鄒 恩，辛建濤，方仕勇，林錦錢

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)工程學(xué)院，廣州510642）

經(jīng)濟負(fù)荷分配ELD（economic load dispatch）是電力系統(tǒng)中典型的一類數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，由于它具有復(fù)雜、非線性、不連續(xù)等特點，已成為電站經(jīng)濟運行的重要優(yōu)化問題。目標(biāo)是在滿足系統(tǒng)負(fù)荷和運行約束條件的前提下，在一個電廠或電力系統(tǒng)內(nèi)合理安排各機組的出力負(fù)荷，使發(fā)電成本最小化，以降低燃料的消耗和供電成本。

在解決ELD問題上，由于火電機組存在閥點效應(yīng)［1］，加之系統(tǒng)運行約束條件、穩(wěn)定性等制約，致使系統(tǒng)本質(zhì)上成為非凸的高維、非線性以及不連續(xù)的優(yōu)化問題，因此在尋求機組最優(yōu)組合解的過程中將會存在復(fù)雜性及準(zhǔn)確性的問題，甚至很難得出理論上的最優(yōu)解［2］。由于ELD問題具有很強的實用性和經(jīng)濟性，自始至終都有大量的學(xué)者對其進(jìn)行研究，目前為止已有很多文獻(xiàn)涉及到此類問題的求解，如常規(guī)算法有線性規(guī)劃法［3］，動態(tài)規(guī)劃法［4］以及拉格朗日松弛法［5］等，智能算法有遺傳算法［1，6，7］、蟻群算法［2］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法［8］以及混沌優(yōu)化算法［9，10］等。然而這些算法在處理ELD問題上，都存在一定的缺點，如容易陷入局部最優(yōu)、求解精度不高、容易陷入“維數(shù)災(zāi)”以及計算時間較長等。

粒子群優(yōu)化算法是一種新的模仿鳥類群體行為的全局智能優(yōu)化算法，現(xiàn)已成為進(jìn)化算法中一個新的重要分支。由于算法操作簡單、收斂快、且易于實現(xiàn)等特點，得到了廣泛的關(guān)注，并已成功運用于求解不同領(lǐng)域的多維非線性優(yōu)化求解中。然而粒子群算法在搜索后期容易陷入局部最優(yōu)，發(fā)生“早熟”現(xiàn)象。針對這一缺陷，已有許多學(xué)者對其進(jìn)行改進(jìn)，一是對粒子群算法本身進(jìn)行改進(jìn)［11，12］，增強粒子的全局尋優(yōu)能力；二是粒子群算法與其它算法如單純形法、遺傳算法、混沌優(yōu)化等算法相結(jié)合［13～16］，利用各種算法的優(yōu)勢互補進(jìn)行求解。

以往的混沌粒子群優(yōu)化算法是在粒子群算法陷入局部極值后通過引入混沌擾動，使其跳出局部最優(yōu)。本文在文獻(xiàn)［17］的基礎(chǔ)上，通過修正粒子群迭代的行動策略，并在粒子群尋優(yōu)過程中引入Tent映射增強粒子的全局遍歷性，以實現(xiàn)更快的收斂效果。與前者相比，后者有更好的收斂性能。最后將本文改進(jìn)的混沌粒子群算法應(yīng)用在電力系統(tǒng)經(jīng)濟負(fù)荷分配中，仿真結(jié)果體現(xiàn)了ICPSO算法的有效性和優(yōu)越性。

1 經(jīng)濟負(fù)荷分配的數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

發(fā)電機組燃料消耗的目標(biāo)函數(shù)模型如下所示：

式中：Cost為發(fā)電機組總的消耗費用；M為系統(tǒng)發(fā)電機總數(shù)；Pm為第m 臺發(fā)電機的有功功率；Cm（Pm）為第m臺發(fā)電機的耗量特性，表達(dá)如下：

式中：am、bm、cm為第m 臺發(fā)電機燃料消耗特性曲線參數(shù)，均為一常數(shù)。

在火力發(fā)電機組運行中，氣輪機進(jìn)氣閥突然開啟時常常產(chǎn)生閥點效應(yīng)，增加發(fā)電機的出力，使發(fā)電成本增大。閥點效應(yīng)耗量特性可表示為

