黃昆侖 朱 軍 葛義軍

海軍工程大學船舶與動力學院，湖北武漢430033

頻率散射對船舶垂蕩與縱搖耦合運動的影響

黃昆侖 朱 軍 葛義軍

海軍工程大學船舶與動力學院，湖北武漢430033

為研究遭遇頻率散射現(xiàn)象對船舶垂蕩與縱搖耦合運動所造成的影響，以某船為研究對象，假設船舶在頂浪航行，通過船舶縱向速度振蕩產生頻率散射?；诟ト甑隆死茁宸蚣俣ǎ茖Р⒌玫搅舜故幣c縱搖耦合運動響應方程。采用切片法計算了耦合運動方程中的水動力系數(shù)。通過理論求解方法驗證了數(shù)值求解耦合運動方程的準確性。同時，還分析了散射強度和散射頻率單獨對耦合運動的影響，以及兩者對耦合運動的綜合影響。結果表明，增大散射強度和散射頻率可以減弱垂蕩和縱搖耦合運動及其劇烈程度。

船舶；波浪；縱搖與垂蕩；頻率散射

0 引 言

1948 年，Davidson［1］對順浪中的船舶操縱性問題進行了研究。1959 年，Rydill［2］在考慮 Froude-Krylov波浪擾動后，得到了波浪中船舶可控和不可控運動的線性分析。1965 年，Eda［3］在線性操縱性方程中疊加了諧振形式的波浪力，并在線性理論下得到了波浪中船舶航向穩(wěn)定性結果。1972年，Eda［4］又在PD操舵規(guī)律下研究了波浪中船舶的航向控制穩(wěn)定性，波浪中的操縱性研究基本上是沿用低頻操縱性運動方程疊加高頻波浪擾動力的方法。1990 年，Nonaka［5］采用雙時標展開法在勢流理論范圍內證明了該方法的合理性。2004年，朱軍［6］等人采用切片理論法計算了入射波浪力并將其代入波浪操縱性運動方程中，模擬計算了操縱運動。2009年，陳俊峰［7］等人簡化了計算模型，并采用相同的數(shù)值方法對波浪中的操縱與橫搖運動進行了模擬。

上述研究主要關注的是波浪對操縱性的影響。而文獻［8］則基于規(guī)則波浪中船舶搖蕩運動的不規(guī)則現(xiàn)象［9-10］，提出了遭遇頻率散射的概念，開始關注波浪中船舶操縱性對搖蕩運動的影響，并初步研究了航速和航向引起的散射機制，從而給出了航速散射在頂（順）浪效率最高，航向散射在正橫浪效率最高的結果。單自由度遭遇頻率散射計算闡明了船舶遭遇頻率散射的形成機理，并得到了搖蕩運動方差有顯著降低的結論。

本文將主要研究船舶縱向速度振蕩對垂蕩與縱搖耦合運動的影響，建立耦合運動響應模型，計算散射強度和散射頻率變化對耦合運動的影響，從而得到相關規(guī)律。

1 垂蕩與縱搖耦合運動方程

1.1 坐標系及運動關系

為描述船舶的搖蕩運動，需要建立3種右手直角坐標系，如圖1所示。

1）固定坐標系 Eξηζ。坐標系固定于地球，用于描述波面升高ζ和船體垂向位移z。

2）平移坐標系oxyz，隨船以等速度v0沿Eξ方向運動時，可用于描述船體勻速運動。

3）運動坐標系Gxbybzb，坐標系與船一起平移和搖蕩。

假定船舶相對于平移坐標系oxyz沿ox軸以速度 x˙1向前運動，同時，相對于原點o的縱向振蕩位移記為x1，其中 x˙1為縱向振蕩速度。

圖1 運動坐標系Fig.1 Coordinates to describe ship motions

當縱傾角很小時，忽略由于船體縱傾角而引起的縱向位移的高階小量，船體切片縱向坐標（圖1）可表示為：

由坐標系間關系和式（1），可得到：

于是，船體縱向振蕩位移為：

1.2 縱搖與垂蕩耦合運動方程系數(shù)

