王菲

摘 要 本文首先利用最小二乘法，得到冠軍成績的線性回歸方程，進(jìn)一步計(jì)算出理論上成績每下降一秒所需的時(shí)間;然后利用通貨膨脹率來刻畫保險(xiǎn)公司的時(shí)間成本、人力成本和運(yùn)營成本等，在平均成本的基礎(chǔ)上計(jì)算得到每年所需的保費(fèi);從組委會的角度出發(fā)，考慮資本的時(shí)間價(jià)值，利用復(fù)利計(jì)算出在打破記錄的屆數(shù)的期望值時(shí)，組委會所交保費(fèi)的總額，此數(shù)額與記錄獎金進(jìn)行比較，從而為組委會作出決策提供依據(jù);最后，對于不同的運(yùn)動項(xiàng)目，由于線性回歸方程不同，可引起打破記錄的期望值的變化，從而影響每年所需交的保費(fèi)，組委會依據(jù)保費(fèi)總額和記錄獎金，進(jìn)而對每項(xiàng)比賽是否投保做出決策。

關(guān)鍵詞 線性回歸方程 最小二乘法 期望值 資金時(shí)間價(jià)值

1背景分析

（1）組委會的決策。組委會采取的措施，大大提高了運(yùn)動員勇于刷新紀(jì)律的積極性，而對于打破記錄就要支付25000歐元來說，這筆費(fèi)用讓組委會承擔(dān)了一部分風(fēng)險(xiǎn)。既要提高成績又要避免過多的損失最好的辦法就要投保?？梢宰尡ｋU(xiǎn)公司來承擔(dān)這部分虧損的費(fèi)用。但同時(shí)也要考慮組委會需要給保險(xiǎn)公司多少錢，自己才不會虧損。如果保險(xiǎn)公司要價(jià)過高超出了組委會的預(yù)算，這樣的話組委會不如選擇自保。保險(xiǎn)公司給出的價(jià)格直接影響到組委會的決策。

（2）保險(xiǎn)公司的預(yù)算。對于組委會要求的投保。保險(xiǎn)公司需要考慮資金時(shí)間價(jià)值的影響，例如十年前的1000元與十年后的1000元是等價(jià)但不等值的。如果每年都是固定的1000元，那保險(xiǎn)公司必然是虧損的。保險(xiǎn)公司需要考慮如何在資金時(shí)間價(jià)值、人力等因素的影響下，使自己獲得一定的利潤，當(dāng)然這個(gè)利潤越高越好。但還要考慮組委會方面。在組委會與保險(xiǎn)公司相互權(quán)衡的情況下，需要取一個(gè)臨界值，使他們的收益和支出剛好達(dá)到權(quán)衡。只有在雙方都認(rèn)為利益得當(dāng)時(shí)，才能簽訂合同。保險(xiǎn)公司的預(yù)算須考慮雙方的利益。

2問題重述

（1）以上描述的獎金為25000歐元的15千米賽跑，獎金的平均成本是多少？

（2）保險(xiǎn)公司應(yīng)該用什么標(biāo)準(zhǔn)來合理的確定每年收取的保費(fèi)？

（3）組委會根據(jù)保險(xiǎn)公司要求收取的保費(fèi)和什么其他標(biāo)準(zhǔn)來決定是否投保？

（4）組委會根據(jù)歷年的比賽記錄來確定每一個(gè)項(xiàng)目是否投保？

（5）如何為組委會做一個(gè)表格來決定每場賽事是買保險(xiǎn)還是自身保險(xiǎn)？

3模型假設(shè)

對于問題1，我們首先定義平均成本。定義2.1：獎金的平均成本為獎金總數(shù)與預(yù)計(jì)打破目前的記錄所需的比賽次數(shù)的比值，即，其中C為平均成本，N為獎金總數(shù)，t為預(yù)計(jì)打破目前的記錄所需的比賽次數(shù)。在平均成本C的定義式，N為固定值，所以只需要確定t即可得到平均成本。而t的確定與運(yùn)動員比賽成績的規(guī)律性有關(guān)。

運(yùn)動員的比賽成績應(yīng)受到進(jìn)化論、訓(xùn)練的科學(xué)性、計(jì)時(shí)設(shè)備的進(jìn)步等因素的影響。所以，隨著時(shí)間的推移，科技不斷發(fā)展以及人類的不斷進(jìn)化，運(yùn)動員的比賽成績應(yīng)該逐年加快。假設(shè)2.1運(yùn)動員的奪冠成績與時(shí)間呈線性關(guān)系，即運(yùn)動員的奪冠成績隨時(shí)間的推移而逐年降低。

問題2由于資本具有時(shí)間價(jià)值，對于保險(xiǎn)公司來說，需要在打破記錄的期望年份之前，累積收取等值于破紀(jì)錄獎金的保費(fèi)。假設(shè)2.2：每屆比賽打破記錄的概率相等。