式中：Em為閥點效應(yīng)引起的耗量特性；gm、hm和分別為第m臺發(fā)電機的參數(shù)和有功功率下限，gm和hm均為一常數(shù)。

1.2 約束條件

1）發(fā)電機出力運行約束

式中：Pminm、Pmaxm分別為第m 臺發(fā)電機的出力上下限值。

2）系統(tǒng)有功平衡約束

式中：PL和PD分別為系統(tǒng)的總網(wǎng)損和總負(fù)荷。

網(wǎng)損可以采用潮流軟件獲得，工程上習(xí)慣用B系數(shù)法進(jìn)行求解［8］。網(wǎng)損與發(fā)電機有功功率之間的關(guān)系表達(dá)式如下：

式中：PT為P的轉(zhuǎn)置向量，其中P為發(fā)電機有功功率的m維列矢量；B為m×m維方陣，B0為m維列矢量，B00為一常數(shù)值。

2 改進(jìn)的混沌粒子群算法ICPSO

2.1 混沌粒子群CPSO算法及其改進(jìn)

傳統(tǒng)的混沌粒子群算法是針對粒子群算法后期收斂慢，且容易陷入局部最優(yōu)等缺點而提出的，基本原理是在粒子群算法尋優(yōu)后，通過引入混沌機制，利用混沌運動的遍歷性、隨機性以及規(guī)律性，對其近似最優(yōu)解進(jìn)行混沌搜索，使其跳出局部最優(yōu)而獲得全局最優(yōu)解。

2.1.1 Tent混沌映射

Tent映射是一種遍歷性、隨機性都很強的混沌映射，具有區(qū)間均勻搜索特性。其表達(dá)式為

2.1.2 改進(jìn)的粒子群算法

對于基本粒子群算法，迭代更新公式如下：

式中：Vi（t）＝ ［vi1，vi2，…，viN］和 Xi（t）＝ ［xi1，xi2，…，xiN］分別表示第i個粒子的速度和位置矢量；t為當(dāng)前的迭代次數(shù)；ω為慣性權(quán)重；c1和c2是學(xué)習(xí)因子，通常取c1＝c2＝2；r1和r2是介于（0，1）之間的隨機數(shù)；pbesti和gbest（t）分別表示第i個粒子迭代t次所經(jīng)歷過的最優(yōu)位置和整個種群經(jīng)歷過的最優(yōu)位置。

由于粒子群優(yōu)化算法中每個粒子是根據(jù)當(dāng)前個體極值和全局最優(yōu)解來更新下一代的信息，沒有考慮其它粒子的信息，因此，可選取前n個粒子的信息來修正每個粒子下次迭代的行動策略，在更新中可實現(xiàn)種群粒子搜索的多方向性，搜索更均勻，提高了算法的全局尋優(yōu)能力［12］。由此粒子群更新公式可寫為

式中：r2j是（0，1）內(nèi)的隨機數(shù)；gbestj（t）是根據(jù)種群所有粒子的適應(yīng)度值按從小到大排序后選取前n個粒子在解空間中的位置，一般n的取值為4時算法能取得較滿意的效果［12］。

對于慣性權(quán)重ω，可采用非線性動態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)公式即自適應(yīng)權(quán)重法，以改善粒子的全局搜索能力和局部改良能力，其計算方法如式（10）所示：

式中：ωmax和ωmin為ω的最大和最小值，分別設(shè)為0.9和0.4；f是當(dāng)前粒子的適應(yīng)值，favg和fmin分別為當(dāng)前所有粒子的平均適應(yīng)值和最小適應(yīng)值。

2.2 ICPSO算法在ELD問題中的應(yīng)用

由機組組合數(shù)學(xué)模型可知，發(fā)電機組產(chǎn)生的費用由機組燃料消耗和閥點效應(yīng)產(chǎn)生的費用組成，對發(fā)電機出力運行約束式（4），機組變量需限制在出力范圍內(nèi)，對于越限分量將其限制在邊界值上。對于系統(tǒng)有功平衡約束式（5），可采用罰函數(shù)的形式將有約束問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，最終目標(biāo)函數(shù)如式（11）所示：

式中：ξ為罰因子，通常取一個較大的常數(shù)；對于每個粒子Xi的值，代表了所有發(fā)電機出力負(fù)荷［pi1，pi2，…，piM］的一組解，即如式（12）所示：

ELD問題的ICPSO算法基本流程如下：

Step 1 設(shè)定粒子群體迭代次數(shù)max＿gen、混沌局部搜索次數(shù)max C，以及群體規(guī)模D，初始粒子位置Xi以及速度Vi，Xi和Vi可通過式（13）進(jìn)行初始化：

對于速度限值的設(shè)定可以取機組最大出力負(fù)荷值的一半，即有vi，max＝－vi，min＝0.5·pmaxm。

Step 2 按式（11）求初始種群的適應(yīng)度值，將當(dāng)前各粒子的最優(yōu)位置存儲在pbesti（t）中，將群體中最小適應(yīng)度值所對應(yīng)的pbesti（t）放在gbest（t）中。

