李天偉，黃 謙，楊紹清，李正友

(1.海軍大連艦艇學(xué)院航海系，遼寧 大連 116018;2.海軍大連艦艇學(xué)院信息與通信工程系，遼寧 大連 116018)

艦船慣導(dǎo)航行數(shù)據(jù)的重構(gòu)及混沌特性分析

李天偉1，黃 謙1，楊紹清2，李正友1

(1.海軍大連艦艇學(xué)院航海系，遼寧 大連 116018;2.海軍大連艦艇學(xué)院信息與通信工程系，遼寧 大連 116018)

針對現(xiàn)有艦船航行數(shù)據(jù)處理研究中，對數(shù)據(jù)內(nèi)在屬性及不同數(shù)據(jù)間相關(guān)性研究不夠深入的問題，應(yīng)用不同方法對艦船慣導(dǎo)航行數(shù)據(jù)進(jìn)行了相空間重構(gòu)及比較分析。分析結(jié)果表明，C－C方法對船舶慣導(dǎo)航行數(shù)據(jù)的重構(gòu)效果較好。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行了慣導(dǎo)數(shù)據(jù)的混沌特性定性分析，并計(jì)算了慣導(dǎo)數(shù)據(jù)的最大Lyapunov指數(shù)，對艦船慣導(dǎo)數(shù)據(jù)進(jìn)行了混沌動力學(xué)特性研究。分析結(jié)果證實(shí)了艦船航行數(shù)據(jù)具有較為典型的混沌特性，為進(jìn)一步研究采用混沌控制等方法對艦船航行中的混沌狀態(tài)進(jìn)行控制提供必要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)和比較依據(jù)。

慣導(dǎo)系統(tǒng);航行數(shù)據(jù);相空間重構(gòu);混沌特性;最大Lyapunov指數(shù)

0 引言

隨著艦船技術(shù)的成熟和艦載武器的發(fā)展，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)(INS)開始大量裝備我海軍大型作戰(zhàn)艦艇，為艦船航行及艦載武器的作戰(zhàn)使用提供各種高精度的姿態(tài)信息和基準(zhǔn)。艦船在海上會受到風(fēng)、浪、流及其他各種外部因素的擾動，這些因素使得船舶在航行中，極有可能出現(xiàn)混沌運(yùn)動?；煦邕\(yùn)動對艦船航行安全及艦載武器的使用起的是破壞作用，將導(dǎo)致艦船偏離航向或失控。因此，判斷船舶運(yùn)動過程中是否出現(xiàn)混沌以及能否控制混沌，對研究艦船航行控制具有很重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

混沌理論的發(fā)展為研究艦船運(yùn)動中的非線性運(yùn)動提供了新的思路。文獻(xiàn)［1］指出當(dāng)船的阻尼項(xiàng)系數(shù)和剛度項(xiàng)系數(shù)相差不很大時(shí)，通過反饋增量的補(bǔ)償，阻尼項(xiàng)系數(shù)和剛度項(xiàng)系數(shù)是同一數(shù)量級，在較小的給定值下，系統(tǒng)將進(jìn)入非線性的混沌系統(tǒng)狀態(tài)。丁勇［2］等將Lyapunov特性指數(shù)用于船舶非線性橫搖運(yùn)動穩(wěn)定性分析。王坤飛［3］針對船舶橫搖非線性模型，對船舶橫搖運(yùn)動中的混沌態(tài)進(jìn)行了判別。劉鋼等［4］利用替代數(shù)據(jù)法對艦船運(yùn)動進(jìn)行非線性混沌判別，但由于數(shù)據(jù)不足而沒有發(fā)現(xiàn)混沌。

針對船舶航行中出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確、可靠的識別是有效控制的必要前提。本文采用艦船航行過程中采集的慣導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)據(jù)，用不同方法對船舶航行數(shù)據(jù)進(jìn)行相空間重構(gòu)及重構(gòu)效果比較。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用多種方法進(jìn)行混沌特性的定性和定量分析，確認(rèn)了船舶航行過程中存在混沌現(xiàn)象，為進(jìn)一步進(jìn)行混沌的控制與消除提供了基礎(chǔ)。

