ （ξ1，ξ2，…，ξn）∈ Rn；ν、ν1、ν2為 三 個(gè) 正常數(shù)。

根據(jù)上述最優(yōu)化問(wèn)題，最小化目標(biāo)函數(shù)將使超球的半徑R最小化，同時(shí)超球邊界與異常樣本之間的間隔ρ2最大化，因此將該異常檢測(cè)方法稱為小球大間隔方法。

為了導(dǎo)出式（1）～式（4）的對(duì)偶形式，定義以下Lagrange函數(shù)：

其中，αi、βi為 Lagrange乘子，αi≥0，βi≥0。令L（R，c，ρ，ξ，α，β）關(guān)于原始變量的導(dǎo)數(shù)為零，可得

由式（10）、式（6）可得

將式（6）～ 式（9）和式（11）代入式（5），即可得到上文最優(yōu)化問(wèn)題的對(duì)偶形式：

求解出對(duì)偶問(wèn)題（式（12）～式（16））后，為了計(jì)算半徑R，考慮下列集合：

根據(jù)KKT（Karush－Kuhn－Tucker）條件，對(duì)于S中的樣本，式（2）和式（3）中的等號(hào)成立，同時(shí)松弛變量為零。令n＝｜S｜，則

根據(jù)式（11），可求得

為了對(duì)一個(gè)測(cè)試樣本x∈Rd進(jìn)行分類，只須根據(jù)決策函數(shù)判斷該樣本是否在訓(xùn)練階段構(gòu)造的超球體內(nèi)。決策函數(shù)的表達(dá)式為

2 小球大間隔方法在不平衡樣本學(xué)習(xí)下的優(yōu)越性比較與分析

為了直觀地比較支持向量機(jī)、支持向量數(shù)據(jù)描述以及小球大間隔方法應(yīng)用于不平衡樣本時(shí)的局限性與優(yōu)越性，利用二維仿真數(shù)據(jù)對(duì)三種方法進(jìn)行了不平衡樣本下的分類實(shí)驗(yàn)。

仿真數(shù)據(jù)通過(guò)隨機(jī)均勻分布產(chǎn)生，具體產(chǎn)生辦法為：在由橫坐標(biāo)［0，1］和縱坐標(biāo)［0，1］形成的區(qū)域內(nèi)根據(jù)均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生200個(gè)正類訓(xùn)練樣本，在由橫坐標(biāo)［1，2］和縱坐標(biāo)［0，1］形成的區(qū)域內(nèi)根據(jù)均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生20個(gè)負(fù)類訓(xùn)練樣本，訓(xùn)練樣本中正類樣本和負(fù)類樣本的不平衡比為10∶1，然后采用相同的方法另外產(chǎn)生100個(gè)正類樣本和100個(gè)負(fù)類樣本用于測(cè)試，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的具體細(xì)節(jié)如表1所示。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

3種方法的核函數(shù)均選取高斯核函數(shù)。SVM和SSLM的參數(shù)通過(guò)五折交叉驗(yàn)證進(jìn)行選取。由于SVDD僅使用一類樣本進(jìn)行訓(xùn)練，因此不適合使用交叉驗(yàn)證的方法選取參數(shù)，鑒于該方法和SSLM一樣都是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包圍正類樣本的超球來(lái)進(jìn)行分類，因此，為公平起見(jiàn)，選取和SSLM一樣的核參數(shù)，另一個(gè)懲罰參數(shù)選取1，即要求在訓(xùn)練集上沒(méi)有誤分。使用上述參數(shù)選取方法選取參數(shù)后進(jìn)行分類實(shí)驗(yàn)，3種方法在訓(xùn)練集和測(cè)試集上的分類結(jié)果分別如圖1和圖2所示，具體的識(shí)別率如表2所示。

