張洪彥， 王 奇， 丁敏敏， 王志杰

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039)

0 引言

中立型泛函微分方程有著廣泛的應(yīng)用背景，人們對(duì)其周期解和概周期已有了深入的研究，例如文獻(xiàn)[1－4]，在文獻(xiàn)[4]中作者利用指數(shù)二分法和不動(dòng)點(diǎn)定理給出了一類高維滯后型泛函微分方程

x(t)=A(t，x(t))x(t)+f(t，xt)

周期解的存在性，同時(shí)在文獻(xiàn)[3]中作者利用指數(shù)二分法討論了方程+G(t，x(t)，x(t－g(t)))的概周期解的存在性．

隨著生產(chǎn)和社會(huì)的發(fā)展，反周期現(xiàn)象逐漸引起人們的關(guān)注，反周期在生物學(xué)，醫(yī)學(xué)和各種物理工程現(xiàn)象中得到廣泛的應(yīng)用，因此許多學(xué)者對(duì)反周期解的存在性給予了大量研究，并得到一些結(jié)果，參見文獻(xiàn)［5－9］．然而對(duì)中立型泛函微分方程反周期解問題的討論甚少，本文討論下面一類具有無窮時(shí)滯中立型泛函微分方程反周期解的存在性．其中x∈n，t∈．定義是n×n周期連續(xù)函數(shù)矩陣，函數(shù)G和Q是從n×n到n的反周期連續(xù)函數(shù)矩陣，且

A(t+T)=A(t)，

G(t+T，－u，－v)=－G(t，u，v)，

g(t+T)=g(t)，

Q(t+T，－x，－y)=－Q(t，x，y)，

u，v，x，y∈n．本文利用指數(shù)二分法和壓縮定理，證明了本方程反周期解的存在性．

2 準(zhǔn)備知識(shí)

定義1 若u(t+T)=－u(t)，稱連續(xù)函數(shù)u(t): → 是T反周期的．

顯然當(dāng)u(t+T)=－u(t)時(shí)，則u(t+2T)=u(t)．

定義范數(shù)

記PTA(，X)={u(t)|u為 → 的連續(xù)函數(shù)，u(t+T)=－u(t)}

則(PTA(，X)，‖·‖)為一Banach空間．

首先考慮線性系統(tǒng)

和

其中A(t)=(αij(t))n×n是 上的n維連續(xù)函數(shù)矩陣，f(t)是 上的n維連續(xù)向量函且A(t+T)=A(t)，f(t+T)=－f(t)．

對(duì)于A(t)=(αij(t))n×n，我們假設(shè)下面兩個(gè)條件[7]:

(H1) 假設(shè)存在正可微函數(shù)d1(t)，d2(t)，

…，dn(t)(C1≤di≤C2，C1，C2為正的常數(shù))以及連續(xù)的T周期函數(shù)α(t)，使得:

≤ α(t)dj(t)，j=1，2，…，n

引理1[10]設(shè)X(t)是系統(tǒng)(2)的一個(gè)基解矩陣，如果存在一個(gè)映射P和正常數(shù)α，β使得:則稱系統(tǒng)(2)具有指數(shù)二分性．

引理2[4]對(duì)于方程(2)，A(t)若滿足(H1)則

‖X(t)X－1(s)‖

若A(t)滿足(H2)，則‖X(t)X－1(s)

其中X(t)為方程(2)的基解矩陣，滿足X(0)=I

引理3[4](1)若A(t)滿足條件(H1)，

且k1=，則方程(3)存在

唯一的T周期解:

本文研究數(shù)據(jù)顯示，觀察組顱內(nèi)動(dòng)脈瘤患者診斷符合率96.00%高于對(duì)照組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＜0.05）。觀察組顱內(nèi)動(dòng)脈瘤患者誤診率和漏診率均低于對(duì)照組，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P＜0.05。

(2)若A(t)滿足條件(H2)，且k2=exp(－，則方程(3)存在唯一的T周期解:

