王凱明,金德泉

(1.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安 710049;2.長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710064; 3.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

有限區(qū)間上奇異攝動(dòng)系統(tǒng)T ikhonov定理的推廣

王凱明1,2,金德泉1,3

(1.西安交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安 710049;2.長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院,陜西 西安 710064; 3.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

為了研究奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的解的性態(tài),在一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的新準(zhǔn)則下推廣了有限區(qū)間上非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的Tikhonov定理,最后給出了實(shí)例以驗(yàn)證本文給出的條件.

奇異攝動(dòng);指數(shù)穩(wěn)定;Tikhonov定理

1 引言

考察非線性奇異攝動(dòng)系統(tǒng):

系統(tǒng)(1)是一個(gè)經(jīng)典奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng).許多經(jīng)典物理系統(tǒng)都具有這種形式,例如,汽車減震系統(tǒng)、柔性關(guān)節(jié)機(jī)器手[14]等.這些控制系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是控制器u只是直接作用在快子系統(tǒng) (1-2),而控制的目標(biāo)卻經(jīng)常在慢子系統(tǒng)(1-1).所以如果雅克比矩陣為奇異矩陣,則系統(tǒng)(1)的線性化系統(tǒng)是不可控的.所以線性化方法并不適合這樣的系統(tǒng).然而,在一定條件下,系統(tǒng)(1)可以由兩個(gè)不同時(shí)間尺度的獨(dú)立子系統(tǒng)來逼近,亦即邊界層系統(tǒng)和簡(jiǎn)化系統(tǒng)(參考Tikhonov定理[2]).所以,如果把控制輸入分為兩個(gè)相應(yīng)部分,它們相對(duì)獨(dú)立地出現(xiàn)在快慢子系統(tǒng)中,這就使得系統(tǒng)(1)可以通過分別設(shè)計(jì)邊界層系統(tǒng)和簡(jiǎn)化系統(tǒng)而具有一種期望的設(shè)計(jì)能力.復(fù)合控制就是建立在這樣的理念上,許多奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)都是復(fù)合控制[1,5].

由于奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用而使它的研究得到了越來越多的關(guān)注,多時(shí)間尺度下的Tikhonov定理成為這些研究中一個(gè)主要的方法[6-7].Tikhonov定理指出系統(tǒng)(1)的解可以由簡(jiǎn)化系統(tǒng)和邊界層系統(tǒng)的解逼近,只需邊界層系統(tǒng)以及 (或)簡(jiǎn)化系統(tǒng)平衡點(diǎn)滿足一定的穩(wěn)定性.在現(xiàn)有的研究中,有很多關(guān)于邊界層系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的方法,Lyapunov直接方法一直都是一個(gè)主要的方法[8].然而,由于Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造具有很強(qiáng)的技巧性,而且基于構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的直接法既不能確定狀態(tài)平衡點(diǎn)的收斂速率也不能判斷吸引域的大小.在2001年,文獻(xiàn)[9]提出了一個(gè)新的方法:非線性測(cè)度,來研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.在2011年文獻(xiàn)[10]在此基礎(chǔ)上提出了一個(gè)判斷非線性系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的一個(gè)新的準(zhǔn)則.應(yīng)用這個(gè)準(zhǔn)則,可以定量地研究奇異攝動(dòng)系統(tǒng)中的指數(shù)穩(wěn)定性.

本文應(yīng)用文獻(xiàn)[10]提出的新準(zhǔn)則證明了有限區(qū)間上奇異攝動(dòng)系統(tǒng)的Tikhonov定理,并給出實(shí)例以驗(yàn)證本文給出的條件.實(shí)例說明,這種新條件在實(shí)際控制系統(tǒng)中更易證明和計(jì)算.

2 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在本節(jié)中,給出文獻(xiàn)[10]中提出的非線性系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的新準(zhǔn)則.在這個(gè)準(zhǔn)則中提出一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的特征數(shù),這個(gè)特征數(shù)使得指數(shù)穩(wěn)定性成為一個(gè)可以度量的性質(zhì),可以給出指數(shù)穩(wěn)定的收斂速率和吸引域的估計(jì).

