王明星， 謝 進(jìn)， 王壽城

(1．合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009;2．合肥學(xué)院數(shù)理系，安徽合肥230601)

1 引言

B樣條曲線和曲面是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中常用的工具之一．但由于它在實(shí)際運(yùn)用當(dāng)中有很多的局限性[1]，因此，不少作者[2－9]中引入了一系列新的幾何曲線和曲面模型．文獻(xiàn)[2－4]提出CB樣條，實(shí)際上和文獻(xiàn)[5]中提出的螺旋樣條是類似的．C曲線可以精確逼近橢圓曲線，旋輪線和螺旋線．文獻(xiàn)[6]提出了通過一組基{1，t，cosht，sinht}的生成子空間 {1，t，cosht，sinht}來(lái)構(gòu)造指數(shù)樣條．文獻(xiàn)[7]在空間 {1，t，cosht，sinht}滿足張量運(yùn)算下，提出了一類指數(shù)樣條．文獻(xiàn)[8]給出了均勻樣條的精確表達(dá)式．文獻(xiàn)[9]將曲線和曲面的指數(shù)形式推廣到了任意次數(shù)的代數(shù)雙曲樣條形式上．這類曲線可以精確逼近雙曲線和懸鏈線．除此之外，這類曲線的微積分計(jì)算非常的簡(jiǎn)單．但是，指數(shù)形式的樣條在張量積下是不能逼近高次多項(xiàng)式曲線的，這就嚴(yán)重的限制了它們?cè)贑AGD中的應(yīng)用．實(shí)際上，目前三次曲線在CAGD中應(yīng)用的最廣，并且文獻(xiàn)[10－13]給出了三次曲線非常重要的幾何性質(zhì)．文獻(xiàn)[14－15]提出了用兩組基 {1，t，cosht，sinht}和 {1，t，cosht，sinht}來(lái)構(gòu)造曲線族，并將這類曲線族中的曲線稱為FB樣條．FB樣條幾乎擁有CB樣條和HB樣條的所有性質(zhì)，比如說，連續(xù)性等性質(zhì)．然而，F(xiàn)B樣條的表達(dá)式卻十分的復(fù)雜．文獻(xiàn)[16]歸納和推廣了三類樣條曲線，從而得到了定義在空間 {cosωt，sinωt，1，t，…，tl，…}中的一類新的樣條(簡(jiǎn)稱為UE樣條)．這類樣條的好處是，只要改變序列{ωi}就可以得到不同的樣條．

本文提出一類新的基函數(shù)，這類基函數(shù)是對(duì)三次 B 樣條曲線的基 {1，t，t2，t3}與雙曲基 {1，t，cosht，sinht}經(jīng)過加權(quán)而得到．這類基函數(shù)繼承了三次B樣條曲線擁有的大部分性質(zhì)．根據(jù)這類基，本文得到了一類新的樣條曲線，稱為WAH－B樣條曲線．這種方法具有如下性質(zhì):

*這類曲線既能整體地又能局部地改變形狀．

*取權(quán)參數(shù)的值為，可以不用解方程組，曲線能直接插值于插入給定的控制頂點(diǎn)．

*選取權(quán)參數(shù)及適當(dāng)?shù)目刂祈旤c(diǎn)，WAH－B樣條曲線可精確表示圓錐曲線和超曲線．

*令權(quán)參數(shù)λi=0或1，可以改變曲線的類型，并且，一段混合樣條曲線可以不同類型曲線組合形成．

2 WAH－B樣條基函數(shù)定義

定義2．1 設(shè)0≤λi，λi+1≤1，將下面的函數(shù)．稱為帶權(quán)參數(shù)序列{λk}的WAH－B樣條基函數(shù)．

很明顯，當(dāng)所有的λi=0時(shí)，WAH－B樣條基函數(shù)就是三次B樣條基函數(shù)．當(dāng)所有的λi=1時(shí)，WAH－B樣條基函數(shù)就是α=1的4階雙曲多項(xiàng)式B樣條基函數(shù)[8]．

直接計(jì)算可以證明，WAH－B樣條基函數(shù)擁有類似于三次B樣條基函數(shù)的性質(zhì)．

A．歸一性

B．非負(fù)性．

C．對(duì)稱性．

根據(jù)文獻(xiàn)[17]中給出的擴(kuò)展C曲線的定義域的方法，WAH－B樣條基函數(shù)中權(quán)因子的取值范圍可以擴(kuò)展到區(qū)間上．其中

