王曉剛，謝運祥，王 清，張 杰

（1.廣州大學機械與電氣工程學院，廣州510006；2.華南理工大學電力學院，廣州510641）

并聯(lián)型有源電力濾波器APF（active power filter）是補償電流型諧波、無功功率、提高電能質量的有效手段［1］。APF的控制系統(tǒng)可以在連續(xù)域（s域）和離散域（z域）下進行設計。其中最為經典的是PI控制，其思路是首先建立APF在同步旋轉坐標系下的模型并進行解耦，然后對d軸系統(tǒng)和q軸系統(tǒng)分別應用PI控制［2，3］。但單一的PI控制難以同時獲得理想的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能，對此，文獻［4～8］提出了多種改進策略或PI參數優(yōu)化設計方法，但大多數方法均在s域設計或沒有考慮數字化控制的影響。實際上，s域下設計的控制器用數字方法直接實現時系統(tǒng)的穩(wěn)定域要縮小，而且由于計算和采樣等原因造成的延時，數字控制多采用差一拍控制，使穩(wěn)定范圍進一步縮小。重復控制是一種新型的數字控制方法，它基于內模原理，能有效消除靜差，重復控制器可單獨使用，也可與其它方法一起構成復合控制系統(tǒng)，逆變電源是重復控制的典型應用［9～11］，APF是它的最新應用場合［12～15］。

本文建立了APF的離散模型，對差一拍控制對基于數字PI控制APF的影響做出分析，指出延時會使比例系數和積分系數的選取范圍嚴重縮小，從而影響著控制的性能。在此基礎上，提出將比例控制與重復控制相結合的APF電流差一拍控制策略，其中比例控制保證系統(tǒng)具有一定的快速性，重復控制嵌入在電流誤差和比例控制之間，對電流跟蹤誤差進行校正，代替了PI控制中的積分環(huán)節(jié)，有效地補償了延時的影響。為驗證所提控制策略的正確性，進行仿真研究，結果表明補償后的電網電流為十分理想的正弦波，暫態(tài)性能較理想，有效補償了差一拍控制的影響。

1 有源電力濾波器系統(tǒng)模型

并聯(lián)型APF主電路如圖1所示。圖中，us為公共連接點PCC（point of public connection）處的電壓，L為交流側接口電感，R是電感的電阻，Cdc是直流側電容，udc是直流側電壓。ic為APF輸出的補償電流，is網側電流，iL為負載側電流，uc為逆變器輸出電壓。

圖1 有源電力濾波器主電路Fig.1 Main circuit of the active power filter

APF交流側部分在同步選擇坐標系下的模型為

對式（1）進行離散化處理，得

其中Δed（k）＝ucd（k）－usd（k），Δeq（k）＝ucq（k）－usq（k）。忽略零階保持器的影響，式（2）中的矩陣元素為

其中Ts是采樣周期，也是開關周期。從式（2）中容易看出，系統(tǒng)在d軸和q軸間存在耦合，為了解耦，定義ud和uq為

則式（2）可以寫為

上式實現了系統(tǒng)的解耦，可以對d軸和q軸系統(tǒng)進行獨立控制。

2 數字PI控制及其受差一拍控制的影響

若采用數字PI控制，則控制系統(tǒng)的結構圖如圖2所示，其中、為d軸和q軸電流指令值，icd、icq為d軸和q軸電流實測值，kp、ki為比例系數和積分系數，ud和uq為解耦部分的輸出，usd和usq為PCC電壓，ucd和ucq為控制器輸出的控制量。

圖2 APF的PI解耦控制Fig.2 PI decoupling control for the APF

以d軸為例，解耦部分輸出的ud（k）為

其中kp、ki分別為比例系數和積分系數。定義eid為PI控制器積分項的輸出，即：

進一步變?yōu)椋?/p>

將eid作為一個新的狀態(tài)變量，與icd構成的d軸增廣狀態(tài)空間方程為：

其中

則矩陣G決定了APF的d軸系統(tǒng)的特征方程：

其中a1＝kp＋ki－φ1－1，a0＝φ1－kp。根據Routh判據解得kp和ki需滿足的條件為

設L＝5mH，R＝0.5Ω，采樣周期Ts＝100 μs，計算得φ1＝0.99，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定條件為2kp＋ki＜3.98。以kp為橫坐標、ki為縱坐標，則系統(tǒng)穩(wěn)定范圍位于圖3所示的直線以下。

圖3 離散PI控制kp與ki的取值范圍Fig.3 Range of kpand kiin discrete PI control

為了避免計算和采樣等原因造成的延時使PWM脈沖輸出寬度減小，常采用差一拍控制，其原理是將k周期計算出的控制量在k＋1周期到來時輸出，相當于在控制系統(tǒng)中增加了單位延遲環(huán)節(jié)z－1。

