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        具有非局部反應(yīng)項(xiàng)的非線性拋物方程解的整體存在性與爆破問(wèn)題

        2012-07-14 02:49:40嚴(yán)正香胡洪安
        關(guān)鍵詞:拋物初值整體

        嚴(yán)正香,胡洪安,李 煜

        (1.信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 信陽(yáng)464000;2.周口師范學(xué)院,河南周口466000;3.東南大學(xué),江蘇 南京211100)

        本文研究來(lái)自于核反應(yīng)動(dòng)力學(xué)理論的非線性拋物微分-積分方程的整體解和爆破問(wèn)題:

        式中:m,p,q>0;Ω為RN中的光滑有界區(qū)域.方程(1)雖然直接來(lái)自于核反應(yīng)動(dòng)力學(xué)理論,也可用來(lái)描述林學(xué)中的樹木生長(zhǎng)規(guī)律.

        自然界中許多現(xiàn)象都可歸結(jié)為非局部數(shù)學(xué)的問(wèn)題.Bebernes和Bressan[1]研究了燃燒理論中可壓氣流的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程;Pao研究了由燃燒理論導(dǎo)出的非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程.這些方程分為2類:一類是含有時(shí)間非局部積分源項(xiàng)的拋物方程;另一類是具有空空非局部積分源項(xiàng)的方程.第一類方程已經(jīng)有了相當(dāng)多的結(jié)果,例如:

        式中:V(x)表示物理位勢(shì);|Ω|表示集合Ω的測(cè)度.此外,方程(2)源自于等離子體物理的Hartree-Fock理論;方程(3)描述了可壓流理想氣體的熱反應(yīng)特礬;方程(4)描述了某種化學(xué)晶格司的相互作用[1~4].

        王明新,王術(shù)和謝春紅研究了下面非局部拋物方程組的臨界指標(biāo)問(wèn)題:

        式中:pi≥ 0,σi,ri≥ 1,pi+ri> 1(i=1,2);u0(x),v0(x) ≥ 0 及 u0(x),v0(x) ∈ Lσ1(RN) ∩Lσ2(RN)∩L∞(RN).他們得到了下面的結(jié)果:

        方程(1)在m=1,p,q > 1的情形下,Daisuke Hirate[3]利用特征函數(shù)法和比較定理,證明了下面結(jié)果:

        對(duì)于大初值,方程(1)的解在有限時(shí)間爆破,然而,對(duì)于小初值,存在整體解.

        若u0(x)>0(x∈Ω),那么由經(jīng)典的拋物方程理論,方程(1)存在唯一解 u(x,t)∈ C2,1(Ω ×(0,T)),u(x,t) > 0.其中,T 是u(x,t)的最大存在時(shí)間.進(jìn)而,若T<∞,則,解u(x,t)在有限時(shí)間爆破,即

        受Daisuke Hirata工作的啟發(fā),本文的目標(biāo)是研究更一般的情形,結(jié)果如下:

        (1)若0<p+q≤1,那么方程(1)所有正解整體存在;

        (2)當(dāng)p+q>1時(shí),有3種情形如下:

        (i)若m >p+q,則方程(1)所有正解都整體存在;

        (ii)若0<m≤1,則對(duì)于大初值方程(1)的解在有限時(shí)間爆破,然而,對(duì)于小初值,解整體存在;

        (iii)若1<m≤p+q,則方程(1)的解對(duì)于適當(dāng)大的初值在有限時(shí)間爆破.

        1 定理1的證明

        首先,建立下面比較定理.

        定理2 (比較定理) 令m > 0,f,g:[0,∞) →[0,∞)是非減的一階連續(xù)可微函數(shù),若 u,v∈C2,1(Ω × (0,T)) ∩ C(×[0,T)),u(x,t) > 0,v(x,t) > 0,(x,t) ∈ (Ω × (0,T)),并滿足:

        則 u(x,t) ≥ v(x,t),?(x,t) ∈ Ω × (0,T).

