韓小孩，張耀輝，孫福軍，王少華

(1 裝甲兵工程學院 維修工程教研室，北京 100072;2 71602 部隊，山東 濰坊 261055)

主成分分析(principal component analysis，PCA)，也稱主分量分析或矩陣數(shù)據(jù)分析。它通過變量變換的方法把相關(guān)的變量變?yōu)槿舾刹幌嚓P(guān)的綜合指標變量［1］，從而實現(xiàn)對數(shù)據(jù)集的降維，使得問題得以簡化。現(xiàn)行的關(guān)于主成分分析的應(yīng)用研究中大多集中于數(shù)據(jù)的簡化處理或綜合評價上［2-3］。文獻［4］中介紹主成分的在權(quán)重確定方面的研究，雖提出了權(quán)重確定的一般方法，但由于所需樣本數(shù)據(jù)較多，在實際應(yīng)用時通用性不強。本文旨在研究一種權(quán)重確定方法，在無需指標樣本數(shù)據(jù)的情況下利用主成分分析方法基本原理，解決權(quán)重確定問題。

1 主成分方法

1.1 基本原理

主成分分析的原理可以簡單的陳述如下:借助一個正交變換，將其分量相關(guān)的原隨機向量

轉(zhuǎn)化成其分量不相關(guān)的新隨機變量

使之指向樣本點散布最開的p 個正交方向，然后對多維變量系統(tǒng)進行降維處理，使之能以一個較高的精度轉(zhuǎn)換成低維變量系統(tǒng)［5-7］。

1.2 計算步驟

1)構(gòu)造樣本陣

其中，xij表示第i 組樣本數(shù)據(jù)中的第j 個變量的值。

3)對Y 做標準化變換得標準化陣

4)計算標準化陣Z 的樣本相關(guān)系數(shù)陣

5)求特征值

解得p 個特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0。

6)確定m 值，使信息的利用率達到80%以上。確定方法為

對每個λj，j =1，2，…，m。解方程組Rb = λjb，得單位向量

得決策矩陣

其中，ui為第i 個變量的主成分向量。

1.3 建立權(quán)重模型

1)提出假設(shè)

假設(shè)需確定權(quán)重的指標個數(shù)為h 個。現(xiàn)分別咨詢L 位專家得出h 組權(quán)重評分值，其中每組評分值中均有L 個元素。具體形式可由表1 表示。

表1 專家打分

由于各位專家所研究方向不同，其打分也存在一定的偏向，從而給權(quán)重的確定帶來一定的模糊性。研究發(fā)現(xiàn)，專家人數(shù)越多，得到的權(quán)重越科學，與此同時權(quán)重的確定也就越模糊。在此基礎(chǔ)上提出以下假設(shè)，即在專家人數(shù)不變的情況下，利用各位專家評分間的線性關(guān)系對實際評分專家數(shù)進行類似的簡化，從而實現(xiàn)權(quán)重評判的精確性。經(jīng)分析得，思路符合主成分分析的基本原理，故可嘗試用主成分分析方法來確定權(quán)重。

2)權(quán)重確定過程

根據(jù)上述條件可知，權(quán)重的確定過程其實就是主成分分析求綜合評價函數(shù)的過程。在此過程中，原評價系統(tǒng)中的指標變?yōu)闃颖?現(xiàn)有指標為各位專家。具體的權(quán)重確定流程可用圖1 表示。

圖1 權(quán)重確定流程

3)權(quán)重模型

首先確定的初級權(quán)重模型即是主成分模型

式中，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m為分析后得到的m 個主成分;uij為決策矩陣中系數(shù)。需要指出的是，在用SPSS 軟件進行主成分分析時，得到不是決策矩陣系數(shù)uij而是初始因子載荷fij。二者滿足如下關(guān)系

在此基礎(chǔ)上構(gòu)建綜合評價函數(shù):

式中，a1，a2，…aL即指標w1，w2，…，wL在主成分中的綜合重要度。在此基礎(chǔ)上結(jié)合專家實際打分，可算出原有指標得分綜合值。

可得各指標權(quán)重為

由式(3)、式(4)、式(5)可得二級權(quán)重模型

因此可確定總的權(quán)重模型如圖2 所示。

圖2 指標權(quán)重確定模型

2 示例分析

現(xiàn)有任務(wù)成功性評定指標集:(任務(wù)強度，環(huán)境等級，壽命等級，人員素質(zhì)，技術(shù)狀態(tài))。

假定變量V=(v1，v2，…，v5)與指標集中元素滿足如下對應(yīng)關(guān)系:v1-任務(wù)強度;v2-環(huán)境等級;v3-壽命等級;v4-人員素質(zhì);v5- 技術(shù)狀態(tài)。另有，w1- 專家1;w2- 專家2;w3-專家3;w4-專家4;w5-專家5;w6-專家6。

由6 位專家采取5 分制原則對5 個指標進行評分得表2。

以原指標項為樣本，專家項為指標對評分表進行主成分分析。經(jīng)SPSS 軟件分析得表3、表4。

表2 評價指標得分表

表中:5 -非常重要;4 -比較重要;3 -一般重要;2 -不太重要;1 -不重要

表3 成分矩陣

表4 方差解釋表

成分 初始特征值合計 方差的% 累積%1 3.860 64.328 64.328 2 1.222 20.362 84.690 3 0.709 11.814 96.504 4 0.210 3.496 100.000 5 -6.417E-17 -1.070E-15 100.000 6 -2.059E-16 -3.432E-15 100.000

將表(3)結(jié)果經(jīng)式(2)轉(zhuǎn)換后代入初始權(quán)重模型即式(1)可得

再結(jié)合上述結(jié)果以及評分表和表(4)結(jié)果共同代入二級權(quán)重模型即式(6)可得

即指標集(任務(wù)強度，環(huán)境等級，裝備壽命狀態(tài)等級，人員素質(zhì)等級，裝備技術(shù)狀態(tài)等級)對應(yīng)的權(quán)重集為(0.207 5，0.145 6，0.241 2，0.163 6，0.242 1)。

3 結(jié)束語

本文針對主成分分析方法缺少在指標權(quán)重確定方面的應(yīng)用這一問題，提出了一種無需多組樣本數(shù)據(jù)的基于主成分分析的權(quán)重確定方法。建立了基于主成分分析的權(quán)重確定模型，并結(jié)合例子進行了分析。該模型通用性較強，可有效應(yīng)用于各種指標權(quán)重確定問題中，為各類評估問題的進行奠定了基礎(chǔ)。

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