設新狀態(tài)變量xp（k）＝icd（k－1），xi（k）＝eid（k－1），則差一拍控制的APFd軸PI控制可用如下離散增廣狀態(tài)方程描述：

其中

矩陣Gd決定了系統(tǒng)的d軸系統(tǒng)特征方程

其中a2＝－φ1－1，a1＝φ1＋kp＋ki，a0＝－kp。根據Routh判據解得kp和ki需滿足的條件為

將前面的參數代入式（13）得到系統(tǒng)穩(wěn)定范圍位于圖4所示的曲線以左。

比較圖3和圖4可知，差一拍控制使kp和ki的取值范圍大大減小，使PI控制的性能大為降低。

圖4 離散延時一周期PI控制kp與ki的取值范圍Fig.4 Range of kpand kiin discrete PI control with one period delay

3 比例控制與重復控制結合的APF延時補償

由于差一拍控制時僅通過調節(jié)PI參數已經難以使APF獲得理想的補償能力，穩(wěn)態(tài)時將有較大的誤差殘留，為此引入重復控制。重復控制基于內模原理，可單獨使用，也可與其它控制構成復合控制系統(tǒng)。重復控制與PI控制構成的APF電流控制器（d軸系統(tǒng)，q軸與之相同）如圖5所示。其中P（z）為原差一拍PI控制器，虛線方框中為重復控制器，包括濾波器Q（z）、周期延時環(huán)節(jié)z－N和補償器C（z），其中C（z）是設計的難點。

圖5 重復控制與PI控制構成的復合控制器Fig.5 Compound controller consists of repetitive control and PI control

P（z）的表達式為

由式（14），APF差一拍PI控制系統(tǒng)P（z）在kp＝0.5且ki分別等于0、0.05、0.1、0.15、0.2時的頻率特性如圖6所示?？梢?，P（z）在約7200rad／s的中高頻附近均出現了諧振峰值，且ki＝0時諧振峰值最小，ki越大諧振峰值也越大，容易引發(fā)諧振，威脅著系統(tǒng)的穩(wěn)定性；由相頻特性可見，頻率小于諧振峰值頻率時ki越大相位滯后越小，而頻率大于諧振峰值頻率時正好相反，但總的來說，相位滯后均較大，P（z）的相頻特性不理想。

圖6 P（z）在ki不同時的頻率特性Fig.6 Frequency characteristics of P（z）with different ki

ki越大諧振峰越大，也使補償器C（z）的設計變得相對困難。但是由于差一拍時ki的可調范圍很小，對跟蹤精度的改善已經十分有限，而且與重復控制結合后，穩(wěn)態(tài)精度的改善變成重復控制的任務，故將積分環(huán)節(jié)省略，構成比例＋重復控制的復合控制系統(tǒng)。只有比例控制且kp不同時P（z）的頻率特性如圖7所示，kp分別取0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，可見，kp＝0.5時還有一定的諧振峰，而kp＝0.3時諧振峰已經不存在，但kp越小，低頻增益也越低，電流跟蹤的快速性不能得到保證，且由相頻特性可見，kp越小相位滯后也越大，故kp還是應取得大一些，本文取kp＝0.5。

圖7 P（z）在ki＝0和kp不同時的頻率特性Fig.7 Frequency characteristics of P（z）when ki＝0with different kp

為了抵消P（z）在kp＝0.5時不大的諧振峰，而且在P（z）截止頻率附近使幅頻特性迅速下降，選取以下形式的零相移陷波器：

此陷波器的設計目標就是選擇l，使陷波點剛好或近似抵消P（z）的諧振峰。經過反復仿真，發(fā)現l＝4較為合適，此時陷波點頻率約為7750rad／s。P（z）、S1（z）、校正后的系統(tǒng)S1（z）P（z）的頻率特性均示于圖8，可見S1（z）P（z）的中低頻增益保持為0，且在諧振峰附近幅頻特性迅速衰減；但是，S1（z）也使中頻段的一部分頻帶的帶寬降低，幅頻特性在2000rad／s（約318Hz）左右開始出現較明顯下降，影響了7次以上諧波的補償，使補償效果的改善不明顯。而且，在高頻段，S1（z）P（z）的幅頻特性增益較高，為了降低高頻開關噪聲或其它噪聲的干擾，還需引入低通濾波器S2（z）使高頻衰減，增加了控制器的復雜性。

圖8 S1（z）對P（z）的校正Fig.8 Correction of P（z）by S1（z）

仔細觀察P（z）的幅頻特性，發(fā)現其諧振峰幅值較低，故僅用一低通濾波器S（z）就可以拉低P（z）的幅頻特性，S（z）的截止頻率可以選得比諧振峰頻率高，如選為8168rad／s（1300Hz），設計出的3階Butterworth濾波器為

P（z）、S（z）、校正后的系統(tǒng)S（z）P（z）的頻率特性均示于圖9。由圖可見，校正后的系統(tǒng)S（z）P（z）幅頻特性在高頻段得到了衰減，但是相頻特性的滯后也變得更加嚴重，相角裕度為負值，不能保證系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

