閆瑞玲

（大同大學(xué)渾源師范分校， 山西 大同 037400）

引言

在數(shù)學(xué)分析中，有不少計(jì)算和判斷的問(wèn)題的結(jié)論都與無(wú)窮小的階數(shù)的高低有關(guān)。但初學(xué)者很難弄清楚怎樣來(lái)把握這個(gè)“階數(shù)”。本文以各實(shí)例從正反兩個(gè)方面來(lái)分析如何正確地尋找合適的無(wú)窮小的階，以得出正確的結(jié)論。

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系的一門基礎(chǔ)課，以極限為主要研究方法，無(wú)窮小是一種特殊的極限。

無(wú)窮小有一些相關(guān)概念，分別是一階（標(biāo)準(zhǔn)）無(wú)窮小、無(wú)窮小的階數(shù)、高（低）階無(wú)窮小。

不同的無(wú)窮小量收斂到“0”的速度有快慢之分，無(wú)窮小的階數(shù)越高，收斂到“0”的速度越快。數(shù)學(xué)分析中有許多和無(wú)窮小的階關(guān)系密切，如果越“階”就會(huì)出錯(cuò)！下面的幾個(gè)問(wèn)題逐步說(shuō)明。

一、極限的計(jì)算問(wèn)題。

看課本上的一個(gè)習(xí)題：當(dāng)a，b為何值時(shí)，

a=3，b=1.

誤解原因：sin3x～3x僅僅是一階近似公式，而分母的最高次項(xiàng)是3。造成錯(cuò)誤的原因是用錯(cuò)無(wú)窮小的階。

可以把題目修給為：

例1問(wèn)a與b取何值時(shí)，

所以分子必為分母的高階或同階的無(wú)窮小。

結(jié)合已知條件，有a=-3，

（若a≠-3，則一次項(xiàng)系數(shù)不為0，此時(shí)分子式分母的低階無(wú)窮小，與題意相悖。）

誤解原因：除 x 外的其他形式（ex，etanx，tan2x）都是無(wú)窮次多項(xiàng)式，用錯(cuò)無(wú)窮小的階。

正解：先求 ex，etanx，tan2x 的表達(dá)式，再代入計(jì)算。

解釋一下，所謂“合適的表達(dá)式”就是對(duì)分子和分母找到合適的無(wú)窮小的階。

同階無(wú)窮小量在正項(xiàng)級(jí)數(shù)和無(wú)窮積分的斂散性判別法中有廣泛的使用，若用錯(cuò)階，就得不到正確的結(jié)論。

法則1）顯然是同階無(wú)窮小量性質(zhì)的一個(gè)應(yīng)用，法則2)中，由知 un=o（vn）（n→∞）

這是由高階無(wú)窮小量判斂。法則3)是低階無(wú)窮小量的性質(zhì)。

[1]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].

[2]錢吉林.數(shù)學(xué)分析解題精粹[M].