華思亮， 尤 優(yōu)， 張 紅， 宋 晗

(1.中航航空電子有限公司，北京 100086;2.北京航空航天大學(xué)，北京 100191)

0 引言

和單架無人機相比，無人機編隊在任務(wù)能力、靈活性、容錯性等方面具有明顯優(yōu)勢，在區(qū)域搜索、環(huán)境監(jiān)測、協(xié)同作戰(zhàn)等民用和軍事領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［1－2］。

按照隊形描述，無人機編隊可分為固定編隊和群集編隊，固定編隊中無人機之間的相對位置不變，形成固定隊形;群集編隊沒有固定隊形，每架無人機只與鄰機保持適當(dāng)距離。根據(jù)是否存在氣動耦合，固定編隊進(jìn)一步分為緊密編隊和松散編隊。緊密編隊控制對傳感器精度的要求非?？量桃灾码y以滿足，因此在實際飛行中常結(jié)合不單純依靠理論模型的極值搜索方法，通過實時測量燃料流和性能函數(shù)梯度的變化控制僚機位于最優(yōu)氣動位置［3］。松散編隊控制在理論研究和實際飛行中都取得了較多進(jìn)展，常見的松散編隊控制方法包括PID控制、非線性控制、智能控制、滾動時域控制［4］等。位置關(guān)系描述是實現(xiàn)編隊控制的前提，包括長機－僚機、廣義坐標(biāo)［5］、虛擬結(jié)構(gòu)等。位置關(guān)系描述與控制方法的組合形成了不同的編隊控制研究重點，本文研究應(yīng)用范圍較廣的基于長機－僚機描述的松散編隊控制。

滾動時域控制(Receding Horizon Control，RHC)是求解受約束優(yōu)化問題的有效方法［4］，在編隊控制問題中應(yīng)用RHC方法具有許多優(yōu)點，如代價函數(shù)可以綜合多種控制目標(biāo)，滾動時域策略能夠適應(yīng)條件變化，具有處理控制輸入約束和系統(tǒng)狀態(tài)約束能力等。

本文采用二次規(guī)劃模型對編隊控制問題進(jìn)行描述，并基于此分別設(shè)計了標(biāo)準(zhǔn)RHC和雙模RHC編隊控制器，分析了設(shè)計中的關(guān)鍵問題，最后進(jìn)行了仿真實驗和對比分析。

1 基于RHC的編隊控制問題描述

1.1RHC 原理

RHC將控制問題描述為有限時域上有約束的最優(yōu)化問題，具有在線處理控制約束和輸出約束的優(yōu)點。對于某個采樣時刻，在系統(tǒng)狀態(tài)約束和控制輸入約束下對代價函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)求解，得到預(yù)測時域內(nèi)的最優(yōu)控制輸入序列;僅將其中第一項作用于系統(tǒng)，并將其余各項丟棄;系統(tǒng)狀態(tài)在該控制輸入的作用下變化;在采樣時刻，根據(jù)新的系統(tǒng)狀態(tài)重復(fù)以上過程，可得到該時刻的控制輸入;如此反復(fù)進(jìn)行即實現(xiàn)了系統(tǒng)的滾動時域控制。RHC的一般結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 RHC的一般結(jié)構(gòu)Fig.1 General architecture of RHC

RHC中可采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法對編隊控制問題進(jìn)行建模。數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的選取決定了問題描述精確度和在線求解的實時性，這二者往往是矛盾的，需要根據(jù)需求進(jìn)行權(quán)衡。非線性規(guī)劃具有最好的問題描述能力，但求解困難且實時性難以保證。二次規(guī)劃具有較好的問題描述能力，且當(dāng)代價函數(shù)的二次項參數(shù)矩陣是正半定陣時，二次規(guī)劃是凸優(yōu)化問題，具有很好的求解可行性和快速性。下面基于二次規(guī)劃模型在有限時域上對編隊控制問題進(jìn)行描述。

1.2 無人機預(yù)測模型

在基于RHC的編隊控制研究和飛行試驗中，為了保證在線求解的實時性，常采用反饋線性化后的無人機模型或質(zhì)點模型，如 Honeywell公司 Organic Air Vehicle飛行器［4］以及 Boeing 公司 F-15A、T-33［6］的編隊控制。本文采用文獻(xiàn)［4］中的線性模型對無人機進(jìn)行建模。