圖9 S1（z）對P（z）的校正Fig.9 Correction of P（z）by S1（z）

超前環(huán)節(jié)zk的作用就是補償S（z）P（z）的相位滯后。zk的模恒為1，在幅頻特性中是一條恒為0的直線，即對幅頻特性沒有影響；它的相頻特性與頻率有關，由于zk＝ejkωT，所以它相頻特性的曲線呈指數規(guī)律增加，正好補償對象的相位滯后。

APF的采樣頻率取10kHz，經過反復仿真試驗，發(fā)現zk＝z5對相位的補償較為合適，使z5S（z）P（z）的相角裕度（即z5S（z）P（z）的相角加上180°）為正值，保證了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。雖然z5在物理上是不可實現的，但由圖5，z5與前級的z－N串聯(lián)后的z－N＋5是完全可以實現的。校正的效果如圖10所示。

圖10 z5 對S（z）P（z）的相位校正Fig.10 Phase correction of S（z）P（z）by z5

圖11 krej kωTS（ejωT）P（ejωT）的奈氏曲線Fig.11 Nyquist plot of krej kωTS（ejωT ）P（ejωT ）

補償器C（z）最后一個需要設計的環(huán)節(jié)是重復控制增益kr，kr在0到1之間取值，一般先將kr設為1，先進行zk和S（z）的設計，保證zkS（z）P（z）的穩(wěn)定性，最后再調整kr，減小kr可以使矢量krejkωTS（ejωT）P（ejωT）的幅值減小，提高系統(tǒng)的魯棒性，但是過小的kr也使重復控制的響應變慢，故一般取一比1稍小的數，本文取為0.95。

krejkωTS（ejωT）P（ejωT）奈氏圖繪于圖11中，低頻從（1，0）開始，高頻止于零點，可見在全頻段內，krejkωTS（ejωT）P（ejωT）都在單位圓內，離邊界具有一定的距離，具有足夠的穩(wěn)定裕量。

4 仿真研究

為了驗證算法的有效性，在 Matlab／Simulink環(huán)境中建立了基于上述比例控制與重復控制結合的APF系統(tǒng)模型；仿真中使用的參數為：電網相電壓有效值220V；非線性負載為二極管整流橋帶阻感負載；接口電感L＝5mH，R＝0.5Ω，直流側電容Cdc＝4700μF，直流電壓Udc＝800V，開關頻率fs＝10kHz，采用空間矢量脈寬調制。

圖12為非線性負載電流，其含有大量諧波，幅值約30A，基波幅值為26A。圖13為無延時情況下數字PI控制在kp＝1、ki＝1時的補償結果，因kp和ki值在圖3的穩(wěn)定范圍內，所以系統(tǒng)穩(wěn)定，補償效果良好，電網電流THD%＝2.4%。圖14為差一拍控制的數字PI控制在kp＝0.5、ki＝0.3時的補償結果，因kp和ki的值超出圖4的穩(wěn)定范圍，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。減小ki，使其等于0.1，則取值位于圖4的穩(wěn)定范圍內，系統(tǒng)穩(wěn)定，但kp和ki取值過小，補償效果較差，電網電流THD%＝9.9%。

圖12 非線性負載電流Fig.12 Nonlinear loads current

圖13 PI控制在無延時、kp＝1、ki＝1時的電網電流Fig.13 Grid current when PI controller（kp ＝1，ki＝1）without delay is applied

圖14 PI控制在差一拍、kp＝0.5、ki＝0.3時的電網電流Fig.14 Grid current when PI controller（kp ＝0.5，ki＝0.3）with one period delay is applied

圖15 PI控制在差一拍、kp＝0.5、ki＝0.1時的電網電流Fig.15 Grid current when PI controller（kp ＝0.5，ki＝0.1）with one period delay is applied

圖16為采用本文提出的比例控制與重復控制結合的差一拍控制方法補償結果，可見APF輸出電流跟蹤指令電流迅速，誤差小，電網電流為十分理想的正弦波，幅值約為26A，THD% ＝1.8%，與無延時數字PI控制時相比更小。圖17為本文方法的暫態(tài)性能，非線性負載在0.13s發(fā)生突變，由于重復控制的延時特性，電網電流在約一個周波后恢復為理想正弦，同時因為比例控制的作用，暫態(tài)過程中電網電流仍能保證一定的正弦度。

圖16 采用復合控制時的補償結果Fig.16 Harmonic compensation results when the compound control is applied

圖17 負載變化時復合控制的補償結果Fig.17 Harmonic compensation results when the compound control is applied

5 結語

常規(guī)的APF PI解耦控制方法在數字化后受延時的影響較大。為了消除延時的影響，本文提出一種比例控制和重復控制結合的有源電力濾波器差一拍電流控制策略。仿真結果表明該策略使有源電力濾波器在控制量延時一個控制周期輸出時仍能實現高性能的諧波補償，系統(tǒng)動靜態(tài)性能優(yōu)良，具有較強的實用價值。

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