代洪偉， 凌能祥

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，合肥安徽230009)

居民消費價格指數(shù)是世界各國普遍編制的一種指數(shù)，它可以用于分析市場價格的基本動態(tài)，是政府制定物價政策和工資政策的重要依據(jù)．為準(zhǔn)確把握居民消費價格指數(shù)的變動趨勢，文獻(xiàn)[1]利用ARIMA模型，對居民消費價格指數(shù)進(jìn)行了預(yù)測分析，結(jié)果顯示此模型用于預(yù)測居民消費價格指數(shù)比較好．但該模型的設(shè)定誤差比較大，會影響預(yù)測結(jié)果，所以本文采用非參數(shù)自回歸模型對居民消費價格指數(shù)進(jìn)行模擬分析和預(yù)測，結(jié)果表明基于非參數(shù)自回歸模型的居民消費價格指數(shù)預(yù)測可以獲得令人滿意的結(jié)果．

考慮如下的非參數(shù)自回歸模型(NAR(p)模型):)

解釋性變量Xt∈Rp是由響應(yīng)變量(被解釋性變量)Yt∈R的一些滯后項組成的(p為正整數(shù));隨機(jī)誤差序列{εt}獨立且同分布，E(εt)=0，E(ε2t)=σ2＞0，并且 εt與Xs(s≤t)相互獨立;函數(shù)m(·)稱為自回歸函數(shù)(或條件均值函數(shù))．

1 NAR預(yù)測模型

1．1 階數(shù)p的確定

在應(yīng)用NAR模型(1)對某個樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測時，首先要確定模型的階數(shù)p的值，本文利用Cross－Validation方法[5]確定模型的滯后階數(shù)p．

Cross－Validation方法:對模型(1)的一段樣本Y1，Y2，…，Yn，令Xt(k)=(Yt－1，Yt－2，…，Yt－k)，定義cv(k)，其中－t(·)是刪去第t個數(shù)據(jù)后，對自回歸函數(shù)m(·)的核估計，其階數(shù)p可以用嘗試階數(shù)k替代，它的估計為

其中W(·)是適當(dāng)選取的非負(fù)權(quán)函數(shù)，K(·)為核函數(shù)，給定NAR模型(1)的階數(shù)的上界L，在{1，2，…，L}上極小化cv(k)，則階數(shù)p的估計滿足cv()=min1≤k≤Lcv(k)．

1．2 自回歸函數(shù)的估計

自回歸函數(shù)m(·)的常用估計方法是局部線性估計[6]和核估計法．雖然這兩種方法有很多優(yōu)點，但是二者均是局部光滑方法，在每一點處擬合自回歸函數(shù)需求值時都需重新進(jìn)行計算，計算量很大．而小波估計方法[9]、正交序列估計方法和樣條估計等方法都屬于全局光滑方法，能有效的克服這種弊端，計算效率較高．因此本文采用了全局光滑方法中的正交序列方法和樣條方法對自回歸函數(shù)進(jìn)行擬合、估計．

1．2．1 正交序列估計

設(shè)自回歸函數(shù)m(x)∈c[a，b]，假設(shè)構(gòu)成[a，b]上的一組正交基，即=δij，當(dāng)i=j時，δij=ci;當(dāng)i≠j時，δij=0．則m(x)有正交序列展開m(x)=)．可將非參數(shù)自回歸模型Yt=m(Xt)+εt近似為:

Yi對該模型進(jìn)行最小二乘估計，得到^θ=(ZTZ)－1ZTY，其中，Z=(Z1，…，Zm)，Zi=(φi(X1)，…，φi(Xn))T．于是，m(x)有正交序列估計:^mn(x)=z(x)T^θ，其中z(x)=(φ1(x)，…，φm(x))T．

本文采用Legendre多項式正交基，在區(qū)間[－1，1]上，Legendre多項式的正交基為:

其他高階Legendre多項式可由下式遞推地推出:

(m+1)pm+1(x)=(2m+1)xpm(x)－mpm－1(x)，Legendre 多項式正交基滿足，當(dāng)i=j時，δij=1;當(dāng)i≠j時，δij=0．

若解釋變量X在區(qū)間[a，b]上取值，則必須作變量替換，變量Z的取值區(qū)間為[－1，1]．

1．2．2 多項式樣條估計

樣條估計基本思想:設(shè)Xt∈D=[a，b]，將區(qū)間[a，b]予以分割，結(jié)點序列為a=t0＜t1＜…＜tm＜tm+1=b．具有該結(jié)點序列的三次多項式樣條空間S3，m的基函數(shù)Bs(·)可取為 1，x，x2，x3，(x－，其中(x－ti)+=max{0，x－ti}(i=1，2，…，m)．所以三次樣條函數(shù)可表示為:，只要最小化就

可以得到θi的估計i(i=1，…，K)．則自回歸函數(shù)m(x)的多項式樣條估計為

多項式樣條估計在實際應(yīng)用中必須解決結(jié)點的選擇問題．可按照如下方法選擇結(jié)點:先取正整數(shù)k，令m=[n/k]，取ti=X(ki)(i=1，…m);對于第i(1≤i≤m)個結(jié)點，檢驗H0:θi=0，我們根據(jù)t統(tǒng)計量的值刪除那些接受假設(shè)的結(jié)點;然后調(diào)整k的值直到獲得比較理想的估計效果．