圖1 三種方法在訓(xùn)練集上的分類結(jié)果

圖2 三種方法在測(cè)試集上的分類結(jié)果

建立在結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化之上的SVM，通過(guò)在模型的復(fù)雜性和訓(xùn)練誤差之間尋求折中，而不是一味地追求訓(xùn)練誤差最小化，從而能夠有效地避免過(guò)擬合現(xiàn)象，表現(xiàn)出良好的推廣能力。但是，當(dāng)訓(xùn)練樣本嚴(yán)重不平衡時(shí)，一方面較少一類的樣本很容易遠(yuǎn)離理想的分類面，另一方面SVM軟間隔的特點(diǎn)使得SVM訓(xùn)練得到的分類面會(huì)向樣本較少一類偏移［15］，當(dāng)使用該分類面對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行分類時(shí)，樣本個(gè)數(shù)較少的一類會(huì)具有較高的誤識(shí)率。從圖1a可以看出：由于正類樣本較多，因此在理想分類面附近分布有很多樣本；由于負(fù)類樣本較少，僅有一個(gè)樣本接近理想分類面。這種情況下，SVM在軟間隔特點(diǎn)的作用下，為了獲得更大的間隔，最終訓(xùn)練得到的分類面向負(fù)類樣本方向發(fā)生了偏移，并越過(guò)了一個(gè)負(fù)類樣本，導(dǎo)致在訓(xùn)練集上該類樣本有一個(gè)發(fā)生了誤分?？傊捎谏鲜鰞蓚€(gè)原因，SVM在訓(xùn)練樣本不平衡的情況下得到的分類面明顯向樣本較少的負(fù)類方向發(fā)生了偏移。從圖2a可以看出，當(dāng)使用該分類面對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行分類，正類樣本沒(méi)有誤分，其識(shí)別率達(dá)到了100%，而負(fù)類樣本有相當(dāng)一部分發(fā)生了誤分，其識(shí)別率僅為81%。

表2 三種方法在仿真數(shù)據(jù)上的識(shí)別率

SVDD作為一種一類分類方法，在訓(xùn)練中只須使用正常樣本，其基本思想是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包圍正常樣本的超球來(lái)進(jìn)行異常檢測(cè)，若測(cè)試樣本落入超球內(nèi)部，則將其分類為正常，否則將其分類為異常。通過(guò)引入核技巧，該方法可以獲得靈活的描述邊界。從該方法的原理可以看出，SVDD進(jìn)行異常檢測(cè)的效果取決于得到的描述邊界是否緊湊，若描述邊界非常緊湊，則異常樣本很難落入超球內(nèi)部，從而可以獲得較好的異常檢測(cè)效果，否則，異常檢測(cè)的效果會(huì)較差。但是，只有當(dāng)核參數(shù)選取恰當(dāng)時(shí)，SVDD才能獲得緊湊的描述邊界，由于該方法在訓(xùn)練時(shí)僅使用了正常樣本，當(dāng)訓(xùn)練樣本位于高維空間時(shí)，僅通過(guò)正常樣本很難判斷選取的核參數(shù)對(duì)應(yīng)的描述邊界是否緊湊，若訓(xùn)練得到的描述邊界不是非常緊湊，使用該方法進(jìn)行異常檢測(cè)時(shí)接受異常樣本的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)較高。另外，由于SVDD要求包圍正常樣本的超球盡可能小，這使得其和SVM相比，正常樣本的識(shí)別率容易偏低。圖1b所示為SVDD使用正類樣本訓(xùn)練得到的分類面，該分類面包圍住了所有的正類樣本，即其在訓(xùn)練集上的識(shí)別率達(dá)到了100%，但是從圖2b可以看出，使用該分類面對(duì)測(cè)試樣本進(jìn)行分類時(shí)，正類樣本沒(méi)有一個(gè)發(fā)生誤分，負(fù)類樣本有7個(gè)發(fā)生了誤分，即正類樣本的識(shí)別率為100%，負(fù)類樣本的識(shí)別率為93%。

SSLM也是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包圍正常樣本的超球來(lái)進(jìn)行異常檢測(cè)，這一點(diǎn)與SVDD類似，不同點(diǎn)在于該方法在訓(xùn)練中引入了異常樣本，在最小化超球的同時(shí)，進(jìn)一步使超球邊界和異常樣本之間的間隔最大化，因此，與SVDD相比，該方法一般可以獲得更加緊湊的描述邊界，從而能夠降低接受異常樣本的風(fēng)險(xiǎn)。由于該方法同樣要求包圍正常樣本的超球盡可能小，因此和SVM相比，其正常樣本的識(shí)別率也容易偏低。圖1c所示為SSLM通過(guò)訓(xùn)練得到的分類面，其對(duì)正類樣本和負(fù)類樣本的識(shí)別率均達(dá)到了100%。對(duì)比SSLM和SVDD的分類面，可以看出，在靠近負(fù)類樣本一側(cè)，SSLM的分類面更加緊湊，這一點(diǎn)正是通過(guò)大間隔的要求獲得的。圖2c所示為SSLM在測(cè)試樣本上的分類結(jié)果，其對(duì)正類樣本的識(shí)別率為98%，略低于另外兩種方法的正類識(shí)別率，對(duì)負(fù)類樣本的識(shí)別率為100%，明顯高于另外兩種方法的負(fù)類識(shí)別率。

