石 煒，宋政立，王建國(guó)，張文興

（內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，包頭 014010）

0 引言

偏差流建模理論主要有：基于幾何運(yùn)動(dòng)學(xué)偏差分析，如極值法，蒙特卡洛法等，該類(lèi)模型難以應(yīng)用到復(fù)雜的零件裝配過(guò)程；基于有限元的偏差分析，如Liu提出的一維偏置梁?jiǎn)卧Ｐ秃土W(xué)偏差仿真模型[1]、GM公司Hsieh的偏差優(yōu)化模型[2]等，該類(lèi)模型主要著眼于兩零部件的偏差協(xié)調(diào)分析，不能從裝配全過(guò)程角度描述偏差傳遞，難以體現(xiàn)偏差的傳遞和過(guò)程分配中的錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系；基于統(tǒng)計(jì)模型的偏差分析，如加拿大Wateloo大學(xué)的Lawless和Mackay等[3]的一階自回歸模型，該類(lèi)模型是事后處理，依賴(lài)大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練學(xué)習(xí)；基于狀態(tài)方程的偏差分析，Jin和Shi[4]提出的狀態(tài)空間模型，該模型是基于機(jī)理的建模，能夠反映偏差在多工位間以流動(dòng)的形式積累、耦合最終形成產(chǎn)品的過(guò)程，能夠應(yīng)用到復(fù)雜的多工位裝配過(guò)程。

應(yīng)用偏差流狀態(tài)空間模型可以對(duì)多工位裝配過(guò)程仿真，預(yù)測(cè)偏差。狀態(tài)空間模型的可觀性分析可以應(yīng)用于偏差源診斷和測(cè)點(diǎn)布置等研究[5]；狀態(tài)空間模型的可控性分析可以應(yīng)用于夾具優(yōu)化設(shè)計(jì)和公差綜合等研究[5]。在偏差流狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上，提出裝配順序矩陣，實(shí)現(xiàn)對(duì)過(guò)程信息的數(shù)學(xué)矩陣化處理，建立多工位裝配參數(shù)化狀態(tài)空間模型。以裝配順序矩陣和狀態(tài)空間模型為工具，優(yōu)化裝配路線(xiàn)，降低產(chǎn)品尺寸偏差，提高產(chǎn)品質(zhì)量。

1 多工位裝配偏差流狀態(tài)空間模型

多工位裝配過(guò)程包含大量的過(guò)程工藝信息，它們對(duì)最終產(chǎn)品質(zhì)量影響巨大。提煉過(guò)程工藝信息，建立基于偏差流的狀態(tài)空間模型，可以對(duì)多工位裝配過(guò)程進(jìn)行仿真并預(yù)測(cè)產(chǎn)品尺寸偏差。

多工位裝配過(guò)程是指產(chǎn)品由多個(gè)零件經(jīng)過(guò)多個(gè)工位裝配而成，如圖1所示的裝配過(guò)程共有N個(gè)工位，在工位k，前k-1個(gè)工位上形成的零件稱(chēng)為總成件，新零件與總成件裝配在一起形成工位k+1的總成件。依此類(lèi)推最終形成產(chǎn)品。在工位k，零件偏差不但與本工位有關(guān)，而且與之前k-1個(gè)工位累積偏差有關(guān)。偏差在工位間累積、耦合，最終形成產(chǎn)品的偏差狀態(tài)。偏差主要來(lái)源于4個(gè)方面：1）當(dāng)前工位的夾具定位偏差，如圖1中Uk；2）前序工位的累積偏差，如圖1中Xk-1；3）更換夾具引起的重定位誤差；4）裝配中的噪聲干擾，如圖 1 中 Wk。

圖1 多工位裝配過(guò)程流程圖

多工位裝配過(guò)程相當(dāng)于線(xiàn)性時(shí)變多輸入多輸出的離散系統(tǒng)，其狀態(tài)空間模型[6,7]為：

式（1）是狀態(tài)方程，式（2）是輸出方程，其中k是工位序號(hào)，A是n×n矩陣，n為狀態(tài)變量個(gè)數(shù)，稱(chēng)為系統(tǒng)矩陣，反映前序工位累積偏差和重定位偏差對(duì)本工位偏差狀態(tài)的影響；B是n×m矩陣，m為輸入變量個(gè)數(shù)，稱(chēng)為輸入矩陣，反映當(dāng)前工位夾具定位偏差對(duì)本工位偏差狀態(tài)的影響；C是r×n矩陣，r為輸出變量個(gè)數(shù)，稱(chēng)為輸出矩陣，反映零件上測(cè)點(diǎn)和參考點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系。當(dāng)前工位不進(jìn)行測(cè)量時(shí)，C(k)為零矩陣；W,V為裝配和測(cè)量過(guò)程中的噪聲干擾。