圖1 我國2004．1 ～ 2008．12 CPI

圖2 我國CPI(一階差分后)

1．3 非參數(shù)自回歸模型的預(yù)測

本文使用循環(huán)預(yù)測法[7]對NAR模型進(jìn)行預(yù)測，其基本方法如下:對NAR模型Yt=m(Xt)+εt，當(dāng)k=1時(即對Yn+1預(yù)測時)，通過非參數(shù)方法對E(Yn+1|Yn=X)進(jìn)行估計，算出一步預(yù)測值^Yn(1);當(dāng)預(yù)測Yn+2時，可以把上面得到的^Yn(1)添加到(Y1，Y2，…，Yn)中構(gòu)成新的樣本(Y1，Y2，…，Yn，^Yn(1))，再采用上面一樣的估計方法可以算出二步預(yù)測值^Yn(2)，像這樣循環(huán)下去，直到我們得到k步預(yù)測值，因為在第k步預(yù)測時使用了Yn+1，Yn+2，…，Yn+k－1所包含的信息，所以，循環(huán)預(yù)測法比直接預(yù)測法的預(yù)測誤差?。?/p>

2 我國居民消費價格指數(shù)的NAR預(yù)測模型

2．1 樣本數(shù)據(jù)的選擇與處理

本文的研究樣本是我國2004年1月～2008年12月的居民消費價格指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，首先對其建立NAR預(yù)測模型，然后用兩種方法進(jìn)行擬合，最后對2009年1月～2009年4月的居民消費價格指數(shù)進(jìn)行預(yù)測．(數(shù)據(jù)來源于中國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站)．

圖1是我國2004年1月～2008年12月的居民消費價格指數(shù)的折線圖，從圖中數(shù)據(jù)可以看出:CPI序列是非平穩(wěn)的時間序列，而我們只能對平穩(wěn)的時間序列建立NAR模型．因此，若要對CPI序列建立NAR模型，首先要對其平穩(wěn)化處理，在這兒我們采用一階差分法．從圖2可以知道一階差分后CPI序列平穩(wěn)．

圖3 CPI擬合曲線

2．2 ARMA模型的建立

首先對CPI差分序列{ΔYt}建立一個參數(shù)模型ARMA模型，通過比較差分序列的AIC值和偏自相關(guān)分析，得到最佳模型為AR(3)(其中AIC=2．19)． 通 過 計 算 得，其中模型的參數(shù)是通過最小二乘法估計得到的，括號中的數(shù)為T檢驗值．

2．3 NAR預(yù)測模型

對我國居民消費價格指數(shù)差分序列{ΔYt}建立 NAR 模型 ΔYt=m(ΔYt－1，ΔYt－2，…，ΔYt－p)+εt，其中隨機(jī)誤差序列{εt}獨立且同分布，E(εt)=0，=σ2，εt與 ΔYt－1，ΔYt－2，…，ΔYt－p相互獨立．

利用上述的Cross－Validation方法確定滯后階p，當(dāng)k=1時，cv(k)的值最小，因此NAR模型為ΔYt=m(ΔYt－1)+εt．

對我國2004—2008年的CPI差分序列{ΔYt}，建立 NAR 模型 ΔYt=m(ΔYt－1)+εt，并對該模型分別進(jìn)行正交序列估計和樣條估計．下圖3給出了通過兩種估計方法得到的我國CPI的擬合曲線與CPI原曲線，為了和參數(shù)模型進(jìn)行比較，在圖中也給出了用AR(3)模型擬合得到的曲線．

從圖3中可以看出，三種估計方法都大致擬合出了我國CPI的具體走勢，為了量化估計效果的比較，本文將三種估計方法的平均絕對誤差與均方誤差列于表1中，易見正交序列估計方法優(yōu)于其他兩種方法．

表1 平均絕對誤差和均方誤差的比較

由于我們建模的一個目的是為了預(yù)測，所以為了找出適合這類數(shù)據(jù)的理想模型和估計方法，我們用上面各種方法對樣本進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如表2．

表2 預(yù)測結(jié)果

從兩表的結(jié)果可以看出，在這3種估計方法中，正交序列估計方法的擬合效果及預(yù)測效果明顯優(yōu)于其他估計方法，最小二乘估計方法的模擬和預(yù)測效果是最差的．

表3是我們利用非參數(shù)自回歸模型和文獻(xiàn)[1]利用ARIMA模型對我國2004～2008 CPI進(jìn)行模擬和預(yù)測的部分結(jié)果的比較．從表中可以看出非參數(shù)自回歸模型要比ARIMA模型的模擬和預(yù)測結(jié)果理想．

表3 模擬和預(yù)測結(jié)果的比較

3 結(jié)語

為了克服經(jīng)典參數(shù)模型的缺點，本文利用2004～2008我國居民消費價格指數(shù)月度數(shù)據(jù)建立非參數(shù)自回歸模型，并利用線性最小二乘估計、樣條估計和正交序列估計進(jìn)行擬合和預(yù)測，得到的結(jié)果表明:在這三種方法中，正交序列估計方法優(yōu)于其他兩種方法．

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