根據(jù)牛頓第二定律、慣性力以及外力平衡，得

式中，m為船體質量；Jψ為船體縱向慣性矩；F為波浪力；M為波浪力矩。

展開得到如下縱搖與垂蕩耦合運動方程：

式中，Z為船體垂向位移；ψ為縱搖角；AZZ，BZZ，CZZ，AZψ，BZψ，CZψ，Aψψ，Bψψ，Cψψ，AψZ，BψZ，CψZ為船體水動力系數(shù)；Fc，F(xiàn)s，Mc，Ms為波浪力（矩）系數(shù)；ωe0為等速度前進時的遭遇頻率；t為時間；k為波浪波數(shù)。

以某船為實例，采用切片法計算式（5）中的水動力系數(shù)。參考艦船耐波性基礎上的查圖譜方法［11］，先得到各切片單位長度的附加質量和阻尼系數(shù)，然后再通過積分得到水動力系數(shù)。

該船船長 L=125m，取規(guī)則波波長 λ=L=125 m。采用切片法計算得到的水動力系數(shù)如表1所示。

表1 隱身船的垂蕩與縱搖耦合運動方程系數(shù)Tab.1 Hydrodynamic coefficients of coupling motion equations

2 垂蕩與縱搖耦合運動頻率散射

2.1 耦合運動頻率散射的概念

文獻［12］提出了遭遇頻率散射的概念。本文將討論在垂蕩與縱搖耦合運動方程中，由于縱向速度振蕩而引起的遭遇頻率散射機制。

將表1中的水動力系數(shù)代入式（6），再設定遭遇頻率散射強度和散射頻率，利用Matlab軟件編制程序，可以通過數(shù)值來求解該二元二次常微分方程組，從而得到垂蕩和縱搖耦合運動規(guī)律。

2.2 耦合運動方程數(shù)值求解驗證

為了對數(shù)值求解運動方程所得到的結果進行檢驗，考慮當ΔS=0，即不發(fā)生頻率散射時，垂蕩和縱搖耦合方程是二階常系數(shù)線性二元聯(lián)立方程組，具有理論解，可以與數(shù)值解進行對比驗證。

本文將通過簡捷的復數(shù)形式來求解微分方程組。首先把擾動力（矩）及垂蕩和縱搖運動都表示成復數(shù)形式。取ΔS=0，將式（6）的右端簡化成單項復數(shù)形式。于是，式（6）可以寫成：

由于式（7）代表輸入是調和函數(shù)的線性系統(tǒng)，故垂蕩和縱搖運動是與輸入函數(shù)頻率相同，但幅值有所放大和相位有一定滯后的調和函數(shù)，寫成復數(shù)形式則為：

式中，P、Q、R、S為式（7）整理后的系數(shù)，由方程的水動力系數(shù)和ωe0共同決定。

式（10）是二元一次代數(shù)方程組，可理論求解得到垂蕩運動振幅Za=1.041 4 m，縱搖運動振幅ψa=0.095 1 rad。其值與數(shù)值方法得到的結果一致，從而驗證了數(shù)值解法的準確性。

式中，Za和ψa分別為垂蕩和縱搖幅值；εZ-ζ和εψ-ζ分別為垂蕩和縱搖相對于船中波浪的相位差。

將式（8）和式（9）代入式（7），整理后得到：

3 頻率散射對耦合運動影響分析

3.1 散射強度對耦合運動的影響分析

散射頻率ωω取常值0.2 s-1，散射強度系數(shù)kω變化為0～0.24，即每隔0.04變化一次。通過計算，可以得到垂蕩與縱搖運動及其運動速度的歷時曲線。無頻率散射(kω=0)和發(fā)生頻率散射(kω=0.24)時的垂蕩與縱搖運動歷時曲線對比如圖2所示。歷時曲線由許多幅值不等的振蕩周期組成，取歷時曲線中的所有振蕩周期幅值組成新的數(shù)組。該數(shù)組能反應出垂蕩與縱搖運動及其運動速度振幅，據(jù)此可計算該數(shù)組的最大值和平均值，其結果如表2所示。垂蕩與縱搖運動的振幅最大值和平均值可以反應出運動的強弱，而垂蕩與縱搖運動速度的振幅最大值和平均值則可以反應出運動的劇烈程度?？v搖運動振幅最大值、平均值曲線如圖3所示。

根據(jù)表2及圖2、圖3，可得到以下幾點規(guī)律：

表2 垂蕩和縱搖運動及其速度最大值與平均值隨散射強度的變化Tab.2 Maximum and average amplitude changing with scattering intensity

