孫立江，常振軍，賈天龍

(1.第二炮兵工程大學(xué) 二系，西安 710025;2.解放軍邊防學(xué)院 司令部工作教研室，西安 710108)

目前，國內(nèi)陀螺尋北儀在整個尋北過程中，需多次鎖放陀螺，目前完成一次鎖放通常需要約1 min，而Gyromat 3000一次鎖放僅需十幾秒，速度很快，且陀螺靈敏部的穩(wěn)定性好［1-3］，因此，鎖放的快慢和陀螺靈敏部的穩(wěn)定性直接影響尋北時間，這就需要進行擺式陀螺儀在鎖放干擾力矩作用下的動力學(xué)建模。

1 擺式陀螺儀結(jié)構(gòu)與尋北原理

1.1 擺式陀螺儀結(jié)構(gòu)

擺式陀螺尋北儀如圖1 所示，由與外壁固連的金屬懸掛帶、陀螺房殼、陀螺轉(zhuǎn)子及配重等組成［4］。其中金屬懸掛帶一般由鎳鉻等合金材料構(gòu)成，具有較好的彈性特征和較高的抗拉強度;陀螺房殼中裝有陀螺轉(zhuǎn)子，房殼起到保護和屏蔽的作用，陀螺轉(zhuǎn)子裝在萬向支架上，具有3 個方向的自由度。配重使轉(zhuǎn)子缺少1 個方向上的自由度。在平時存放時，由下面支撐裝置將整個陀螺靈敏部托起;工作時靈敏部下放，由懸掛帶吊起，進行尋北。

圖1 擺式陀螺儀結(jié)構(gòu)

1.2 擺式陀螺儀尋北原理

如圖2 所示，設(shè)初始位置陀螺靈敏部的重力P 通過懸掛帶與陀螺房連接點O 和重心位置G，此時重力不產(chǎn)生力矩，轉(zhuǎn)子也不發(fā)生進動。當(dāng)?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)了β 角時，轉(zhuǎn)子軸相對水平面也抬高了β 角，這時陀螺儀的重力P 產(chǎn)生了力矩，l 為懸掛帶下懸掛點至重心的距離，稱為傾心高，由陀螺進動規(guī)律知，該力矩作用在陀螺轉(zhuǎn)子軸上，將產(chǎn)生進動。而對于指定的陀螺儀，它的P、l 和動量矩H 都是固定的，進動角速度ωP只由角度β 決定，而β 的變化卻是由地球自轉(zhuǎn)所造成的，也就是說，是由地球自轉(zhuǎn)和重力矩的綜合作用，使陀螺轉(zhuǎn)子軸發(fā)生進動。由于重力矩的方向指向北方，這樣總有一個指向真北的外力矩作用在陀螺靈敏部，使陀螺的動量矩沿最短路徑向真北方向進動。

圖2 擺式陀螺尋北原理

2 基于動靜法的擺式陀螺儀動力學(xué)建模

依據(jù)力學(xué)中的達(dá)朗伯原理，將牛頓第二定律F =ma 變換為F+Q=0，Q= -ma 表示物體的慣性力，一般為相對慣性力、牽連慣性力和哥式慣性力三者的矢量和，如此可使動力學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o力學(xué)問題求解，從形式上把受力運動狀態(tài)轉(zhuǎn)為受力平衡狀態(tài)，這種處理問題的方法稱為動靜法或慣性力法［5］。

圖3 動坐標(biāo)系下陀螺儀運動

同時假設(shè)地理坐標(biāo)系相對慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動的角加速度(角速度)在地理坐標(biāo)系各軸上的投影分別為和(ωx、ωy和ωz)。由于陀螺儀具有繞Ox 軸和Oy 軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix和Iy，當(dāng)陀螺儀繞這兩軸出現(xiàn)角加速度時，就有一般定軸轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動慣性力矩。轉(zhuǎn)動慣性力矩的方向與角加速度方向相反，如圖4 所示。當(dāng)陀螺儀相對地理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角α 和β 均為微量時，轉(zhuǎn)動慣性力矩為