1 航行數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)分析

本文采用數(shù)據(jù)來源于某船在某海域試驗(yàn)時(shí)慣導(dǎo)系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采集時(shí)，該船偏頂浪航行，由監(jiān)測計(jì)算機(jī)進(jìn)行采集?？紤]到系統(tǒng)的實(shí)際情況及進(jìn)行時(shí)間序列分析的需要，我們在慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)入導(dǎo)航狀態(tài)2 h，在航向74°上保持0.5 h后開始采樣，數(shù)據(jù)時(shí)間序列采樣間隔為1 s，采樣時(shí)間約2 h，截取相同長度的航行數(shù)據(jù)。如圖1所示分別為所截取的航向及橫搖數(shù)據(jù)。

圖1 艦船慣導(dǎo)航行數(shù)據(jù)Fig.1 Ship sailing INS data

1.1 相空間重構(gòu)

時(shí)間序列的相空間重構(gòu)是對艦船航行數(shù)據(jù)進(jìn)行混沌動力學(xué)特性識別研究以及進(jìn)一步分析的重要前提。Takens［5］于1981年提出相空間重構(gòu)的延時(shí)坐標(biāo)法，奠定了相空間重構(gòu)技術(shù)的基礎(chǔ)，是目前最主要、基本的相空間重構(gòu)方法。

對1個有N個點(diǎn)的時(shí)間序列x1，x2，…，xn，…，如果能適當(dāng)選定時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m，得到重構(gòu)相空間

其中，Xi=［xixi+τ…xi+(m－1)τ］為重構(gòu)相空間中的點(diǎn)，重構(gòu)后的相空間X為一個M×m的矩陣，而M=N－(m－1)τ。按照Takens定理就可以在拓?fù)涞葍r(jià)的意義下恢復(fù)吸引子的動力學(xué)特性，從而識別原動力學(xué)系統(tǒng)的基本特性。

在相空間重構(gòu)中，時(shí)間延遲τ和嵌入維數(shù)m的選取主要有2種觀點(diǎn):一種認(rèn)為二者是相關(guān)的，即τ和m的選取是互相依賴的，如下文1.2節(jié)所采用的CC方法;另一種認(rèn)為二者是互不相關(guān)的，即τ和m的選取是獨(dú)立進(jìn)行的，如下文1.3節(jié)所采用的自相關(guān)＆G－P方法。本文采用2種方法進(jìn)行航行數(shù)據(jù)重構(gòu)，并對重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行比較以找出適合航行數(shù)據(jù)相空間重構(gòu)的方法。

1.2 C－C方法

1999年，H.S.Kim 等［6］提出了 C －C 方法，該方法是基于統(tǒng)計(jì)結(jié)果得到的，容易操作，計(jì)算量小，在實(shí)際工作中表現(xiàn)較好。對于1個時(shí)間序列進(jìn)行重構(gòu)后的相空間X，如式(1)，其關(guān)聯(lián)積分定義為:

由于時(shí)間序列長度N有限和半徑r不可能無限小，通常用1個線性區(qū)域的斜率來近似表示關(guān)聯(lián)維，即:

將長度為N的時(shí)間序列分為t個不相交的子序列，N=tl，l=N/t是子序列長度，有:

令N→∞，子序列的S(m，N，r，t)化為:

選擇對應(yīng)最大和最小2個半徑r，定義量差為:

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)論，取m=2，3，4，5;rj=iσ/2;i=1，2，3，4，σ 為時(shí)間序列標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算:

針對C－C方法的不足，選取式(7)的第1個極小值對應(yīng)的時(shí)間得出時(shí)間延遲τd=tτs，同時(shí)，尋找式(8)的最小值對應(yīng)的時(shí)間求出整體最大值時(shí)間窗口 τw=tτs，依據(jù) τw=(m－1)τd得出時(shí)間序列的嵌入維數(shù)m。圖2和圖3分別為航向和橫搖數(shù)據(jù)時(shí)間序列的ΔS—(t)和Scor(t)變化曲線。由于τs=1，由圖2(a)可知，航向時(shí)間序列時(shí)間延遲 τd=5，依據(jù)圖2(b)結(jié)果可得嵌入維數(shù)m=3。同樣，由圖3(a)可知橫搖時(shí)間序列時(shí)間延遲τ=2，依據(jù)圖3(b)結(jié)果可得嵌入維數(shù)m=5。