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)和分析可以看出，當(dāng)訓(xùn)練樣本高度不平衡時(shí)，SVM的分類面會(huì)偏向樣本較少的類，這使得其對(duì)樣本較少類的識(shí)別率容易偏低，因此訓(xùn)練樣本不平衡會(huì)明顯降低SVM的性能；SVDD僅使用一類樣本進(jìn)行訓(xùn)練，雖不存在訓(xùn)練樣本不平衡的問(wèn)題，但該特點(diǎn)導(dǎo)致其核參數(shù)選擇比較困難，不能保證對(duì)應(yīng)的描述邊界一定非常緊湊，若核參數(shù)選擇不當(dāng)，該方法對(duì)異常樣本的識(shí)別率容易偏低；SSLM在訓(xùn)練中同時(shí)使用正常樣本和異常樣本，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包圍正常樣本的超球來(lái)進(jìn)行異常檢測(cè)，這一特點(diǎn)使得其面對(duì)不平衡的訓(xùn)練樣本時(shí)不存在SVM的缺點(diǎn)，而大間隔的特點(diǎn)又克服了SVDD的不足，因此SSLM可以作為一種很好的不平衡樣本下的異常檢測(cè)方法。機(jī)械故障檢測(cè)是一種典型的不平衡樣本下的異常檢測(cè)問(wèn)題，因此SSLM可以用于解決不平衡樣本下的機(jī)械故障檢測(cè)問(wèn)題。

3 滾動(dòng)軸承故障檢測(cè)應(yīng)用

為驗(yàn)證SSLM在不平衡樣本下機(jī)械故障檢測(cè)中的優(yōu)越性，本文使用滾動(dòng)軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)數(shù)據(jù)進(jìn)行了不平衡樣本下的故障檢測(cè)實(shí)驗(yàn)，作為對(duì)比，同時(shí)使用SVM和SVDD進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。滾動(dòng)軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖3所示，其中，通道1的傳感器用于測(cè)試滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)速，通道2和通道4的傳感器用于測(cè)試水平加速度信號(hào)，通道3的傳感器用于測(cè)試垂直加速度信號(hào)。采用4個(gè)6304型滾動(dòng)軸承進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中，1個(gè)為正常軸承，另外3個(gè)被設(shè)置有內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障（故障通過(guò)電火花技術(shù)加工而成）。實(shí)驗(yàn)中軸 承 的 轉(zhuǎn) 速 為 1500r/min、1800r/min 和 2000 r/min，采樣頻率為10kHz。根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)條件采集4種狀態(tài)（正常、內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障）下的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)各300組數(shù)據(jù)，每一組數(shù)據(jù)包含4096個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)中將內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障樣本混合組成故障類樣本。根據(jù)訓(xùn)練樣本中正常樣本和故障樣本的不同比例（1∶1、10∶1、20∶1、40∶1），將實(shí)驗(yàn)分為4組，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的具體細(xì)節(jié)如表3所示。

圖3 滾動(dòng)軸承故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)

表3 滾動(dòng)軸承故障檢測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本文將滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的波形指標(biāo)、峰值指標(biāo)、脈沖指標(biāo)、裕度指標(biāo)和峭度指標(biāo)作為滾動(dòng)軸承的故障特征，將這5個(gè)特征組成五維特征向量并作為分類器的輸入。

實(shí)驗(yàn)中，3種方法的核函數(shù)統(tǒng)一選擇高斯核函數(shù)。參數(shù)選取方法同上節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)一樣，即SVM和SSLM的參數(shù)通過(guò)五折交叉驗(yàn)證進(jìn)行選取。為公平起見(jiàn)，SVDD選取和SSLM一樣的核參數(shù)，另一個(gè)懲罰參數(shù)選取1，即要求在訓(xùn)練集上沒(méi)有誤分。每一組實(shí)驗(yàn)中，訓(xùn)練樣本和測(cè)試樣本隨機(jī)劃分10次，對(duì)每一次劃分的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類實(shí)驗(yàn)，然后將10次分類結(jié)果的平均值作為最終結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

表4 3種方法在滾動(dòng)軸承實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)上的識(shí)別率