圖2 不同散射強度下垂蕩與縱搖運動歷時曲線對比Fig.2 Contrast of curves of pitch and heave motions at different scattering intensities

圖3 縱搖運動振幅最大值和平均值曲線Fig.3 Curves of maximum and average amplitude of pitch motions

1）由圖 2可看出，與 kω=0時相比，在 kω=0.24后，垂蕩與縱搖運動的振幅在整體上有明顯的減小。

2）隨著散射強度系數(shù)的增加，垂蕩與縱搖運動及其速度的振幅最大值曲線均呈現(xiàn)出明顯的上下波動，但波動變化范圍不大，在10%以內。

3）隨著散射強度系數(shù)的增加，垂蕩與縱搖運動的振幅平均值曲線均呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢。當散射強度系數(shù)kω=0.24時，相比kω=0時分別降低了26%和27%。垂蕩與縱搖速度的振幅平均值曲線也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢，當散射強度系數(shù) kω=0.24時，相比 kω=0時分別降低了22%和23%。

3.2 散射頻率對耦合運動的影響分析

散射強度系數(shù)kω取常值0.2，散射頻率ωω變化為0～0.42 s-1，即每隔0.06 s-1變化一次。通過計算，可以得到垂蕩與縱搖運動及其運動速度的歷時曲線。無頻率散射(ωω=0)和發(fā)生頻率散射(ωω=0.42)時的垂蕩與縱搖運動歷時曲線對比如圖4所示。同樣，取歷時曲線中所有振蕩周期的幅值組成新的數(shù)組，據(jù)此可計算該數(shù)組的最大值和平均值，其結果如表3所示。垂蕩運動振幅最大值與平均值曲線如圖5所示。

根據(jù)表3及圖4、圖5，可得出以下幾點規(guī)律：

1）由圖4可看出，與ωω=0時相比，在ωω=0.42后，垂蕩與縱搖運動的振幅在整體上有明顯的減小。

2）隨著散射頻率的增加，垂蕩與縱搖運動及其速度的振幅最大值曲線均呈現(xiàn)出明顯的上下波動，但波動變化范圍在10%以內。

3）隨著散射頻率的增加，垂蕩與縱搖運動的振幅平均值曲線均呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢。當散射頻率ωω=0.42時，相比ωω=0時分別降低了36%和35%。垂蕩與縱搖速度的振幅平均值曲線也呈現(xiàn)出不斷減小的趨勢，當散射頻率ωω=0.42時，相比ωω=0時分別降低了44%和43%。

圖4 不同散射頻率下垂蕩與縱搖運動歷時曲線對比Fig.4 Contrast of curves of pitch and heave motions at different scattering frequencies

圖5 垂蕩運動振幅最大值和平均值曲線Fig.5 Curves of maximum and average amplitude of heave motions

表3 垂蕩和縱搖運動及其速度最大值和平均值隨散射頻率的變化Tab.3 Maximum and average amplitude changing with scattering frequency

3.3 頻率散射對耦合運動的綜合影響分析

通過計算表4中所列出的散射強度系數(shù)和散射頻率的變化組合，研究頻率散射對垂蕩和縱搖耦合運動的綜合影響。通過Matlab軟件編制程序，取從第1組到第6組組合下的耦合運動歷時曲線，并計算歷時曲線中振蕩周期幅值組成數(shù)組的最大值和平均值，然后分別繪制出圖譜。其中垂蕩運動振幅最大值曲線圖譜和縱搖運動振幅平均值曲線圖譜如圖6、圖7所示。

表4 散射強度系數(shù)與散射頻率的6組組合列表Tab.4 Six groups of different scattering intensity coefficients and scattering frequencies

圖6 垂蕩運動振幅最大值曲線圖譜Fig.6 Curves of maximum amplitude of heave motions

圖7 縱搖運動振幅平均值曲線圖譜Fig.7 Curves of average amplitude of pitch motions

本文計算了垂蕩運動和縱搖運動的振幅平均值與振幅最大值的變化規(guī)律。通過分析發(fā)現(xiàn)，垂蕩運動振幅最大值與縱搖運動振幅最大值的變化規(guī)律相似，并且垂蕩運動振幅平均值與縱搖運動振幅平均值的變化規(guī)律也相似。為了節(jié)省文章篇幅，本文將僅對垂蕩運動振幅最大值和縱搖運動振幅平均值進行分析。