將狀態(tài)空間模型式（1），式（2）合并，忽略零件裝配前的偏差，可得：

式（3）中Y(N)矩陣形式為：

式（4）可以簡(jiǎn)寫(xiě)成：

式（5）中U是輸入變量，Γ是模型矩陣，γ為裝配和測(cè)量時(shí)的噪聲干擾總和。對(duì)式（5）等號(hào)兩邊取協(xié)方差計(jì)算，得到式（6）。式（5）、式（6）即為多工位裝配過(guò)程狀態(tài)空間模型矩陣表達(dá)和方差形式。

2 裝配順序矩陣

多工位裝配過(guò)程包含大量的工藝信息，在建模之前需要將這些工藝信息（如零件數(shù)、工位數(shù)、裝配順序、定位銷(xiāo)布局、被重定位的零件等）提煉出來(lái)；在設(shè)計(jì)裝配路線(xiàn)階段，需要對(duì)不同的裝配路線(xiàn)進(jìn)行仿真，這就意味著大量工夾具的更換，即工藝信息的改變。裝配順序矩陣可以滿(mǎn)足頻繁改變工藝參數(shù)的需求，快速地提煉過(guò)程工藝信息。

裝配順序矩陣，即order矩陣形式如下：

order矩陣有N行，代表裝配過(guò)程共有N個(gè)工位，每行元素代表該工位定位銷(xiāo)布局。每行前兩個(gè)元素代表總成件上定位銷(xiāo)布局，決定哪些零件被重定位。后面的元素代表待裝配零件的定位銷(xiāo)布局，決定零件裝配順序。沒(méi)有新零件裝配到總成件時(shí)用零元素代替，在編程建模時(shí)，使用continue語(yǔ)句結(jié)束當(dāng)前工位的裝配操作。零件裝配順序矩陣可以確定零件總數(shù)和當(dāng)前工位總成件的構(gòu)成。

如圖2所示是典型的多工位裝配過(guò)程案例，其過(guò)程工藝參數(shù)可以由其裝配順序矩陣，即式（8）確定。式（8）中order矩陣有三行，確定裝配過(guò)程有3個(gè)工位。第一行元素有4個(gè)非零元素，說(shuō)明在工位1兩個(gè)零件裝配形成總成件。第二行有6個(gè)非零元素，說(shuō)明在工位2總成件與兩個(gè)新零件完成裝配。第三行只有前兩個(gè)元素非零，說(shuō)明只有總成件被定位，工位3是測(cè)量工位。由每行奇數(shù)列的非零元素[13;157;1]，可知零件裝配順序是零件1→零件2→零件3，4。由每行的前兩個(gè)元素[12;14;18]，可知在工位2，零件1，2被重定位，在工位3零件1，4被重定位。

圖2 典型的多工位裝配過(guò)程案例

此外在設(shè)計(jì)裝配路線(xiàn)階段，改變order矩陣的元素就能達(dá)到改變裝配路線(xiàn)的目的。完成圖2產(chǎn)品的裝配，裝配順序矩陣還可以是：

圖3 優(yōu)化裝配路線(xiàn)流程圖

式（9）代表另外三條裝配路線(xiàn)，即路線(xiàn)1：零件2→零件3→零件4→零件1；路線(xiàn)2：零件2→零件3→零件1→零件4；路線(xiàn)3：零件2→零件3，4→零件1。

裝配順序矩陣能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)多工位裝配過(guò)程工藝信息的數(shù)學(xué)矩陣化處理，工藝信息的改變只要通過(guò)改變裝配順序矩陣的元素就能夠?qū)崿F(xiàn)，調(diào)用order矩陣，利用循環(huán)語(yǔ)句可以快速構(gòu)建狀態(tài)空間模型，對(duì)多條裝配路線(xiàn)仿真，預(yù)測(cè)偏差，完成裝配路線(xiàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。

利用狀態(tài)空間模型和裝配順序矩陣優(yōu)化具體產(chǎn)品的裝配路線(xiàn)，具體過(guò)程如圖3所示，優(yōu)化的裝配順序能夠減少輸入偏差（KCC偏差）對(duì)輸出偏差（KPC偏差）的影響，使得裝配系統(tǒng)更穩(wěn)健，產(chǎn)品尺寸偏差越小，質(zhì)量越高。

3 實(shí)驗(yàn)分析

以某轎車(chē)車(chē)身側(cè)圍裝配過(guò)程為例構(gòu)建偏差流狀態(tài)空間模型，預(yù)測(cè)零件尺寸偏差，實(shí)現(xiàn)工藝路線(xiàn)的最優(yōu)選擇。側(cè)圍簡(jiǎn)圖如圖4所示，裝配過(guò)程包括4個(gè)零件，即零件1—A柱、零件2—B柱、零件3—側(cè)頂、零件4—側(cè)板。這些零件為結(jié)構(gòu)件，具有較大的剛度，定位采用3-2-1定位方式[8]（一面兩銷(xiāo)定位和夾緊），零件通過(guò)焊接的方式連接到一起，滿(mǎn)足建模假設(shè)條件。按照?qǐng)D3所示流程完成該產(chǎn)品的裝配路線(xiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖4 產(chǎn)品最終裝配效果圖