從表4中SVM的檢測(cè)結(jié)果可以看出，當(dāng)訓(xùn)練樣本平衡時(shí)，在訓(xùn)練集和測(cè)試集上，SVM對(duì)于正常樣本和故障樣本均取得了較高的識(shí)別率，這表明當(dāng)訓(xùn)練樣本平衡時(shí)，SVM是一種很好的故障檢測(cè)方法。當(dāng)訓(xùn)練樣本不平衡時(shí)，在訓(xùn)練集上，SVM對(duì)正常樣本的識(shí)別率達(dá)到了100%，對(duì)故障樣本的識(shí)別率較訓(xùn)練樣本平衡時(shí)出現(xiàn)了一定下降，而且不平衡比越高，對(duì)故障樣本的識(shí)別率下降越明顯；在測(cè)試集上，與訓(xùn)練樣本平衡時(shí)相比，SVM對(duì)正常樣本的識(shí)別率稍有上升，達(dá)到了100%，但對(duì)故障樣本的識(shí)別率出現(xiàn)了明顯下降，而且隨著不平衡比的增加，對(duì)故障樣本的識(shí)別率急劇下降，這表明在訓(xùn)練樣本不平衡時(shí)，SVM對(duì)正常樣本的識(shí)別率容易偏高，而對(duì)故障樣本的識(shí)別率容易偏低。在機(jī)械故障檢測(cè)中，由于將故障誤判為正常的代價(jià)遠(yuǎn)高于將正常誤判為故障的代價(jià)，因此一般希望對(duì)故障的識(shí)別率能夠較高，但是SVM在訓(xùn)練樣本不平衡情況下的性能正好與該目標(biāo)相反。

從表4中SVDD的檢測(cè)結(jié)果可以看出，由于該方法僅使用正常樣本進(jìn)行訓(xùn)練，因此不存在訓(xùn)練樣本不平衡的問(wèn)題。在訓(xùn)練集上，其對(duì)正常樣本的識(shí)別率達(dá)到了100%；在測(cè)試集上，其對(duì)正常樣本的識(shí)別率低于SVM對(duì)正常樣本的識(shí)別率，對(duì)故障樣本的識(shí)別率低于訓(xùn)練樣本平衡時(shí)SVM對(duì)故障樣本的識(shí)別率，但高于訓(xùn)練樣本不平衡時(shí)SVM對(duì)故障樣本的識(shí)別率?？傮w來(lái)說(shuō)，當(dāng)訓(xùn)練樣本不平衡時(shí)，SVDD的故障檢測(cè)性能優(yōu)于SVM的故障檢測(cè)性能。

從表4中SSLM的檢測(cè)結(jié)果可以看出，在訓(xùn)練集上，對(duì)于各種不平衡比，其對(duì)正常樣本和故障樣本的識(shí)別率都接近或達(dá)到了100%；在測(cè)試集上，該方法對(duì)正常樣本的識(shí)別率略低于SVM對(duì)正常樣本的識(shí)別率，與SVDD對(duì)正常樣本的識(shí)別率基本相當(dāng)，但是對(duì)故障樣本的識(shí)別率明顯高于SVM和SVDD對(duì)故障樣本的識(shí)別率。總體來(lái)說(shuō)，對(duì)于各種不平衡比，在訓(xùn)練集和測(cè)試集上，SSLM對(duì)于正常樣本和故障樣本的識(shí)別率均取得了較大的值，這表明SSLM基本不受訓(xùn)練樣本不平衡的影響。此外還可以看出，SSLM對(duì)故障樣本的識(shí)別率較正常樣本更高一些，這一點(diǎn)與故障檢測(cè)中更加重視故障識(shí)別率的目標(biāo)一致?？傊?，SSLM基本不受訓(xùn)練樣本不平衡的影響和其更加注重故障識(shí)別率的特點(diǎn)使得其非常適合不平衡樣本下的機(jī)械故障檢測(cè)。

4 結(jié)論

（1）當(dāng)訓(xùn)練樣本嚴(yán)重不平衡時(shí)，支持向量機(jī)訓(xùn)練得到的分類面會(huì)向訓(xùn)練樣本較少的故障類方向偏移，從而會(huì)導(dǎo)致故障類具有較高的誤識(shí)率，而且訓(xùn)練樣本不平衡程度越嚴(yán)重，支持向量機(jī)對(duì)故障類的誤識(shí)率越高。

（2）支持向量數(shù)據(jù)描述在訓(xùn)練中僅使用了正常樣本，該特點(diǎn)導(dǎo)致其核參數(shù)選取困難，不能保證獲得的描述邊界一定非常緊湊，若核參數(shù)選取不當(dāng)，容易造成故障識(shí)別率偏低。

（3）小球大間隔方法在最小化超球的同時(shí)，進(jìn)一步使超球邊界和故障樣本之間的間隔最大化，這使得其對(duì)故障的識(shí)別率能有很好的保證，可以作為一種解決不平衡樣本下機(jī)械故障檢測(cè)問(wèn)題的有效方法。

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