1.3 自相關(guān)＆G－P方法

1 .3 .1 自相關(guān)函數(shù)法

自相關(guān)函數(shù)法是非常成熟的求時(shí)間延遲τ的方法，它主要提取序列間的線性相關(guān)性。對于1個時(shí)間序列，依據(jù)其自相關(guān)函數(shù)，作出自相關(guān)函數(shù)關(guān)于時(shí)間τ的函數(shù)圖像，當(dāng)自相關(guān)函數(shù)首次下降到初始值的1－1/e時(shí)，所對應(yīng)的時(shí)間τ就是重構(gòu)相空間的最佳時(shí)間延遲τ［7］。圖4為所采集數(shù)據(jù)的時(shí)間延遲曲線圖，各圖中橫線即為初始值的1－1/e。

圖4 船舶航行數(shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)圖Fig.4 Auto-Correlation curves of sailing data

由圖4可知，航向數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)首次下降到初始值的1－1/e時(shí)的時(shí)間延遲為2，故其最佳時(shí)間延遲τ=2，同樣可知，橫搖數(shù)據(jù)的最佳時(shí)間延遲為τ=3。

1 .3 .2 G－P算法

對于1個時(shí)間間隔一定的單變量時(shí)間序列，只要嵌入維數(shù)足夠，就可以在拓?fù)涞葍r(jià)的意義下恢復(fù)原動力學(xué)性態(tài)。1983 年，Grassberger和 Procaccia［8］提出了從時(shí)間序列計(jì)算吸引子關(guān)聯(lián)維數(shù)的G－P算法。G －P算法首先對時(shí)間序列x1，x2，…，xn，…，xN，先給1個較小的值m0，對應(yīng)1個重構(gòu)的相空間，如式(1)。定義2個矢量的最大分量差作為它們之間的距離，并規(guī)定距離小于給定正數(shù)r的矢量稱為有關(guān)聯(lián)的矢量。計(jì)算重構(gòu)相空間的關(guān)聯(lián)積分:

選取恰當(dāng)r值，吸引子維數(shù)D滿足如下關(guān)系:

使得D能描述混沌吸引子的自相似結(jié)構(gòu)，稱D為關(guān)聯(lián)維數(shù)。

該算法適用于實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)，且易于實(shí)現(xiàn)。本文使用前文所用數(shù)據(jù)，結(jié)合1.3.1節(jié)中所求的時(shí)間延遲，按照G－P算法計(jì)算航行數(shù)據(jù)時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)，如圖5所示為lnC(r)－lnr曲線圖。由圖5可知，隨著m的增大，中間線段逐漸平行，除去斜率為∞和0的線段，確定最佳擬合直線，其斜率即為關(guān)聯(lián)維數(shù)。圖6為嵌入維數(shù)與關(guān)聯(lián)維數(shù)關(guān)系圖，數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)D隨著嵌入維數(shù)m的增大而出現(xiàn)了飽和，且滿足m≥2d+1，這是判斷是否具有混沌特性的1個判據(jù)。從圖6可知，所采集的航向數(shù)據(jù)的嵌入維數(shù)m=10，橫搖數(shù)據(jù)的嵌入維數(shù)m=13。

1.4 船舶航行數(shù)據(jù)重構(gòu)效果比較

本文采用C－C方法和自相關(guān)＆G－P方法針對同一組艦船航行數(shù)據(jù)時(shí)間序列得到了不同的結(jié)果，為了直觀比較其重構(gòu)效果，下面給出該船同一段航向、橫搖時(shí)間序列的不同方法重構(gòu)效果圖。

圖7 2種方法重構(gòu)空間投影Fig.7 Reconstruction projection

由圖7可以看出，對于所采集的航行數(shù)據(jù)，采用C－C方法重構(gòu)的相空間曲線更為平滑，采用自相關(guān)＆G－P方法重構(gòu)的相空間曲線交錯現(xiàn)象明顯，對數(shù)據(jù)的混沌特性分析可能有所影響。

為驗(yàn)證以上結(jié)果，對40余段船舶航行數(shù)據(jù)按以上2種方法進(jìn)行了相空間重構(gòu)。結(jié)果表明，在多數(shù)情況下C－C方法在船舶航行數(shù)據(jù)的相空間重構(gòu)上效果較好。