根據(jù)圖6和圖7，可以得出以下幾點規(guī)律：

1）由圖6可見，對垂蕩運動而言，隨著散射強度系數(shù)的增加，振幅最大值減?。浑S著散射頻率的增加，振幅最大值是先增大，后減小，最后在一定范圍內波動，趨于穩(wěn)定。

2）根據(jù)圖6中曲線的變化幅度可以看到，整個圖譜的垂蕩振幅最大值變化范圍在0.93～1.08 m之間，上下振蕩在10%以內?；旧峡梢哉J為散射強度系數(shù)和散射頻率對振幅最大值的影響不大。

3）由圖7可見，對縱搖運動而言，隨著散射強度系數(shù)的增加，振幅平均值緩慢減?。浑S著散射頻率的增加，振幅平均值較快減小。

4）根據(jù)圖7中曲線的變化幅度可以看到，整個圖譜的縱搖振幅平均值變化范圍在0.055～0.095 rad之間，在散射強度系數(shù)kω=0.24、散射頻率ωω=0.48時，縱搖振幅平均值的下降超過40%。由此表明，隨著散射強度系數(shù)和散射頻率的增大，縱搖幅度降低。

4 結 論

本文基于Froude-Krylov假定，建立了有縱向速度振蕩的船舶縱搖與垂蕩耦合運動模型，并以某隱身船為例，采用切片法計算了耦合運動方程水動力系數(shù)。分別用理論方法和數(shù)值方法求解了耦合運動方程，通過相互比較，驗證了數(shù)值方法的準確性。分析了遭遇頻率散射強度和散射頻率對耦合運動的影響，以及兩者對耦合運動的綜合影響。結果表明：

1）散射強度和散射頻率的變化將引起垂蕩和縱搖耦合運動及其速度振幅最大值出現(xiàn)上下波動，但波動范圍較小，頻率散射對振幅最大值的影響不大，可以近似地認為振幅最大值基本不變。

2）散射強度和散射頻率的增加將引起垂蕩和縱搖耦合運動及其速度振幅平均值出現(xiàn)明顯的減小，減幅超過40%，可以認為起到了明顯減弱垂蕩與縱搖耦合運動，并降低耦合運動劇烈程度的效果。

3）從減小船舶搖蕩運動的角度考慮，應在振蕩速度允許的條件下，盡量選擇較大的散射強度系數(shù)；而在振蕩周期允許的條件下，則盡量選擇較大的散射頻率。

上述有關船舶遭遇頻率散射強度和散射頻率對縱搖與垂蕩耦合運動特性影響分析的結論，可作為今后進一步開展多自由度耦合運動頻率散射研究的基礎。同時，船舶在斜浪中的頻率散射問題也將是下一步的研究方向。

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Effects of the Frequency Scattering on Ship’s Pitch and Heave Coupling Motions

HUANG Kun-lun ZHU Jun GE Yi-jun

College of Naval Architecture and Power，Naval University of Engineering，Wuh an 430033，China

Assuming that the ship was at head sea，the phenomenon of the encounter frequency scattering was occurred by ship’s longitudinal velocity vibration.On the basis of the Froude-Krylov hypothesis，the coupling motion equations were obtained.Hydrodynamic coefficients of the coupling motion equations were calculated by Strip Method.The accuracy of results from numerical method was validated by theory meth?od.The effects of ship scattering intensity and scattering frequency on the pitch and heave coupling mo?tions were analyzed independently.The synthetical effects of the encounter frequency scattering on the pitch and heave coupling motions were obtained.The results of analysis show that the pitch and heave cou?pling motions can be weakened by increasing of ship scattering intensity and scattering frequency.

ship；waves；pitch and heave；frequency scattering

U661.32

A

1673－3185（2012）03－19－06

10.3969/j.issn.1673－3185.2012.03.004

2011－12－26

國家自然科學基金資助項目（51179199）

黃昆侖（1982－），男，博士研究生，講師。研究方向：艦船操縱性。E?mail：navyboy_111@yahoo.com.cn

朱 軍（1959－），男，教授，博士生導師。研究方向：艦船操縱性。E?mail：zhjun101@sina.com

朱 軍。

［責任編輯：饒亦楠］