孫慶娟，郭文彬，王柄中

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252059)

0 前言

矩陣方程是數(shù)值代數(shù)的重要研究領(lǐng)域。關(guān)于矩陣方程

的研究取得了不少進(jìn)展。例如，1987年，文獻(xiàn)［1］利用廣義奇異值分解(GSVD)給出了矩陣方程(1)的極小范數(shù)解;1998年，文獻(xiàn)［2］利用標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD)研究了該矩陣方程的最小二乘解;2006年，文獻(xiàn)［3］利用廣義奇異值分解(GSVD)和標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)分解(CCD)研究了該矩陣方程的極小范數(shù)最小二乘解;2007年，文獻(xiàn)［4］利用Moore-Penrose廣義逆給出了該矩陣方程的對稱極小范數(shù)最小二乘解;2008年，文獻(xiàn)［5］利用矩陣的Kronecker積與廣義逆討論了該矩陣方程的矩陣極小范數(shù)對稱解，并給出了解存在的充分必要條件及解的表達(dá)式;2010年，文獻(xiàn)［6］利用構(gòu)造迭代算法討論了該矩陣方程的對稱最小范數(shù)最小二乘解。

然而，文獻(xiàn)［1－8］中的方法用于解決矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解有一定的困難。因此，本文將利用Kronecker積、矩陣的拉直算子、Moore-Penrose廣義逆來研究矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解和對稱Toeplitz矩陣解的表達(dá)式，及其最小二乘解的一般形式。

1 基本定義

本文用?m×n表示全體m×n階實矩陣的集合，In表示n階單位矩陣集合。對于任意矩陣A，B∈?m×n，定義A與B的內(nèi)積〈A，B〉=tr(BTA)，則由此內(nèi)積所誘導(dǎo)出的范數(shù)是矩陣A的Frobenius范數(shù)。

定義 1［9］對于 n 階方陣 X=(xij)∈ ?n×n，存在一組數(shù) x－(n－1)，x－(n－2)，…，x－1，x0，x1，…，xn－2，xn－1使得X的元素滿足xij=xj－i(i，j=1，2，…，n)，則稱X為Toeplitz矩陣，記作T(x－(n－1)，x－(n－2)，…，x－1，x0，x1，…，xn－2，xn－1)。全體 n 階 Toeplitz矩陣的集合記作 T?n×n。

定義 2 對于 n 階方陣 X=(xij)∈ ?n×n，存在一組數(shù) x0，x1，…，xn－2，xn－1使得 X 的元素滿足

則稱 X 為對稱 Toeplitz矩陣，記作 ST(x0，x1，…，xn－2，xn－1)。全體 n 階對稱 Toeplitz矩陣的集合記作 ST?n×n。

定義 3［9］設(shè) A ∈ ?m×n，B ∈ ?p×q，稱 A ? B=(aijB)∈ ?mp×nq為 A 與 B 的 Kronecker積。

定義 4 設(shè) A=(aij)∈ ?m×n，記 ai=(a1i，a2i，a3i，…，ami)(i=1，2，3，…，n)，令

定義 6 當(dāng)矩陣 X=ST(x0，x1，…，xn－2，xn－1)為 n 階對稱 Toeplitz矩陣時，令

2 矩陣方程AXB+CYD=E的Toeplitz矩陣解

引理 1［9］對于任意的矩陣 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?s×t，總有 vec(ABC)=(CT? A)vec(B)。

引理2 對X∈?n×n，則X∈T?n×n?vec(X)=PnvecT(X)，其中vecT(X)∈?2n－1由式(3)給出，

其中ei為n階單位矩陣In的第i列。

證明 如果X∈T?n×n，則由Toeplitz矩陣的定義可得

將等式兩邊拉直有

進(jìn)一步可得

反過來，若 X ∈ ?n×n且 vec(X)=PnvecT(X)，則可得 X ∈ T?n×n。證畢。

引理3［9］設(shè)A∈?m×n，b∈?n，則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為AA+b=b，這時Ax=b的通解是x=A+b+(I－A+A)y，其中y∈?n是任意的。

引理4［9］設(shè)A∈?m×n，b∈?n，則不相容線性方程組Ax=b的最小二乘解為x=A+b+(I－A+A)y，其中y∈?n是任意的。

下面給出矩陣方程AXB+CYD=E的Toeplitz矩陣解。

定理 1 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Pn如式(7)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(2)所定義，令W1=(BT?A)Pn，W2=(DT?C)Pk，則當(dāng)(W1，W2)+(W1，W2)vec(E)=vec(E)時，矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解可表示為

其中y為適當(dāng)維數(shù)的任意向量。

證明 設(shè)X、Y分別為矩陣方程(1)的Toeplitz矩陣解，則由引理2知

由引理3 知，AXB+CYD=E 有 Toeplitz解當(dāng)且僅當(dāng)(W1，W2)+(W1，W2)vec(E)=vec(E)，通解為

其中y為適當(dāng)維數(shù)的任意向量。

其中y為適當(dāng)維數(shù)的任意向量。證畢。

定理 2 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Pn如式(7)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(2)所定義，令W1=(BT?A)Pn，W2=(DT?C)Pk，則當(dāng)矩陣方程(1)不相容時，滿足 AXB+CYD－E=min的最小二乘解的一般形式為

其中y為適當(dāng)維數(shù)的任意向量。

證明 證明與定理1的證明類似，這里省略。

3 矩陣方程AXB+CYD=E的對稱Toeplitz矩陣解

引理5 對X∈?n×n，則X∈ST?n×n?vec(X)=KnvecST(X)，其中vecST(X)∈?n由式(5)給出，

其中ei為n階單位矩陣In的第i列。

證明 證明與引理2的證明類似，這里省略。

定理 3 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Kn如式(8)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(2)所定義，令U1=(BT?A)Kn，U2=(DT?C)Kk，則當(dāng)(U1，U2)+(U1，U2)vec(E)=vec(E)時，矩陣方程(1)的對稱Toeplitz矩陣解可表示為

其中y為適當(dāng)維數(shù)的任意向量。

定理 4 對給定的 A ∈ ?m×n，B ∈ ?n×s，C ∈ ?m×k，D ∈ ?k×s，E ∈ ?m×s，Kn如式(8)所示，

其中，ei為k階單位矩陣Ik的第i列。vec(X)如式(1)所定義，令U1=(BT?A)Kn，U2=(DT?C)Kk，則當(dāng)矩陣方程(1)不相容時，滿足 AXB+CYD－E=min的最小二乘解的一般形式為

其中y為適當(dāng)維數(shù)的任意向量。

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