2 航行數(shù)據(jù)混沌特性分析

實(shí)際工程應(yīng)用中，判別混沌時(shí)間序列的常用方法有龐加萊截面法、主分量分析方法、飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法、功率譜方法、最大Lyapunov指數(shù)法等，這些方法都是從某個方面判別序列是否為混沌序列的必要條件，因而在實(shí)際工程中需要采用盡可能多的方法來鑒別。本文采用功率譜方法、主分量分析法、最大Lyapunov指數(shù)法對船舶航行數(shù)據(jù)時(shí)間序列進(jìn)行混沌特性分析。

2.1 航行數(shù)據(jù)混沌特性的定性分析

主分量分析法(PCA)是近年來提出的一種能有效識別混沌和噪聲的方法［7］。利用噪聲與混沌信號的主分量分布差異判斷是否為混沌時(shí)間序列，即混沌信號的主分量譜圖為一過定點(diǎn)且斜率為負(fù)的直線(或含有類似直線部分)。

時(shí)間序列的圖像看似不規(guī)則，但其功率譜卻可能呈現(xiàn)出規(guī)則性。一般地，若譜圖具有單峰，則對應(yīng)于周期序列;若無明顯的峰值或峰連成一片，則對應(yīng)于混沌序列。基于此，功率譜分析可作為觀測混沌的重要方法。

本節(jié)使用前文數(shù)據(jù)，繪制船舶航行數(shù)據(jù)時(shí)間序列的主分量譜圖及功率譜圖，結(jié)果如圖8和圖9所示?？梢钥闯?，所采集的船舶航向及橫搖時(shí)間序列具有較為明顯的混沌特性。

2.2 航行數(shù)據(jù)混沌特性的定量分析

研究表明，混沌運(yùn)動的基本特點(diǎn)是運(yùn)動對初始條件極為敏感，2個極靠近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨時(shí)間推移按指數(shù)方式分離，Lyapunov指數(shù)就是描述這一現(xiàn)象的量。1983年，格里波基證明只要最大Lyapunov指數(shù)大于0，就可以肯定混沌的存在。因此，在實(shí)際問題中只要計(jì)算最大的Lyapunov指數(shù)就足夠了。本文采用小數(shù)據(jù)量算法［9］計(jì)算船舶航行數(shù)據(jù)時(shí)間序列的最大Lyapunov指數(shù)λ1，并考察2種相空間重構(gòu)方法對結(jié)果的影響，如表1所示。

表1 小數(shù)據(jù)量法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)λ1Tab.1 Table of the largest Lyapunov exponents λ1

由表1可知，所采集的船舶航向和橫搖數(shù)據(jù)時(shí)間序列最大Lyapunov指數(shù)均大于0，說明這2組時(shí)間序列是具有混沌特性的。

以上3種方法的驗(yàn)證結(jié)果均表明，論文所研究的艦船慣導(dǎo)航行數(shù)據(jù)具有較明顯的混沌特性。

3 結(jié)語

本文將多種混沌分析方法應(yīng)用于船舶慣導(dǎo)航行數(shù)據(jù)的處理與研究，具有較強(qiáng)的實(shí)際意義。論文比較了不同的相空間重構(gòu)方法在船舶航行數(shù)據(jù)相空間重構(gòu)中的效果。在對航行數(shù)據(jù)時(shí)間序列進(jìn)行定性分析的基礎(chǔ)上，采用定量計(jì)算方法，得出其最大Lyapunov指數(shù)，進(jìn)一步驗(yàn)證了航行數(shù)據(jù)的混沌特性。通過對比分析，得出以下結(jié)論:

1)在大部分情況下，采用C－C方法進(jìn)行航行數(shù)據(jù)的重構(gòu)效果較好，且在實(shí)際工程應(yīng)用中具有計(jì)算量小、計(jì)算時(shí)間短的優(yōu)點(diǎn)，為快速識別船舶混沌提供了保證，而自相關(guān)＆G－P方法重構(gòu)效果略差，且計(jì)算時(shí)間過長，不利于對航行數(shù)據(jù)中混沌的快速識別;

2)對船舶航行數(shù)據(jù)時(shí)間序列而言，不同相空間重構(gòu)方法的選取會導(dǎo)致時(shí)間延遲及嵌入維數(shù)計(jì)算結(jié)果的不同;

3)依據(jù)不同方法的重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行混沌特性研究，C－C方法用于最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算結(jié)果混沌特性更明顯，利于航行數(shù)據(jù)的混沌動力學(xué)特性判別及研究;