表1 定位銷(xiāo)P的坐標(biāo)（單位：mm）

表2 測(cè)點(diǎn)S的坐標(biāo)（單位：mm）

各零件上定位銷(xiāo)P（奇數(shù)點(diǎn)為四向定位銷(xiāo)，偶數(shù)點(diǎn)位兩向定位銷(xiāo)）和測(cè)點(diǎn)S坐標(biāo)如表1，2所示。在設(shè)計(jì)裝配路線(xiàn)階段，擬定4套裝配路線(xiàn)，即：

路線(xiàn)1：零件1→零件2→零件3→零件4；

路線(xiàn)2：零件2→零件3→零件4→零件1；

路線(xiàn)3：零件2→零件3→零件1→零件4；

路線(xiàn)4：零件3→零件4→零件2→零件1。

上述四條工藝路線(xiàn)對(duì)應(yīng)的裝配順序矩陣分別是：

對(duì)于具體裝配路線(xiàn)各工位定位銷(xiāo)的選擇可以有很多種，本文采用最大距離原則選取定位銷(xiāo)定位，即選擇幾何距離最大的定位銷(xiāo)組定位。

根據(jù)已知條件和order矩陣，利用Matlab軟件編程構(gòu)建偏差流狀態(tài)空間模型，由于篇幅限制，不再給出各裝配路線(xiàn)的系統(tǒng)矩陣A、輸入矩陣B、觀測(cè)矩陣C的具體形式，只給出第一條裝配路線(xiàn)Γ矩陣的具體形式，如下：

假設(shè)所有定位銷(xiāo)的定位偏差為±1mm，根據(jù)±3δ原則，定位偏差U∈N（0，1/6）。在Matlab中生成服從N（0，1/6）分布的隨機(jī)數(shù)組作為狀態(tài)空間模型的輸入向量，忽略噪聲項(xiàng)，應(yīng)用式（5）進(jìn)行100次仿真，最終預(yù)測(cè)各測(cè)點(diǎn)尺寸偏差如表3所示。

表3 測(cè)點(diǎn)尺寸偏差預(yù)測(cè)值（單位：mm）

由表3可知，四條裝配線(xiàn)路在測(cè)點(diǎn)1的預(yù)測(cè)中差異微小，不能單從測(cè)點(diǎn)1出發(fā)判斷裝配路線(xiàn)的優(yōu)劣。路線(xiàn)1與路線(xiàn)2相比，在測(cè)點(diǎn)3和4處，尺寸偏差較小且與路線(xiàn)2差距明顯，路線(xiàn)1優(yōu)于路線(xiàn)2；路線(xiàn)2與路線(xiàn)3相比，在測(cè)點(diǎn)3和4處，尺寸偏差略大，但在測(cè)點(diǎn)2處，尺寸偏差顯著的小于路線(xiàn)3，可知路線(xiàn)2優(yōu)于路線(xiàn)3；路線(xiàn)4與路線(xiàn)2相比，在測(cè)點(diǎn)3處尺寸偏差顯著小于路線(xiàn)2，但在測(cè)點(diǎn)2上尺寸偏差顯著大于路線(xiàn)2，可知路線(xiàn)2和路線(xiàn)4優(yōu)劣性相當(dāng)，路線(xiàn)4略?xún)?yōu)于路線(xiàn)2。根據(jù)優(yōu)劣性排序，路線(xiàn)1＞路線(xiàn)4＞=路線(xiàn)2＞路線(xiàn)3。選擇路線(xiàn)1作為產(chǎn)品的裝配方案。

4 結(jié)論

提出基于偏差流狀態(tài)空間模型的多工位裝配順序矩陣，即order矩陣，實(shí)現(xiàn)對(duì)具體裝配工藝路線(xiàn)和過(guò)程工藝信息的數(shù)學(xué)矩陣化處理。在order矩陣的基礎(chǔ)上，利用循環(huán)語(yǔ)句在Matlab中建立參數(shù)化偏差流狀態(tài)空間模型，能夠?qū)Χ喙の谎b配過(guò)程仿真，預(yù)測(cè)產(chǎn)品尺寸偏差，實(shí)現(xiàn)裝配路線(xiàn)最優(yōu)設(shè)計(jì)。該模型為后續(xù)的偏差源診斷、夾具優(yōu)化、測(cè)點(diǎn)優(yōu)化等工作提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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