劉少梅， 董小剛

（長春工業(yè)大學基礎科學學院，吉林長春 130012）

0 引 言

高頻金融時間序列數(shù)據(jù)指的是在非常細小的時間間隔上，以日或更小的時間間隔（例如小時、分鐘、秒鐘）上抽取的觀測值。隨著實時數(shù)據(jù)的獲得與處理方法的發(fā)展和提高，可以得到這些高頻數(shù)據(jù)。所以，市場微觀結構實證方面的研究越來越受到廣泛的關注。自從上世紀90年代，高頻金融交易數(shù)據(jù)的分析開始迅速發(fā)展，目前，已廣泛用于金融市場微觀結構理論的應用和實證檢驗。對于金融市場中高頻數(shù)據(jù)分析方法的研究也在不斷地發(fā)展和提高，這對于研究股票、證券、期貨等具有重大意義。

Hilbert－Huang變換（HHT）是1998年由NASA的Norden E Huang［1］等人提出的，作為一個嶄新的時頻分析方法，它完全獨立于傅里葉變換，能夠進行非線性、非平穩(wěn)信號的線性化和平穩(wěn)化處理，被認為是近年來對以傅里葉變換為基礎的線性和穩(wěn)態(tài)譜分析的一個重大突破。與頻譜分析方法相比，得到的每個振幅和頻率是隨時間變化的，消除了為反映非線性、非平穩(wěn)過程而引入的多余無物理意義的簡諧波。與小波分析方法相比，具有小波分析的全部優(yōu)點，在分辨率上消除了小波分析的模糊和不清晰，具有更準確的譜結構，依此得到的分析結果更能準確地反映出系統(tǒng)原有的物理特性。雖然Hilbert－Huang變換擁有眾多優(yōu)點，但EMD分解［2］數(shù)據(jù)時存在模態(tài)混疊的現(xiàn)象。針對此問題，將白噪聲加入數(shù)據(jù)中來補充一些缺失的尺度。使用EMD分解對Hilbert譜刻畫比較前后具有良好的表現(xiàn)。

1 經(jīng)驗模態(tài)分解和Hilbert譜分析

1.1 EMD－“篩分”過程

經(jīng)驗模態(tài)分解是Hilbert－Huang變化的核心，EMD方法的關鍵問題在于如何把一個非線性非平穩(wěn)的信號（數(shù)據(jù)）分解為有限個IMF分量和一個趨勢項的和。

1．1．1 本征模態(tài)函數(shù)（IMF）定義

本征模態(tài)函數(shù)［2］是滿足兩個條件的一類函數(shù)：

1）在整個資料集中，極值點的數(shù)目與穿零點的數(shù)目必須相等或者最多相差一個；

2）上、下包絡線平均值為零。

1．1．2 EMD分解步驟

1）確定所有局部極值點，然后用3次樣條插值將所有極大值點連接起來形成上包絡線，將所有極小值點連接形成下包絡線，上下包絡線涵蓋所有數(shù)據(jù)點。

2）原始信號（數(shù)據(jù)）減去上、下包絡線的平均值

如果h1是一個IMF，那么h1就是第一個IMF分量。

3）如果h1不滿足IMF條件，將h1作為原始數(shù)據(jù)，重復前兩步，得到上、下包絡線平均值m11，再判斷h11＝h1－m11是否滿足IMF條件，若不滿足，重新循環(huán)k次，得到h1（k－1）－m1k＝h1k，使得h1k滿足IMF的條件。記C1＝h1k，則C1為信號x（t）的第一個滿足IMF條件的分量。

4）將C1從x（t）中分離出來，得到

將r1作為原始數(shù)據(jù)重復步驟1）～3），得到x（t）的第二個滿足IMF條件的分量C2，重復循環(huán)n次，得到信號x（t）的n個滿足IMF條件的分量。這樣就有

當rn成為一個單調函數(shù)不能再從中提取滿足IMF條件的分量時，循環(huán)結束。這樣得到

式中：rn——殘余函數(shù)，代表信號的平穩(wěn)趨勢。設定篩選過程停止判據(jù)SD：

從一些實例來看，SD的參考取值為0．2～0．3，即可停止篩選過程。

1.2 Hilbert譜分析

經(jīng)驗模態(tài)分解后得到本征模態(tài)函數(shù)，將IMF分量做Hilbert變換

式中給出了一個時間函數(shù)的振幅和頻率。同樣數(shù)據(jù)，如果展開成傅里葉表示，將得到常值振幅和頻率。EMD分解和傅里葉展開區(qū)別在于：IMF表示一個實時變化的振幅和頻率函數(shù)的傅里葉展開。這個振幅的頻率時間分布被稱作Hilbert譜。再定義Hilbert邊際譜：