圖1給出了三次B樣條基函數(shù)(實(shí)線)與WAH－B樣條基函數(shù)，其中圖a中的權(quán)參數(shù)取相同值，圖b權(quán)參數(shù)取不同值．

圖1 樣條基函數(shù)的圖像

3 樣條曲線

3．1 構(gòu)造曲線

定義3．1 給出控制點(diǎn)Pi∈Rd(d=2，3，i=0，1，2，…，n)和結(jié)點(diǎn)u1＜u2＜ … ＜un－1，其中u∈[ui，ui+1]，i=1，2，…，n－2，稱曲線為WAH－B樣條曲線．其中

與三次B樣條曲線一樣，我們可以構(gòu)造一個(gè)開WAH－B樣條曲線和一個(gè)閉WAH－B樣條曲線．對(duì)于開曲線，若設(shè)λi，u0＜u1，un－1＜un，P－1=2P0－P1，Pn+1=2Pn－Pn－1就可以保證初始點(diǎn)P0和Pn在曲線上，即r(u0)=P0，r(un)=Pn．對(duì)于閉曲線，我們可以周期性的設(shè)控制點(diǎn)滿足Pn+1=P0，Pn+2=P1，Pn+3=P2，以及設(shè)結(jié)點(diǎn)滿足un－1＜un＜un+1＜un+2．其中 λi∈，i=n，n+1，n+2，λ1=λn+2．

3．2 曲線的性質(zhì)

3．2．1 連續(xù)性

曲線(5)是由代數(shù)與雙曲多項(xiàng)式加權(quán)混合而成．因此，需要證明該曲線具有連續(xù)性．

定理3．1 設(shè)u∈[u1，un－1]，曲線(5)是GC2連續(xù)的．均勻曲線(5)是C2連續(xù)的．

證明: 當(dāng)i=1，2，…，n－1時(shí)，可以得到

結(jié)合上面的等式，有

證畢．

根據(jù)式(8)和(9)，我們發(fā)現(xiàn)曲線r(u)在點(diǎn)r(ui)處的切線與線段Pi－1Pi+1(對(duì)任意的λi)平行．這條性質(zhì)與三次均勻B樣條曲線的性質(zhì)是一致的．3．2．2 局部與整體可控性

設(shè)u∈[ui，ui+1]，將式(5)變形，有

顯然，權(quán)參數(shù)λi只會(huì)影響兩條曲線段ri－1(u)和ri(u)，而不會(huì)影響其它的曲線段．即，權(quán)參數(shù)λi只會(huì)影響控制多邊形．因此，只有改變 λi的值，就可以局部地改變曲線的形狀．從圖2(a)中，可以發(fā)現(xiàn)，曲線r(u)(u∈[ui－1，ui+1])會(huì)隨著λi的增加向控制多邊形靠攏，r(u)隨著λi的減小而遠(yuǎn)離控制多邊形

當(dāng)λi取相同值時(shí)，可以整體調(diào)控曲線的形狀．從圖2(b)中，可以看出，當(dāng)控制多邊形固定時(shí)，加權(quán)因子從－62．1748到12．6061范圍內(nèi)動(dòng)態(tài)變動(dòng)時(shí)，WAH－B樣條曲線可以從兩側(cè)逼近三次B樣條曲線．并且，權(quán)參數(shù)具有這樣的性質(zhì):加權(quán)因子取值越大，曲線就越逼近控制多邊形．

圖2 曲線形狀的調(diào)控

3．2．3 局部與整體插值

曲線(6)也可以用于局部插值．設(shè) λi=，由式(6)和(7)，可以推出r(ui)=Pi．即，曲線r(u)在u=ui處的插值結(jié)點(diǎn)是Pi．因此，這就提供了一種求解GC2連續(xù)的局部插值法．用這種方法，可以不用求解方程組或者為了求解的需要，而刻意的增加控制點(diǎn)．用WAH－B樣條曲線可以局部地插值于給定的控制點(diǎn)．特別地，當(dāng)所有的時(shí)，曲線可以整體地插值于控制多邊形．

