司學慧， 李小兵 ， 張東洋， 張 彥

(空軍工程大學導彈學院，陜西 三原 713800)

0 引言

戰(zhàn)術彈道導彈(TBM)在現(xiàn)代戰(zhàn)場中已成為重要的威懾力量和縱深打擊力量，對防空系統(tǒng)的威脅越來越突出。攔截TBM與攔截空氣動力目標具有明顯不同的特點，攔截彈不再具有速度和機動能力的優(yōu)勢［1］，這就對制導系統(tǒng)提出了挑戰(zhàn)?，F(xiàn)役的導彈防御系統(tǒng)，如愛國者-3，箭-2等，采用傳統(tǒng)的比例導引方式，在精確探測和預估的技術優(yōu)勢上，能夠對以純彈道方式再入而不進行任何機動的TBM實現(xiàn)有效攔截［2］。而隨著TBM性能的不斷提高，高速大機動目標的出現(xiàn)，采用傳統(tǒng)的導引方式對付機動再入的TBM，已不能取得令人滿意的效果，即不能實現(xiàn)直接碰撞［3-6］，因此新的導引方案的研究設計具有重要的意義。

彈道導彈突防的最優(yōu)機動策略具有“棒-棒”結構形式，即先以最大加速度向一個方向機動，然后突然轉向相反方向機動。但是在實際情況下，TBM難以獲得攔截彈的狀態(tài)信息，甚至對攔截彈的存在都一無所知，因此多采用螺旋機動的方式進行突防［1-2，6］。文獻［6］設計了一種基于零控脫靶量的最優(yōu)制導律，可以使脫靶量穩(wěn)定在零附近，具有很高的制導精度，但是該制導律需要的目標信息較多，抗干擾能力較差，對信息誤差比較敏感。因此，國外對螺旋機動目標的攔截多以該制導律為基礎，而研究不同的狀態(tài)估計器，以獲得精確的目標信息。而國內(nèi)的研究則以變結構制導律為主，變結構制導律具有對不確定目標機動和其他未建模動力學進行補償，并且有幾乎同比例制導律一樣應用簡單的特點，滿足攔截機動目標對導引律的要求。文獻［2］設計了一種基于零控脫靶量的變結構末制導律，能夠使零控脫靶量迅速趨于零，對再入螺旋機動目標的機動加速度不敏感，可以較小的機動獲得較高的導引精度，而且不易抖動，但是該制導律對變結構強度項的要求也十分嚴格。本文通過推導預測制導方程，以預測制導誤差為滑動模態(tài)，設計了一種變結構末制導律，最后仿真結果表明，設計的制導律對螺旋機動目標的魯棒性較強，具有一定的參考價值。

1 導彈與目標的相對運動模型

由于導彈攔截目標的末制導過程時間很短，導彈機動主要是改變速度的方向，大小改變很小，而且導彈的動態(tài)特性比制導回路的動態(tài)特性要快得多。為簡化問題，這里作以下假設:1)導彈和目標均可視為質點;2)導彈和目標上所施加的加速度矢量僅僅改變速度的方向而不改變速度的大小;3)可以忽略導彈的動態(tài)特性。

以縱向平面為例，慣性參考坐標系下的導彈目標非線性運動學關系如圖1所示。

圖1 導彈與目標相對運動關系Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

其運動方程組為

其中:下標m和T分別表示導彈和目標;R為導彈與目標的相對距離;q為目標的視線角;θm和θT分別為導彈和目標的彈道傾角;Vm和VT分別為導彈和目標的速度;am和aT分別為導彈和目標的加速度;amn和aTn分別為導彈和目標垂直于視線的加速度分量;δ和β分別為導彈和目標的速度方向與彈目視線的夾角。

式(1)中第四式兩邊對時間求導可得

因為 aTn=aTcos(θT-q)，amn=amcos(θm-q)，根據(jù)假設2)，式(2)可以簡化為

選取控制量u=amn干擾f=aTn，則式(3)變?yōu)?/p>

2 制導律設計

滑模變結構控制理論具有抗干擾能力強、對參數(shù)攝動不敏感的特性，因此被廣泛應用于制導律設計。

2.1 基于預測導引的制導方程［7-9］

預測導引的目的是使導彈在攻擊機動目標時能夠獲得直線彈道，或者機動到直線上飛行。目標加速度在垂直視線方向上的分量為aTn，則目標到與導彈相遇時，在垂直視線方向上飛行的距離為

tgo為剩余飛行時間，計算公式為

對導彈不再輸出制導指令，到命中目標時在垂直視線方向上飛行的距離為

令Rm=RT，則導彈可按直線彈道命中目標，且滿足

式(8)左右兩邊都除以tgo，并將式(1)中第四式代入可得

式(9)即為基于預測導引原理的制導方程，只要保證式(9)得以實現(xiàn)，就能使導彈以近似直線的彈道命中目標。但是，在實際的末制導過程中，制導方程通常是不等于零的，存在一定的誤差，設制導方程誤差為

2.2 變結構末制導律設計

在末制導段，目標往往以較大的加速度機動逃逸，為了保證導彈能夠以較平穩(wěn)的彈道飛向目標，具有較高的攔截精度，按照變結構控制的理論方法，選取制導方程的誤差作為滑動模態(tài)S