假設(shè)各無人機飛行高度相同，無人機控制輸入有最大限幅，同時無人機受最大飛行速度約束。無人機模型為

迭代上式可得到系統(tǒng)狀態(tài)的預(yù)測值為

式中，xk+i|k表示在k時刻對無人機k+i時刻狀態(tài)的預(yù)測，顯然當(dāng)i=0時，xk|k=xk。為了描述方便，將無人機在k時刻對k+1，…，k+N時刻的狀態(tài)預(yù)測和相應(yīng)控制輸入寫成向量形式:=(xk+1|k，xk+2|k，…，xk+N|k)T，=(uk|k，uk+1|k，…，uk+N－1|k)T從而得到僅由當(dāng)前狀態(tài)xk和控制輸入序列表達(dá)的形式

其中:Hx=(A，A2，…，AN)T;

1.3 代價函數(shù)設(shè)計

編隊控制的控制目標(biāo)是無人機間保持固定位置關(guān)系，同時所需的控制輸入較小，因此代價函數(shù)中應(yīng)包含系統(tǒng)狀態(tài)代價項和控制輸入代價項。RHC需要在當(dāng)前時刻后的固定時域內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化解算，需在該時域內(nèi)設(shè)計代價函數(shù)。選取2范數(shù)作為代價函數(shù)的基本項，設(shè)固定時域長度為N，則僚機RHC控制器的代價函數(shù)為

式中:xref，k+i+1為預(yù)期系統(tǒng)狀態(tài);uref，k+i為預(yù)期控制輸入;uk+i|k表示在k時刻對無人機k+i時刻控制輸入的預(yù)測。加權(quán)陣P，Q為正定矩陣，即 P=PT＞0，Q=QT＞0。為了得到較小的控制輸入，取預(yù)期控制輸入為零。將式(3)代入式(4)，可得

由上式可見，代價函數(shù)JQP是系統(tǒng)初始狀態(tài)xk和控制輸入序列的函數(shù)，其中是決策變量。對于每個確定的系統(tǒng)初始狀態(tài)xk，通過求解有約束的二次規(guī)劃問題可以得到一組最優(yōu)的控制輸入序列。

1.4 約束條件設(shè)計

編隊控制問題的約束條件是無人機的最大速度和最大控制輸入限幅，即

式中:Cx∈Rnv×n;nv為需要約束的分量數(shù)，Cx的元素僅包含0和1，Cx使轉(zhuǎn)化為中速度分量組合成的向量。

二次規(guī)劃只能處理僅包含決策變量的約束，因此式(7)需轉(zhuǎn)化為決策變量表達(dá)的形式。將式(3)代入式(7)，得到

從而得到狀態(tài)約束的決策變量表達(dá)。

1.5 編隊控制問題描述

由式(6)～式(9)，編隊控制的有限時域二次規(guī)劃模型為

優(yōu)化問題(10)中，ON(xk，)表示優(yōu)化問題 ON是xk，的函數(shù)，是時刻 k+i(i=0，1，…，N －1)時無人機控制輸入組成的序列，也是優(yōu)化問題的決策變量。xk是系統(tǒng)初始狀態(tài)，其值為xk0。對于某個確定的系統(tǒng)初始狀態(tài)xk0，通過求解優(yōu)化問題(10)，可以得到性能指標(biāo)的最小值，以及對應(yīng)的最優(yōu)決策變量，即有限時域內(nèi)系統(tǒng)的最優(yōu)控制輸入序列。

1.6 RHC編隊控制器

RHC編隊控制器的基本過程是:

1)在采樣時刻k，僚機狀態(tài)為x0，求解優(yōu)化問題(10)，得到未來N步的最優(yōu)控制輸入序列;

2)將最優(yōu)控制輸入序列的第1項作用于僚機，其余N－1項舍棄;

3)在控制輸入作用下，僚機在采樣時刻k+1到達(dá)新狀態(tài)x1;