4模型的建立和求解

（1）問題一基于定義?；?.1和假設(shè)2.1，我們利用最小二乘法得到每屆比賽的冠軍成績的擬合直線，那么從理論上成績相較于目前的記錄要下降一秒所需的時(shí)間即為定義2.1中的t。將舉辦比賽的年份設(shè)為X軸，冠軍成績設(shè)為Y軸，每屆比賽的奪冠成績在坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)為，假設(shè)的線性回歸直線方程為，其中為任意實(shí)數(shù)。要確定系數(shù)，我們應(yīng)用最小二乘法，使實(shí)測值與計(jì)算值的離差的平方和最小。令，則回歸直線就是所有直線中取最小值的那一條。

（2）問題二。基于假設(shè)2.2和第一問的求解，可以得到在理論上每過年，會打破一次記錄，那么每屆比賽打破記錄的概率即為。那么記錄被打破最有可能發(fā)生在

第幾屆，即破紀(jì)錄的年份的期望為

即記錄最有可能在第屆被打破。

保險(xiǎn)公司希望在平均成本的基礎(chǔ)上加收一部分比例，用以負(fù)擔(dān)保險(xiǎn)期間的時(shí)間成本、人力成本和運(yùn)營成本等。影響保險(xiǎn)公司決定的因素既要包括資本隨時(shí)間的貶值情況，也要包括人工費(fèi)用的增長。綜合幾方面因素，本文考慮用通貨膨脹率來衡量以上因素。因?yàn)橥ㄘ浥蛎浡?，是貨幣超發(fā)部分與實(shí)際需要的貨幣量之比，用以反映通貨膨脹、貨幣貶值的程度。由于貨幣隨著時(shí)間在不斷貶值，同樣的價(jià)格幾年之后是買不到同樣的商品的，保險(xiǎn)作為一種商品也具有這個(gè)特點(diǎn)。在實(shí)際中，一般不直接、也不可能計(jì)算通貨膨脹，而是通過價(jià)格指數(shù)的增長率來間接表示。因此，消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)是最能充分、全面反映通貨膨脹率的價(jià)格指數(shù)。世界各國基本上均用消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)CPI來反映通貨膨脹的程度。CPI提高，相應(yīng)的員工工資水平就要提高，所以通貨膨脹率也從一定程度上包含了一部分人力成本。

記平均通貨膨脹率為，保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為，在最有可能打破記錄之前，保險(xiǎn)公司所收取的保費(fèi)應(yīng)大于等于，即以為基數(shù)，考慮通貨膨脹率的影響，那么保險(xiǎn)公司每年應(yīng)收保費(fèi)為。

（3）問題三。設(shè)平均年利率為，按此利率如果繼續(xù)交年的實(shí)際價(jià)值記為，則。

當(dāng)時(shí)，對于組委會來說是不利的，不應(yīng)該應(yīng)該投保。因?yàn)樵谧钣锌赡艽蚱朴涗浀膶脭?shù)時(shí)，組委會所交保費(fèi)已經(jīng)超過了打破紀(jì)錄的獎金。當(dāng)時(shí)，對于組委會來說是有利的，應(yīng)該投保。因?yàn)樵谧钣锌赡艽蚱朴涗浀膶脭?shù)時(shí)，組委會所交保費(fèi)并沒有超過打破紀(jì)錄的獎金。

（4）問題四。假如男女共有40個(gè)項(xiàng)目，記為，根據(jù)第三題的結(jié)果，組委會只需計(jì)算出每個(gè)項(xiàng)目的打破記錄的期望屆數(shù)，結(jié)合平均通貨膨脹率和平均利率的情況，計(jì)算得到問題三中的交年保費(fèi)的實(shí)際價(jià)值，將與打破記錄的獎金進(jìn)行比較，從而做出決策。記第個(gè)項(xiàng)目所交保費(fèi)的實(shí)際價(jià)值為，打破記錄的獎金為，若，組委會不應(yīng)投保;若，組委會應(yīng)投保。

（5）問題五。結(jié)合以上問題，為組委會做出決策制定表格如下：

5模型檢驗(yàn)

6模型評價(jià)

組委會在2001年需自付25000歐元，從2003年至2010年期間為記錄投保。由此，可發(fā)現(xiàn)此模型在經(jīng)濟(jì)情況穩(wěn)定的形勢下，可以平均分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。但是打破記錄具有很大的隨機(jī)性，而且此模型依賴于平均通貨膨脹率和平均年利率，數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性對結(jié)果也會造成一定的影響。改進(jìn)的方向主要是對保險(xiǎn)公司的時(shí)間成本、人力成本和運(yùn)營成本的進(jìn)一步刻畫。

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