圖4 慣性力矩之間的關(guān)系

根據(jù)動靜法(或慣性力法)原理，在作用于物體的外力之外，另加上慣性力，即可是動力學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o力學(xué)問題求解。將式(1)和(2)相加，可以寫出陀螺儀繞內(nèi)環(huán)軸和外環(huán)軸的力矩平衡方程式

整理得

由圖5 將地球自轉(zhuǎn)角速度分解到地理坐標(biāo)系中，并結(jié)合圖3 各軸關(guān)系，得到

其中φ 為當(dāng)?shù)鼐暥取５乩碜鴺?biāo)系的角加速度為零，將式(5)代入式(4)中得到

式(6)為利用動靜法建立的擺式陀螺尋北運動方程。

圖5 地球自轉(zhuǎn)角速度分解

3 擺式陀螺儀在受鎖放干擾力矩影響下的動力學(xué)模型的建立

在鎖放過程中，由于擺式陀螺儀的陀螺靈敏部整體的質(zhì)量由鎖緊機構(gòu)來進行承受，陀螺靈敏部上端的吊帶所承受的陀螺靈敏部的質(zhì)量在下放過程中，隨著陀螺靈敏部的下放是從零逐漸增大直至整個承受陀螺靈敏部的質(zhì)量。由于鎖放力矩總是在t=0 時加到陀螺儀上的，這個力矩可看成是階躍的常值力矩，為了分析方便，假設(shè)只在陀螺儀的內(nèi)環(huán)軸上作用有該常值力矩Mx。而鎖放干擾力矩雖然是直接作用與陀螺房，但是，可認(rèn)為是瞬時對陀螺儀的干擾，故可近似認(rèn)為是脈沖力矩。又由于脈沖力矩的作用時間短，可認(rèn)為陀螺儀主軸的初始方位不發(fā)生改變，故該力矩作用以后陀螺儀上將不會有外力矩變化，但是會引起陀螺儀主軸初始角速度的變化［6］。下面就以下放過程為例來進行分析擺式陀螺儀在干擾力矩作用下的動力學(xué)模型。而陀螺靈敏部的鎖緊過程的分析方法與此相同。

3.1 吊帶不受力

在此情況下，根據(jù)前面動靜法所建立的陀螺儀的動力學(xué)模型公式可得到

3.2 吊帶開始受力，但未全部承受陀螺靈敏部的質(zhì)量

此時，雖然吊帶開始受力，但是，陀螺儀在吊帶和下放力矩的共同作用下處于力矩平衡狀態(tài)，因此，根據(jù)前面動靜法所建立的陀螺儀的動力學(xué)模型公式可得到

3.3 吊帶完成承受陀螺靈敏部的質(zhì)量

此時只受鎖放干擾力矩的影響。吊帶在x 軸方向的力矩為:MD=Tlsin(β-γ)。同樣，根據(jù)前面動靜法所建立的陀螺儀的動力學(xué)模型公式可得到

這樣所得到的式(7)、式(8)和式(9)就是在受鎖放干擾力矩影響的擺式陀螺儀的動力學(xué)模型。

4 結(jié)束語

本文從擺式陀螺儀的結(jié)構(gòu)和尋北原理出發(fā)，利用動靜法建立了擺式陀螺儀的動力學(xué)模型，并以此為基礎(chǔ)，分析了在鎖放過程中擺式陀螺儀在受鎖放干擾力矩影響下的運動情況和受力情況，并建立了在此過程中的動力學(xué)模型。

［1］DMT GmbH.Exploration＆Geosurvey［EB/OL］.［2009 -07-24］.http: // www.gyromat.de.

［2］萬朋，張海東.陀螺經(jīng)緯儀零位改正系數(shù)研究［J］.北京測繪，2005(2):48-49.

［3］劉勇，張志勇，馮偉利.陀螺經(jīng)緯儀校準(zhǔn)技術(shù)［J］.宇航計測技術(shù)，2007(4):6-10.

［4］姜春福.懸掛式二自由度陀螺經(jīng)緯儀運動規(guī)律的研究［D］.北京:北京工業(yè)大學(xué)，2000.

［5］劉延柱.陀螺力學(xué)［M］.2 版.北京:科學(xué)出版社，2009:67-69.

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