4)將當(dāng)前時刻記為k，僚機狀態(tài)記為x0，返回步驟1)。

2 雙模RHC編隊控制器

2.1 設(shè)計思路

RHC中優(yōu)化問題存在可行解并不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，例如預(yù)測時域過短時可能出現(xiàn)振蕩或發(fā)散的情況。雙模RHC是一種保證穩(wěn)定性的方案［7］，其基本思路是引入終端不變集 Ωf和對應(yīng)的控制器 uk=h(xk)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在Ωf外時采用標(biāo)準(zhǔn)RHC算法，并限制預(yù)測狀態(tài)在時域終端進(jìn)入Ωf;當(dāng)實際狀態(tài)進(jìn)入Ωf時切換到控制器uk=h(xk)，由局部控制器保證Ωf內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定。Limon證明雙模RHC可以用一個預(yù)測時域更長的標(biāo)準(zhǔn)RHC等價［8］。

以上方案應(yīng)用于編隊控制問題存在一些不足。1)預(yù)測失配問題。長機實際狀態(tài)和僚機對其預(yù)測狀態(tài)間的偏差隨著預(yù)測時域增加而增大，文獻(xiàn)［4］給出了預(yù)測時域過長時編隊不穩(wěn)定的證明。2)雙模RHC設(shè)計方案保守，可行解的存在需要較長的預(yù)測時域保證，此時采用標(biāo)準(zhǔn)RHC往往也閉環(huán)穩(wěn)定。

盡管存在以上問題，但雙模RHC編隊控制器對標(biāo)準(zhǔn)RHC的改進(jìn)和參數(shù)選取具有指導(dǎo)意義，如預(yù)測時域選取、終端加權(quán)設(shè)計等。

考慮長機定常飛行時僚機雙模RHC控制器的設(shè)計。首先確定局部控制器和終端代價函數(shù)，然后求解此控制器對應(yīng)的不變集和終端代價。雙?？刂破骶哂胁煌脑O(shè)計方法，具體體現(xiàn)在局部控制器、終端不變集和終端代價函數(shù)的選擇以及不同的計算方法。本文以最優(yōu)控制器作為局部控制器，選取橢球描述的終端不變集以及二次加權(quán)形式的終端代價函數(shù)構(gòu)造控制器。

2.2 局部控制器與終端不變集設(shè)計

局部控制器為

選取橢球集作為終端不變集

若存在一個矩陣W=WT∈Rn×n滿足矩陣不等式

則橢球Ep={x∈Rn:xTWx≤1}是系統(tǒng)(11)關(guān)于控制器(12)的不變集［9］，即滿足不等式Wxk+1≤Wxk。

針對確定的局部控制器，若存在一個不變集，則該不變集的子集顯然也是該局部控制器的不變集，因此不變集的確定對控制器設(shè)計的保守性有較大影響。受約束線性時不變系統(tǒng)的最大不變集是一個多面體集，該集合計算和表示比較復(fù)雜［10］。

通過求解 MAXDET 問題(14)［11］，可得到橢球不變集xTWx≤1，該不變集是對最大不變集的一種近似。

其中:Y=W－1;Li是L的第i行。

2.3 終端加權(quán)設(shè)計

選擇終端加權(quán)為二次代價形式

其中:P=PT＞0，且滿足線性矩陣不等式［11］

式中:Q和R是前N－1項狀態(tài)和輸入的加權(quán)，選取合適的Q和R，由上式可得到終端加權(quán)P。

3 仿真分析

以Honeywell公司的 Organic Air Vehicle(OAV)飛行器編隊為仿真研究對象，基于內(nèi)環(huán)反饋線性化后的線性O(shè)AV模型，在外環(huán)進(jìn)行編隊控制。OAV的動力學(xué)特性及坐標(biāo)系建立詳見文獻(xiàn)［4］。OAV數(shù)學(xué)模型為［4］

式中:xk=(xk，x，xk，y，xk，vx，xk，vy)T的分量為無人機 x 和 y方向的位置和速度;uk=(uk，x，uk，y)T的分量為 x 和 y方向的控制輸入;B=diag(Ts，Ts)，Ts為采樣時間。只給出x方向的仿真結(jié)果和分析，y方向的情況與之類似。約束優(yōu)化問題求解采用Matlab優(yōu)化工具箱，MAXDET問題求解采用Sedumi軟件。

3.1 雙模RHC編隊控制

最優(yōu)控制器的狀態(tài)和輸入加權(quán)選取為單位陣，局部控制器為u= －(0.8410 1.6321)x，局部控制器對應(yīng)的橢球不變集為