4)由于運(yùn)用了多種方法進(jìn)行混沌特性分析，且分析結(jié)果表明艦船航行數(shù)據(jù) 時(shí)間序列確實(shí)具有較為明顯混沌特性，故論據(jù)比較充分，結(jié)果比較可靠。

利用混沌控制理論對艦船航行姿態(tài)進(jìn)行控制首先要做的就是驗(yàn)證航行姿態(tài)時(shí)間序列是否具有混沌特性，所以本文的研究結(jié)果是一個基礎(chǔ)，其意義在于通過對不同航行數(shù)據(jù)的混沌特性分析，進(jìn)一步研究其規(guī)律特點(diǎn)，為設(shè)計(jì)合理的混沌控制器實(shí)現(xiàn)對船舶航行中的混沌狀態(tài)進(jìn)行高精度快速控制提供必要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)和比較依據(jù)。

［1］蘇寧.混沌學(xué)與船舶運(yùn)動控制［D］.大連:大連海事大學(xué)，1996.

SU Ning.Chaos and ship maneuvering control［D］.Dalian:Dalian Maritime University，1996.

［2］丁勇，胡開業(yè)，邱敏芝.船舶非線性橫搖運(yùn)動分析的Lyapunov特性指數(shù)法［J］.中國造船，2008，49(3):1 －6.

DING Yong，HU Kai-ye，QIU Min-zhi.The method of Lyapunov characteristic exponents for analyzing the stability of ship's nonlinear rolling motion［J］.Shipbuilding of China，2008，49(3):1 －6.

［3］王坤飛.船舶橫搖運(yùn)動中的混沌及其魯棒控制［D］.大連:大連海事大學(xué)，2009.

WANG Kun-fei.Chaos of ship's rolling motions and its robust control［D］.Dalian:Dalian Maritime University，2009.

［4］劉鋼.船舶運(yùn)動慣導(dǎo)實(shí)測數(shù)據(jù)的非線性混沌特性的判定［J］.船海工程，2003，(5):4 －6.

LIU Gang.The determinant of ship's INS data's nonlinear chaotic characterstic［J］.Engineering of Ship and Sea，2003，(5):4 －6.

［5］TAKENS F.Detecting strange attractors in turbulence［J］.Dynamical Systems and Turbulence，1981，(1):366 －381.

［6］KIM H S，EYKHOLT R，SALAS J D.Nonlinear dynamics，dely times，and embedding windows［J］.Physica D，1999，127:48－60.

［7］呂金虎，陸君安，陳士華.混沌時(shí)間序列分析及其應(yīng)用［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2002.46－92.

LV Jin-hu，LU Jun-an，CHEN Shi-hua.Analysis of chaos time series and its application［M］.Wuhan:Publishing Press of Wuhan University，2002.46 －92.

［8］GRASSBERGER P， PROCACCIA I. Measuring the strangeness of strange attractors［J］.Physica D，1983，(9):189－208.

［9］ROSENSTEIN M T，COLLINS J J，De LUCA C J.A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets［J］.Physica D，1993，65:117 －134.

Research on reconstruction and chaotic characteristic of ship's INS sailing data

LI Tian-wei1，HUANG Qian1，YANG Shao-qing2，LI Zheng-you1
(1.Department of Navigation，Dalian Naval Academy，Dalian 116018，China;2.Department of Information and Communication Engineering，Dalian Naval Academy，Dalian 116018，China)

Current ship sailing data processing research about data's inner attributes and interrelations between different data are lacking in depth，different methods of phase space reconstruction are used to reconstruct the phase space of the primal INS sailing data，and the results show that the C － C method do well on processing ship's sailing data reconstruction.On the base of phase space reconstruction，two qualitative analysis methods are used to study the chaos characteristic of the INS data，and small data set method is introduced to calculate the largest Lyapunov exponents.The results of the analysis authenticate the existence of chaotic characteristic in the ship's sailing time series，this provide the following research on ship's chaos control with essential basic data and comparison foundation.

inertialnavigation system;sailing data;phase space reconstruction;chaotic characteristic;largest Lyapunov exponents

U675

A

1672－7649(2012)03－0071－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2012.03.015

2011－06－01;

2011－10－11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60572160)

李天偉(1963－)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榻煌ㄐ畔⒐こ碳翱刂脐P(guān)鍵技術(shù)。