        證明 記w=u-v,由(6),得

        并設(shè)

        于是

        那么

        當(dāng) h(x,t) ≥ h(x0,t0)= - δ,而這與方程(7)的第一式矛盾,從而定理得證.

        引理1 若u0(x)>0(0∈Ω)且Δum0(x)≥0,那么 ut≥0.

        證明 在方程式中令w=ut并利用上述比較定理不難證明該引理.

        引理2 令u≥0,f(u)為一個(gè)局部Lipschitz連續(xù)函數(shù)且f(0)>0,進(jìn)而,如果f(u)為不減函數(shù),當(dāng)u>0且d為Ω的半徑.那么,當(dāng)λ∈(0,λ*)時(shí),邊界值問(wèn)題:

        有一個(gè)非負(fù)解,其中λ*滿足:

        存在一個(gè)非負(fù)解ψ(x).

        定理1的證明將分以下幾個(gè)引理完成.

        引理3 若0<p+q≤1,則問(wèn)題(1)的所有正解整體存在.

        證明 取

        與 u-(x,0)=M > u0(x),x ∈ Ω,由比較定理不難得到該引理結(jié)論成立.

        引理4 若p+q>1且0<m≤1,則方程(1)的解對(duì)于大初值在有限時(shí)間爆破,然而,對(duì)于小初值,解整體存在.

        證明 取

        式中,δ=1/(p+q-m),φ(x)由引理2確定.令C=,則0≤ ψ(x)≤C,T > 1且T是不定常數(shù).

        若 2pδ> 0,則

        此外,選取充分大的T >0.若2pδ=1,則

        下面,證明方程(1)的解對(duì)于充分大的初值在有限時(shí)間爆破.首先,證明當(dāng)m=1,p+q>1時(shí),上述結(jié)論成立.令φ(x)是下面問(wèn)題的第一特征函數(shù),這里,λ是第一特征值且φ(x)∈C2(Ω)∩C(Ω-),φ(x) > 0(x∈Ω)=1.在(1) 的2邊同乘上φ(x)并在Ω上積分,再利用H?der不等式及引理1,得

        則,F(xiàn)(0)=0,F(xiàn)(t) ∈ C2([0,T]).再由(8) 可得下面微分不等式:

        從(10)不難看出,對(duì)t≥T1>0,存在T1>0使得

        記 f(t)=etλF,若 t≥ T1> 0,則由上可得

        在上式2端同時(shí)乘上f'(t)并在(T1,t)上積分可得:當(dāng)t≥T2≥T1時(shí),存在T2>0使得

        故,

        由(11)可得

        這就說(shuō)明,如果選取u0(x)充分大,則f(x)在有限時(shí)間爆破.

        若0<m <1,在方程(1)的2端同乘上φ(x)并在Ω上積分,借助于不等式

        由引理1,取合適大的初值∫Ωu0φdx ≥1,則

        再由(12),得

        那么,類似的可得下面微分不等式

        通過(guò)類似討論不難發(fā)現(xiàn)u(x,t)在有限時(shí)間爆破,于是引理4得證.

        引理5 若m >p+q>1,那么方程(1)所有的正解整體存在.

        證明 不難證明下面橢圓方程

        存在一個(gè)非負(fù)解ξ(x),且0 < ξ(x)≤N,x∈Ω,其中N為正常數(shù).

        式中,C ≥ max{1,(N+M)1/(m-(p+q))},那么

        于是,引理5成立.

        引理6 若1<m≤p+q,則對(duì)于適當(dāng)大的初值,方程(1)的解在有限時(shí)間爆破.

        證明 在方程(1)2端同乘φm(x)并在Ω上積分有

        進(jìn)而,

        在(0,t)上積分上述不等式,得

        由(14)與(15)可得

        注意到

        通過(guò)類似討論可知,若取適當(dāng)大初值時(shí),解u(x,t)在有限時(shí)間爆破.

        至此,由引理3與引理6以及上述討論,完成了定理1的證明.

        本文的結(jié)論對(duì)指導(dǎo)植樹造林,防治病蟲害有著重要的理論意義和廣泛地應(yīng)用前景.

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