引理4 (1)若A(t)滿足條件(H1)，且k1=exp(∫T0α(λ)dλ)＜1，則方程(3)存在唯一反周期解:

(2)若A(t)滿足條件(H2)，且k2=exp(－，則方程(3)存在唯一反周期解:

證明 (1)由引理3知，方程有唯一有界解:

下面只需證明該有界解是反周期的即可．

又因X(t)是方程(2)的基解矩陣，則存在可逆矩陣B，使X(t+T)=X(t)B有

所以

即X(t)是反周期的，且是有界的．

(2)類似可證．

3 主要結(jié)論及證明

定理1 假設(shè)方程(1)滿足條件(H1)且滿足下列條件

(H3)

(H4)存在常數(shù)L1，L2，L3，L4，L5和u1，v1，u2，v2，x1，y1，x2，y2∈PTA( ，X)使得下列式子成立

其中k1=和＜ 1．則方程(1)存在反周期解．

證明

對(duì)任意的u(t)∈PTA(，X)，首先考慮方程

設(shè)

則有

其中

由前面介紹知h(t+T)=－h(huán)(t)，即h(t)是T－反周期的．

根據(jù)假設(shè)條件和引理4知，方程(5)存在唯一的反周期解:

從而方程(4)有唯一的反周期解:

作映射Γ:PTA(，X)→PTA(，X)如下:

Γu(t)=Φu(t)，(?u∈PTA(，X))下面證明Γ是壓縮的．

事實(shí)上，對(duì) ?u1，u2∈PTA( ，X)，有

由條件(H5)知

因此Φ在PTA(，X)是壓縮的，由壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理知，Φ在PTA(，X)中存在不動(dòng)點(diǎn)，此不動(dòng)點(diǎn)即為方程(1)的反周期解．證畢．

定理2 假設(shè)方程(1)滿足條件(H2)，(H3)，(H4)和(H6)

其中

則方程(1)存在反周期解．

證明 方法類似定理1．證畢．

4 例 子

考慮系統(tǒng):

其中

取d1(t)=2，d2(t)=1，

且有

另外經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算可以得到:

則有

即方程(6)滿足條件(H1)，(H3)，(H4)，(H5)，由定理1可知方程(6)存在一個(gè)π反周期解．證畢．

[1] 彭世國朱思銘．具有無窮時(shí)滯泛函微分方程的周期解[J]．?dāng)?shù)學(xué)年刊，2002，23A:371 －380．

[2] 石磊．具有無窮時(shí)滯中立型泛函微分方程解的有界性及周期解[J]．科學(xué)通報(bào)，1990，35:409 －411．

[3] Xiaoxing Chen，F(xiàn)axing Lin．Almost Periodic Solutions of Neutral Functional Differential Equations[J]．Nonlinear Anal．，2010，11:1182－1189．

[4] 周宗福．一類高維滯后型泛函微分方程的周期解[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2002，22(4):423 －430．

[5] Yan Wang．Antiperiodic Solutions for Dissipative Evolution Equations[J]．Mathematical and Computer Modelling．2010，51:715－721．

[6] Aizicovici S，McKibben M，Reich S．Anti－periodic Solutions to Nonmonotone Evolution Equations with Discontinuous Nonlinearities[J]．Nonlinear Anal．2001，43:233 － 51．

[7] Aizicovici S，Pavel N．Anti－ periodic Solutions to a Class of Nonlinear Differential Equations in Hilbert Space[J]．J Funct Anal．1991，99:387 －408．

[8] Aizicovici S，Reich S．Anti－periodic Solutions to a Class of Non － monotone Evolution Equations[J]．Discrete Contin Dyn Syst．1999，5:35 －42．

[9] Chen Y．Anti－periodic Solutions for Semilinear Evolution Equations[J]．J Math Anal．Appl，2006，315:337 － 348．

[10] 林發(fā)興．線性系統(tǒng)指數(shù)型二分性[M]．合肥:安徽大學(xué)出版社，1999．