4 一些圓錐曲線和超越曲線的表示

4．1 雙曲線和拋物線的表示

定義4．1 設(shè)節(jié)點(diǎn)是均勻節(jié)點(diǎn)，且P0，P1，P2和P3是如下定義的四個(gè)控制頂點(diǎn)．

當(dāng)u∈[ui，ui+1]，權(quán)參數(shù)λi=λi+1=1時(shí)，WAH －B樣條曲線可以表示一條拋物弧線．

證明: 將P0，P1，P2和P3代入式(5)中，將會(huì)得到WAH－B樣條曲線的坐標(biāo)形式，

這是雙曲線的一個(gè)參數(shù)方程，如圖4所示:

圖3 整體和局部插值曲線

圖4 用WAH－B樣條曲線表示雙曲線

定義4．2 設(shè)P0，P1，P2和?P3是如下所示的四個(gè)控制點(diǎn)

當(dāng)u∈[ui，ui+1]，權(quán)參數(shù)λi=λi+1=0時(shí)，WAH －B樣條曲線可以比表示拋物線的一部分

證明: 將P0，P1，P2和P3代入式(5)將會(huì)得到WAH－B樣條曲線的下面坐標(biāo)形式，

這是拋物線的一個(gè)參數(shù)方程，如圖5所示:

圖5 用WAH－B樣條曲線表示拋物線

4．2 懸鏈線和雙曲正弦曲線的表示

定義4．3 設(shè)四個(gè)控制點(diǎn)如下所示，

當(dāng)u∈[ui，ui+1]，權(quán)參數(shù) λi=λi+1=0 時(shí)，WAH －B樣條的曲線可以表示懸鏈線的一部分．

證明: 通過將點(diǎn)P0，P1，P2和P3代入式(5)，我們將會(huì)得到WAH－B樣條曲線的如下坐標(biāo)表示，

顯然，它是懸鏈線的一部分，如圖6所示:

圖6 用WAH－B樣條曲線表示懸鏈線

定義4．4 設(shè)節(jié)點(diǎn)是均勻的，且P0，P1，P2和P3是如下所定義的四個(gè)控制點(diǎn)，P0=(－1，－1)，P1=(0，1)，P2=(1，1)，

P3=(1，e+e－1)

當(dāng)u∈[ui，ui+1]，權(quán)參數(shù) λi=λi+1=0 時(shí)，WAH－B樣條曲線可以表示雙曲正弦線的一部分．

證明: 通過將P0，P1，P2和P3代入式(5)中，我們將會(huì)得到WAH－B樣條曲線的如下表示

這是在參數(shù)坐標(biāo)下的雙曲正弦線，如圖7所示:

圖7 用WAH－B樣條曲線表示雙曲正弦線

圖8 C2連續(xù)的混合曲線

5 曲線的應(yīng)用

正如在第4部分所提到的，可以通過選擇適當(dāng)?shù)目刂泣c(diǎn)和參數(shù)來(lái)改變曲線的形狀．因此，我們可以靈活的應(yīng)用不同類型的部分曲線來(lái)構(gòu)造混合曲線．例如，當(dāng)取均勻節(jié)點(diǎn)及參數(shù) λi=(1，1，0，0，1，1，0，0，1，1，0，0，1，1，0，0)時(shí)，其中i=1，2，…，16，如下定義控制頂點(diǎn)，

因此我們得到了一個(gè)由不同類型的曲線構(gòu)成的混合曲線，且它是一個(gè)C2連續(xù)的，如圖8所示:

6 結(jié) 論

本文通過三次B樣條基函數(shù) {1，t，t2，t3}和雙曲基函數(shù){1，t，cosht，sinht}來(lái)構(gòu)造WAH －B樣條曲線．在權(quán)參數(shù)取值范圍內(nèi)，該曲線可以從兩側(cè)逼近三次B樣條曲線．并且這種曲線可以插值于給定的控制點(diǎn)．特別地，當(dāng)權(quán)參數(shù)λi=0或1時(shí)，這些曲線可以改變?yōu)椴煌愋偷那€．

與用有理方法生成的非均勻有理B樣條曲線或有理Bézier曲線[19]相比，WAH －B樣條曲線在結(jié)構(gòu)上更加簡(jiǎn)單，及計(jì)算上更加穩(wěn)定．WAH－B樣條曲線的權(quán)參數(shù)具有明顯的幾何的意義．WAHB樣條曲線能夠精確表示螺旋線、輪轉(zhuǎn)線和懸鏈線，而非均勻有理B樣條曲線或有理Bézier曲線只能近似表示．因此，WAH－B樣條曲線在工程方面有著更好的應(yīng)用．

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