式中：T——信號的總長度。

邊際譜提供了對來自于每個頻率值的整個振幅（或能量）的測量，并且展示了概率意義上的整個數(shù)據(jù)范圍累積振幅。

2 DEM分解的缺點

當信號的時間尺度存在跳躍性變化時，對信號進行EMD分解，會出現(xiàn)一個IMF分量包含不同時間尺度特征的情況，被稱之為模態(tài)混疊［1］。

文獻［3］提出了多分辨率的EMD思想，對每一個IFM規(guī)定一個尺度范圍來解決模態(tài)混疊，但EMD失去了良好的自適應性。Huang［4］曾提出了中斷檢測的方法來解決模態(tài)混疊現(xiàn)象，直接對結果進行觀察，如果出現(xiàn)混疊，則重新分解，但是這種方法需要人為后驗判斷，使用較少。

應用DME分解處理高頻數(shù)據(jù)時，雖然時間間隔短，卻是不等時間間隔采取數(shù)據(jù)，并且數(shù)據(jù)量大，數(shù)據(jù)極值點呈現(xiàn)不均勻分布，此時出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象。

3 引入正態(tài)分布白噪聲

為了更好地解決模態(tài)混疊問題，Huang［4］提出了一種噪聲輔助處理信號方法，稱其為EEMD。文中應用Hilbert－Huang變換處理高頻數(shù)據(jù)，同樣出現(xiàn)模態(tài)混疊問題。在EMD分解中，得到合理的IMF的能力取決于數(shù)據(jù)極值點的分布情況，如果極值點呈現(xiàn)不均勻分布時也會出現(xiàn)模態(tài)混疊。為此，Huang將白噪聲加入待分解信號，因為白噪聲頻譜是均勻分布的，所以，當信號加在整個時頻空間分布一致的白噪聲時，經(jīng)過多次平均后，噪聲可相互抵消，達到減弱模態(tài)混疊的效果。將白噪聲序列加入待分解的數(shù)據(jù)中，消除由于不等間隔造成的數(shù)據(jù)中斷，從而消除模態(tài)混疊現(xiàn)象。

4 實例分析［5－8］

為了驗證EEMD方法處理高頻數(shù)據(jù)改進之處，利用Matlab平臺分析2010年5月12日某股票日成交量數(shù)據(jù)，對原始數(shù)據(jù)進行EMD和EEMD分解，可實現(xiàn)數(shù)據(jù)的各個IMF分量和瞬時頻率，并能對Hilbert時譜進行刻畫。

參數(shù)設置功能：自由設置加入300組標準差為0．2的白噪聲。

數(shù)據(jù)來源：2010年5月12日某股票日成交量Hilbert－Huang變換分析結果。

對日股票成交量模態(tài)分解，通過Hilbert譜比較分析結果有了改進。EMD對數(shù)據(jù)的分解如圖1所示。EMD對數(shù)據(jù)Hilbert的刻畫如圖2所示。

圖1 EMD對數(shù)據(jù)的分解

圖2 EMD對數(shù)據(jù)Hilbert的刻畫

EMD將數(shù)據(jù)分解成3個IFM分量和一個殘余項，通過頻譜圖可以看出，低頻分量混雜在一起，難以分辨。

將數(shù)據(jù)中加入300組標準差為0．2的白噪聲序列，結果如圖3和圖4所示。

圖3 EEMD對數(shù)據(jù)的分解

圖4 EEMD對數(shù)據(jù)Hilbert的刻畫

通過頻譜圖比較，模態(tài)混疊現(xiàn)象有所改善。

5 結 語

應用Hilbert－Huang變換分析高頻數(shù)據(jù)是個較有效的方法。文中分析的是日股票成交量數(shù)據(jù)，在EMD分解時出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，向其加入輔助白噪聲，通過比較前后的頻譜圖，有效地改善了模態(tài)混疊的現(xiàn)象，這將是對傳統(tǒng)的高頻數(shù)據(jù)分析方法的有效改進。

［1］ 于德介，程軍圣，楊宇．機械故障診斷的Hilbert－Huang變換方法［M］．北京：科學出版社，2006．

［2］ 鄭祖光，劉莉紅．經(jīng)驗模態(tài)分析與小波分析及其應用［M］．北京：氣象出版社，2010．

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