馬唯一

1.上海市采埃孚轉向系統(tǒng)有限公司，上海 200062

2.上海交通大學自動化系，上海 200240

雖然當前控制理論與技術實現(xiàn)了持續(xù)的發(fā)展和進步，同時人們也提出了不同的非線性比例的積分和微分方程，有效改善了傳統(tǒng)線性PID品質，但大多數(shù)的實際機械控制系統(tǒng)依舊采用傳統(tǒng)的線性PID進行控制。而PID控制的非線性機械系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一直是研究中的難點。

Arimoto提出了不確定的非線性機械系統(tǒng)PID局部控制趨向穩(wěn)定性，而Kelly則提出根據(jù)飽和函數(shù)在實踐中的引入明確了非線性不確定機械系統(tǒng)控制的全局漸進穩(wěn)定性。相應的專家還了解到自適應飽和P加D控制過程中所呈現(xiàn)的機械系統(tǒng)全局穩(wěn)定性特點。根據(jù)近期的文獻研究了解到，專業(yè)的研究者所提出的新型的飽和函數(shù)，有效證明了P加D飽和同步誤差的非線性控制機器人系統(tǒng)的全局漸進穩(wěn)定特點。

1 機械系統(tǒng)動力學模型與特性

n自由度的自由度旋轉關節(jié)非線性機械系統(tǒng)動力學模型描述如下：

上述公式中，q為關節(jié)位置， 為速度矢量， 為加速度矢量，M（q）為對稱正定慣性矩陣，而B0為關節(jié)線性阻尼摩擦力矩陣，C(q，)為哥氏力以及離心力矩陣，而g（q）是重力向量，U(q)是由于重力而形成的勢能，而則是力矩控制矢量。

非線性機械系統(tǒng)一般具有一下所示的結構特性：

1）當B0，實際上也是線性阻尼矩陣為對角正定矩陣，慣性矩陣保持對稱正定且并非無限，是有界的，其范圍滿足如下關系式：

其中的λm（M）以及λm(M)表示的是在M（q）矩陣中的最小特征值和最大特征值。

2）對于特定的qd以及任意的q以及α＞0，有一個恒定的對角正定矩陣保證下列關系式成立：

上述公式中Δq= q- qd為關節(jié)誤差，而qd與q分別為期望以及實際的位置。

在實際的分析過程中，也就是公式中，對于任意的qd，也就的任意給定的期望位置，設計出線性PID控制器，通過綜合的考量能與任何的模型信息適用，同時實現(xiàn)了非線性機械系統(tǒng)漸進穩(wěn)定性位置的控制，從而致使非線性機械系統(tǒng)從初始的位置漸進穩(wěn)定達到目標狀態(tài)。

2 非線性機械系統(tǒng)PID控制漸進穩(wěn)定性分析

2.1 傳統(tǒng)線性控制半全局漸近穩(wěn)定性

傳統(tǒng)PID線性控制:

公式中的Kp+Ki為恒定對角正比例，而Kd為微分增益矩陣；Ki為積分增益矩陣。

將上述兩個公式帶入非線性機械系統(tǒng)的動力學模型后，可得出閉環(huán)系統(tǒng)的方程如下：

其中B=B0+Kd，通過上述公式，可得知ΔqT TzT為相應系統(tǒng)中唯一靜態(tài)平衡點。

根據(jù)對傳統(tǒng)線性PID控制的非線性機械系統(tǒng)的分析，可得出相應的定理：

根據(jù)非線性機械系統(tǒng)模型定義，傳統(tǒng)線性PID控制系統(tǒng)的應用過程中，通過傳統(tǒng)控制器的比例與微分增益參數(shù)適宜的不等式方程的設定和完善，那么系統(tǒng)的位置誤差處于半全局的漸進收斂狀態(tài)。也就的存在穩(wěn)定的吸引域保證

由于公式所表示的Lyapunov函數(shù)V保持正定的。并且函數(shù)V的值將順著閉環(huán)系統(tǒng)實現(xiàn)了時間倒數(shù)在平衡點附近內(nèi)部吸引域的半負定。同時實際上值為零實際上也是Δq的值為零以及q?的值為零。根據(jù)LaSalle的不變性原理可了解到，吸引域D的值使處于其吸引域內(nèi)部的初始值都將漸進穩(wěn)定實現(xiàn)平衡位置的收斂。這似乎達到了局部漸進穩(wěn)定的結果，然而實際上影響吸引域大小的常數(shù)值沒有出現(xiàn)在非機械系統(tǒng)的控制器中，這個影響的正常數(shù)值大小可隨意自定。同時也是吸引域的大小為整體的狀態(tài)空間體系，由此，根據(jù)相關學者的相似討論可推算出閉環(huán)系統(tǒng)的半全局漸進的穩(wěn)定性特點。

2.2 改進后的非線性PID控制的全局漸近穩(wěn)定性

根據(jù)相應的仿真模擬實驗可知，改善完成之后的NPI-D控制器當中，控制系統(tǒng)中的等價比例的控制參數(shù)小于或者等于線性PID的控制參數(shù)，非線性機械系統(tǒng)控制器的位置和誤差可根據(jù)仿真試驗的結果看出，在通過了初始控制值的誤差暫時狀態(tài)過渡完成后，機器人系統(tǒng)位置控制誤差逐漸接近零。同時實現(xiàn)改善后的非線性機械控制系統(tǒng)，也就是NPI-D系統(tǒng)，與傳統(tǒng)的PID控制系統(tǒng)相比具有更快的反應速度。根據(jù)推算的理論體系和結論明確到，本論文提出的非線性機械系統(tǒng)NPI-D控制器的改進措施引入了較新的且將小誤差放大的飽和函數(shù)，從而明確了在較小的控制增益狀況下依舊能實現(xiàn)較快的過渡過程。為了保證非線性機械系統(tǒng)全局區(qū)域穩(wěn)定性而采取的，通常所用的雙曲余切函數(shù)無法放大誤差，為了實現(xiàn)滿意的系統(tǒng)過渡，機械系統(tǒng)中的比例以及積分的增益都相對大一些。

首先通過相類似的勢能函數(shù)，實現(xiàn)對相應系統(tǒng)穩(wěn)定性特點的推導：

針對近似的勢能函數(shù)求導可得出非線性的飽和函數(shù)如下所示：

通過簡單的運算可證明上述引理的成立。

應用勢能函數(shù)針對x求導得出的非線性飽和函數(shù)，相應的非線性PI加D的控制器可表述為如下公式：

其中的Kp、Kd、Ki的值未恒定對角正定增益矩陣，可是實現(xiàn)如下矢量的定義：

同時引入一定的矢量值：

將上述公式代入近似勢能函數(shù)可得出閉環(huán)的系統(tǒng)方程為：

對于公式中所控制的閉環(huán)系統(tǒng)，可推出如下定理：

3 結論

通過對相應線性控制的非線性機械系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的分析，清晰明確地回答了這一開放性問題。雖然并沒有對線性控制全局的漸進穩(wěn)定性進行闡述，但實際證明了實際機械系統(tǒng)中的半全局的漸進穩(wěn)定性，同時在傳統(tǒng)的線性PID控制半全局漸進穩(wěn)定性的分析基礎之上，提出了改進的NPI-D控制體系，通過相應專業(yè)理論的應用證明了閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)全局漸進穩(wěn)定性，通過實際的實例進一步表明了理論分析結果的正確和有效。

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