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        尋找接觸物系的相關(guān)加速度

        2012-07-19 08:01:44袁張瑾
        物理教師 2012年4期
        關(guān)鍵詞:柱體法向圓柱體

        袁張瑾

        (寧波效實(shí)中學(xué),浙江 寧波 315010)

        有關(guān)接觸物系接觸點(diǎn)的速度特征,在中學(xué)物理中常有涉及,也歸納了相應(yīng)的解決辦法.由接觸物的力學(xué)性質(zhì)及“接觸”的約束條件可知,沿接觸面法線方向,接觸雙方必須具有相同的法向分速度,否則將分離或形變違反接觸的約束條件.根據(jù)接觸物系接觸點(diǎn)的相關(guān)速度特征,很多教師和學(xué)生自然地認(rèn)為接觸點(diǎn)的相關(guān)加速度也具有相同的特征,由此出現(xiàn)了一些常見錯(cuò)誤.

        例題.如圖1所示,一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng),半圓柱面上擱著一根只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)的豎直桿,當(dāng)半圓柱體速度為v時(shí),桿與半圓柱體的接觸點(diǎn)A與柱心O的連線與豎直方向的夾角為θ,求此時(shí)豎直桿的速度和加速度分別為多少?

        常見解法:這是接觸物系相關(guān)速度和相關(guān)加速度問題.根據(jù)接觸物系接觸點(diǎn)的速度相關(guān)特征,兩者沿接觸面法向的分速度相同,如圖2所示,即

        故v桿=vtanθ,方向向上.同理得桿的加速度a桿=atanθ,方向也向上.

        圖1

        圖2

        由上述方法求出的桿的加速度是否存在問題?桿的加速度值的求解能否簡(jiǎn)單地從速度值的求解中遷移過去?

        以下是筆者對(duì)此問題的解法,供參考.

        方法1:根據(jù)接觸物系接觸點(diǎn)的加速度相關(guān)特征求解.

        由圖2(a)可知,此時(shí)桿相對(duì)柱體的速度分量為vt=對(duì)應(yīng)圖中大三角形的斜邊),方向沿A點(diǎn)切線,如圖3所示.若以柱體為參考系,則桿相對(duì)柱體有向心加速度為方向指向柱體中心O.桿相對(duì)柱體也具有切向加速度,但切向加速度不影響法向加速度,故暫不分析.

        現(xiàn)根據(jù)接觸物系接觸點(diǎn)法向加速度分量相等求解,建立矢量式為

        圖3

        a桿對(duì)地n=a桿對(duì)柱n+a柱對(duì)地n,即asinθ,解得若式中a桿>0,則桿的加速度方向向上,反之則向下.

        方法2:根據(jù)桿的運(yùn)動(dòng)只沿豎直方向,桿對(duì)地的水平加速度為0的特征求解.

        桿相對(duì)柱有切向加速度at,設(shè)at方向同vt,如圖4所示.依據(jù)桿對(duì)地的水平加速度為0,可列式:ansinθ+atcosθ-a=0,即得因此桿的加速度a桿=atsinθ-ancosθ,代入解得

        圖4

        方法3:利用數(shù)學(xué)方法對(duì)位移求兩階導(dǎo)數(shù).

        以柱心O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖5所示的坐標(biāo)系.依題意,柱右移,桿上升,以柱為參考系,桿與柱的接觸點(diǎn)從A(x0,y0)升至B(x,y),則有

        圖5

        對(duì)y方向上的位移求一階導(dǎo)數(shù)有

        再對(duì)v桿求導(dǎo)有

        導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容,物理競(jìng)賽中也有較多的問題用求導(dǎo)可以十分方便地解答.因此在中學(xué)物理競(jìng)賽輔導(dǎo)中應(yīng)用導(dǎo)數(shù)尋找物體間的相關(guān)加速度,這是可行且必要的.

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