考慮以下系統(tǒng):

其中H絕對(duì)連續(xù)以保證此系統(tǒng)解的存在唯一性.

定義 1[2]如果存在正數(shù)c,k和λ,使得

則稱系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)是指數(shù)穩(wěn)定的,λ為收斂速率,{v|‖v‖＜c}為原點(diǎn)的吸引域.

引理 2.1[10]對(duì)于給定點(diǎn)e∈Rk,假設(shè)在Rk和開球?={v∈Rk:‖v?e‖＜r}存在向量范數(shù)‖·‖,使得

則e為系統(tǒng)(2)的指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn),而且系統(tǒng)從?(即v(t0)∈?)出發(fā)的任意解滿足:

注意到α(H,?,e)不僅依賴于函數(shù)H,域?和點(diǎn)e,而且依賴于范數(shù)‖·‖.事實(shí)上,范數(shù)的自由選取使得α(H,?,e)更有應(yīng)用價(jià)值.當(dāng)‖·‖為l2-范數(shù)時(shí),有

3 T ikhonov定理的推廣

本節(jié)在上節(jié)的指數(shù)穩(wěn)定準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上給出有限區(qū)間上Tikhonov定理的新的證明.與傳統(tǒng)的通過Lyapunov函數(shù)的證明相比較,新的準(zhǔn)則更易于計(jì)算和驗(yàn)證.

考察奇異攝動(dòng)系統(tǒng)[2],

函數(shù)f和g對(duì)(t,x,z,ε)∈[0,t1]×Dx,×Dz×[0,ε0]連續(xù)可微,其中Dx?Rn,Dz?Rm為連通開集,ξ(ε)和η(ε)對(duì)ε是光滑的,t＞0.記系統(tǒng)(7)的解為x(t,ε)和z(t,ε).

在方程(7-2)中令ε=0,則

設(shè)方程(8)對(duì)任意的(t,x)∈[0,t1]×Dx有唯一的孤立實(shí)根z=h(t,x),其中h(t,x)被稱為“準(zhǔn)靜態(tài)”.得到簡(jiǎn)化系統(tǒng)

令y=z?h(t,x),則系統(tǒng)(7)在新變量(x,y)下成為:

4 例子

是線性的,顯然定理3.1的所有的假設(shè)都滿足,所以可以用簡(jiǎn)化系統(tǒng)的解和邊界層系統(tǒng)的解來逼近x和z.

令 ε=0.001 A=?0.5,B=?1,C=1.在 [?1,1]×[?1,1]隨機(jī)選取 10個(gè)初始點(diǎn).在圖 1可以看到系統(tǒng) (16-1)在原點(diǎn)的周圍沒有吸引子.然而,圖 2和圖 3相應(yīng)的表明:當(dāng)t∈[0,0.0003],可以用z(t,ε)和h(t,ˉx(t))+?y(t/ε)來逼近x(t,ε)和z(t,ε),逼近誤差為O(ε).

圖1 系統(tǒng)(16-1)的解.

圖2 誤差x(t,ε)?(t).

圖3 誤差 z(t,ε)?h(t,(t))?(t/ε).

參考文獻(xiàn)

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A developm ent of T ikhonov theorem for singu lar pertu rbation
system s on fi nite interval

Wang Kaim ing1,2,Jin Dequan1,3
(1.School of Mathematics and Statistics,Xi′an Jiaotong University,Xi′an 710049,China; 2.School of Science,Chang′an University,X i′an 710064,China; 3.College of M athem atics and In form ation Sciences,Guangxi University,Nanning 530004,China)

To study the non linear singular perturbation system s,this paper develops T ikhonov theorem of singular perturbations on finite time interval under a new exponential stability criterion.At last,exam p les are given to our condition.

singular perturbations,exponential stability,T ikhonov theorem

O175

A

1008-5513(2012)06-0728-07

2012-07-07.

國(guó)家自然科學(xué)基金(60970149);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(CHD 2011JC009).

王凱明(1974-),博士生,副教授,研究方向：非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性.

2010 M SC:35B25