令狀態(tài)加權(quán)Q=diag(1，1)，控制加權(quán)R=1，終端代價函數(shù)為

雙模RHC可以很好地控制僚機收斂于預(yù)期軌跡，同時有效地約束系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入。將預(yù)測時域減小到9時，盡管仍能得到優(yōu)化問題的可行解，但終端預(yù)測狀態(tài)未進(jìn)入不變集，不滿足雙模RHC的條件;預(yù)測時域等于或大于10時，終端狀態(tài)可以進(jìn)入不變集。然而在預(yù)測時域為9時，采用標(biāo)準(zhǔn)RHC控制器仍可得到與圖2同樣的控制效果，這體現(xiàn)了雙模RHC控制器設(shè)計的保守性。

圖2 基于雙模RHC的編隊控制(N=10)Fig.2 Formation control based on dualmode RHC(N=10)

優(yōu)化問題求解所需時間平均為0.032 s，由于Matlab是解釋性語言，若使用編譯后的優(yōu)化求解代碼，快速性還將進(jìn)一步提高。

3.2 標(biāo)準(zhǔn)RHC編隊控制:預(yù)測時域的影響

RHC中決策變量數(shù)與預(yù)測時域長度成正比，較小的預(yù)測時域會降低優(yōu)化求解的復(fù)雜度，提高求解速度，然而預(yù)測時域過小會使控制器性能變差，甚至引起閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。將長機運動擴展到機動飛行的情況。參數(shù)選取情況為:=2，=0.6，xk0=(0，0)T，Q=diag(1，0.2)，R=0.5，N=5，Ts=0.2。僚機 x 方向的動態(tài)響應(yīng)如圖3所示。

圖3 基于標(biāo)準(zhǔn)RHC的編隊控制(N=5)Fig.3 Formation control based on standard RHC(N=5)

標(biāo)準(zhǔn)RHC控制器有效地限制了系統(tǒng)控制輸入，控制在達(dá)到限幅時受到約束，但僚機位置始終在預(yù)期位置附近震蕩，無法跟蹤長機。由于預(yù)測步長較小，優(yōu)化問題僅考慮較短時域內(nèi)的情況，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。將預(yù)測時域增加到10，其他參數(shù)不變，僚機x方向的動態(tài)響應(yīng)如圖4所示。僚機的位置和速度均很好地跟蹤了長機。由于狀態(tài)預(yù)測的作用，控制量會提前反應(yīng)以適應(yīng)控制目標(biāo)的未來變化。

圖4 基于標(biāo)準(zhǔn)RHC的編隊控制(N=10)Fig.4 Formation control based on standard RHC (N=10)

3.3 標(biāo)準(zhǔn)RHC編隊控制:終端加權(quán)的影響

終端代價函數(shù)的作用是使代價函數(shù)逼近無限時域時的情況，因此較大的終端加權(quán)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在第3.2節(jié)中預(yù)測時域N=5時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，將終端權(quán)值 Qt=diag(1，0.2)增大為 Qt=diag(60，12)，其他參數(shù)不變，可得到穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，如圖5所示。

圖5 基于標(biāo)準(zhǔn)RHC的編隊控制(終端加權(quán)影響)Fig.5 Formation control based on standard RHC(with terminal penalty)

僚機在預(yù)期位置附近短暫震蕩后收斂到預(yù)期位置，并且能夠跟蹤長機機動，但軌跡收斂的時間長于第3.2節(jié)中N=10的情況。

4 結(jié)束語

本文基于二次規(guī)劃模型設(shè)計了編隊控制的RHC控制器，該控制器具有良好的控制效果、約束處理能力和快速性。針對滾動時域控制穩(wěn)定性問題，結(jié)合不變集理論設(shè)計了雙模RHC控制器，該控制器對標(biāo)準(zhǔn)RHC控制器的預(yù)測時域、終端加權(quán)等參數(shù)設(shè)計具有指導(dǎo)意義。通過仿真實驗驗證了RHC編隊控制器設(shè)計的有效性，并對比分析了不同參數(shù)選取對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響。下一步將重點在RHC編隊控制器的動態(tài)環(huán)境適應(yīng)性方面開展研究。

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