目的是使誤差η很快趨于零，S可以通過導彈產(chǎn)生的過載改變θm從而改變使之為零［7］，從而保證制導精度。

選取自適應滑模趨近律［10-11］為

其中，k和ε均為大于零的常數(shù)，且k為整數(shù)。其物理意義是，當R較大時，適當放慢趨近滑模的速率;而當R→0，使趨近速率迅速增加，確保視線角速率不發(fā)散，從而令導彈具有很高的攔截精度。對趨近律進行自適應調節(jié)可以有效地削弱繞滑模的抖動。

式(11)對時間求導得

將上式代入式(14)可得

整理可得

在實際應用中，無法得到aT和的精確值，因此得到容易實現(xiàn)的自適應變結構制導律形式為

由式(17)可以看出，變結構強度項ε的選取直接影響到制導律的性能，如果選的太小，則不能完全抑制目標機動干擾，脫靶量較大，若取值過大，則抖動相當嚴重，不利于導彈飛行控制。

下面用Lyapunov函數(shù)的方法討論制導系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。選擇Lyapunov函數(shù)為

則有

根據(jù) Lyapunov穩(wěn)定性定理，要使制導律收斂，Lyapunov函數(shù)的倒數(shù)必須小于零，即必須使＜0。顯然，當時，有Lyapunov函數(shù)收斂，證明制導回路是穩(wěn)定的。

同理，對側向平面也可以推導得到導彈的自適應變結構制導律為

其中:R1=Rcos qy，ε1為大于零的常數(shù)。

式(17)和式(20)中含有開關函數(shù)項，如果控制結構的切換具有理想的開關特性，則能在切換面上形成理想的滑動模態(tài)，但是在實際工程中，由于存在時間上的延遲和空間上的滯后等原因，使得滑動模態(tài)成抖振形式，在光滑的滑動面上疊加了抖振。為了消弱抖動，采用準滑動模態(tài)控制原理，用飽和函數(shù)sat(S)代替控制量中的符號函數(shù)sgn(S)，在邊界層外采用正常的滑?？刂?，在邊界層采用連續(xù)狀態(tài)反饋控制，旨在削弱或避免抖振的影響。具體形式為

其中，Δ稱為“邊界層”。如果邊界層的厚度選得足夠小，那么，制導系統(tǒng)能夠保持高魯棒性。

3 仿真研究

取文獻［1］中螺旋機動彈道為攔截目標，其彈道如圖2所示。

圖2 目標螺旋機動彈道Fig.2 The trajectory of spiraling ballistic missile

本部分通過數(shù)字仿真實驗來檢驗提出的制導律的性能，并在相同末制導初始條件下與比例導引律進行比較，考察該制導律控制下導彈攔截目標的性能。

仿真初始條件:在攔截彈與目標的初始相對距離為25 km，攔截彈的初始速度為1.83 km/s，目標初始速度為2 km/s，攔截彈的初始彈道傾角和彈道偏角為45°和-15°，彈目視線傾角和視線偏角分別為45°和-10°，目標的初始彈道傾角和彈道偏角分別為-35°和-15°，選擇參數(shù)k=2。仿真結果如圖3～圖7所示。

圖3 縱向視線角速度的變化曲線Fig.3 Angular velocity of LOS in longitudinal plane

圖4 側向視線角速度變化曲線Fig.4 Angular velocity of LOS in lateral plane

圖3和圖4分別表示兩種制導律下縱向和側向平面內(nèi)彈目視線角速率的變化情況。從圖中可以看出，采用本文設計的變結構末制導律視線角速率在整個末制導過程中比較平滑，且幅值較小趨近于零，并克服了比例導引在末段視線角速率發(fā)散的情況。

圖5 縱向過載變化曲線Fig.5 Acceleration in longitudinal plane

圖6 側向過載變化曲線Fig.6 Acceleration in lateral plane

圖5和圖6分別為兩種制導律下導彈縱向過載和側向過載的變化情況，可以看出本文提出的制導律在制導初期以較大的法向過載對攔截彈進行快速調整，然后導彈以較小的法向過載比較平穩(wěn)地飛向目標，縱向過載在制導末端產(chǎn)生陡變，但是幅值較比例導引律小得多。這樣比較符合攔截彈的實際飛行情況，因為攔截彈的飛行高度在十幾千米以上的高度，海拔越高空氣越稀薄，對于依靠空氣動力機動的攔截彈可用過載也就越小，當可用過載小于所需的加速度指令時就會造成較大的脫靶量。

圖7 導彈和目標的相對運動軌跡Fig.7 Missile-target engagement

圖7是在兩種制導律下在三維空間中攔截彈攔截目標的相對運動軌跡，可以看出在整個末制導階段，本文提出的變結構末制導律攔截彈的彈道較比例導引律平滑。最后從導彈攔截目標的脫靶量比較，采用本文設計的變結構末制導律導彈最終脫靶量為0.6179 m，采用比例導引律導彈的最終脫靶量為3.8619 m，因此本文設計的變結構末制導律的脫靶量小于比例導引律產(chǎn)生的脫靶量，制導精度較高。

4 結論

本文在導彈與目標相對運動的非線性模型基礎上，通過對預測制導方程進行分析，選擇預測制導誤差作為滑動模態(tài)，設計了能夠攔截螺旋機動彈道目標的變結構末制導律。仿真結果表明，本文提出的制導律推導簡便，對目標的螺旋機動具有較強的魯棒性，制導精度高，具有一定的參考價值。但是，研究過程中沒有考慮彈體動態(tài)特性等影響，下一步將進行深入研究。

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