Step 3 根據(jù)式（9）和式（10）更新粒子的速度和位置，對于越限的粒子將其限制在邊界值上，按式（11）計算更新后粒子的適應(yīng)度值。

Step 4 對更新后粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行排序，選取群體20%較優(yōu)的粒子進(jìn)行混沌局部搜索［17］，迭代次數(shù)達(dá)到max C或者混沌搜索后的適應(yīng)值比先前適應(yīng)值優(yōu)，則退出混沌局部搜索，進(jìn)入step 5。

Step 5 通過適應(yīng)度值更新粒子pbesti與gbest（t）的值。

Step 6 按式（14）縮小搜索區(qū)域

其中0＜r＜1。

Step 7 在新的收縮區(qū)域內(nèi)按式（13）隨機生成80%的粒子，按式（11）計算粒子的適應(yīng)度值。

Step 8 將經(jīng)過step 4的粒子與step 7的粒子構(gòu)成一個新的種群，取代原粒子群。

Step 9 若滿足停止條件，即達(dá)到設(shè)定的粒子群迭代次數(shù) max＿gen，停止搜索，輸出gbest（t）的值，否則返回Step3繼續(xù)搜索。其中g(shù)best（t）中的各個數(shù)值代表了消耗費用最低時的機組出力負(fù)荷值，即如式（15）所示：

3 算例分析

為了驗證本文ICPSO算法的有效、快速收斂以及結(jié)果的精確性，通過 MATLAB 7.8版本在E2140、主頻1.60GHz、內(nèi)存512MB的計算機上進(jìn)行仿真實驗，其中最大迭代次數(shù)max＿gen＝100，混沌局部搜索次數(shù)maxC＝30，種群規(guī)模D＝20，罰因子ξ＝50。

算例1：采用文獻(xiàn)［16］中的3機6母線系統(tǒng)為例，系統(tǒng)總負(fù)荷PD＝850MW，考慮耗量曲線的閥點效應(yīng)，忽略網(wǎng)損。表1給出了算例中發(fā)電機燃料耗量曲線特性參數(shù)以及有功功率限值。

表1 機組特性參數(shù)Tab.1 Parameters of generating units

算例2：采用與算例1相同的系統(tǒng)，總負(fù)荷為500MW，計及閥點效應(yīng)與網(wǎng)損，網(wǎng)損B系數(shù)如下：

對于文獻(xiàn)［17］中提出的CPSO算法和本文ICPSO算法，分別對算例1和算例2進(jìn)行獨立仿真實驗各50次，其平均適應(yīng)值收斂效果如圖1和圖2所示。表2是算例1計及閥點效應(yīng)，忽略網(wǎng)損的仿真計算結(jié)果。表3是算例2計及閥點效應(yīng)和網(wǎng)損的仿真計算結(jié)果。表4和表5為各文獻(xiàn)中采用不同算法在算例1和算例2中的仿真結(jié)果對比情況。

圖1 算例1平均適應(yīng)值收斂曲線圖Fig.1 Average fitness convergence curves of case 1

圖2 算例2平均適應(yīng)值收斂曲線圖Fig.2 Average fitness convergence curves of case 2

表2 算例1仿真結(jié)果Tab.2 Simulation results of case 1

表3 算例2仿真結(jié)果Tab.3 Simulation results of case 2

表4 不同算法在算例1中的仿真結(jié)果Tab.4 Simulation results of different algorithms in case 1

表5 不同算法在算例2中的仿真結(jié)果Tab.5 Simulation results of different algorithms in case 2

從圖1和圖2可以看出，文獻(xiàn)［17］中的CPSO算法和本文ICPSO算法應(yīng)用于不同算例中均體現(xiàn)了較快的收斂性能，在進(jìn)化初期就可以初步達(dá)到精確的收斂效果，但相比之下，本文ICPSO算法在收斂性能和精確性方面略勝于文獻(xiàn)［17］中的CPSO算法。表2和表3為ICPSO算法分別在算例1和算例2仿真結(jié)果中的幾組可行解，通過表中數(shù)據(jù)顯示，改進(jìn)后的算法在結(jié)果上實現(xiàn)了更優(yōu)。

通過表4仿真結(jié)果對比，本文提出的ICPSO算法所得出的總費用是最低的，從表5可看出，文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］中涉及到的算法，其網(wǎng)損與系統(tǒng)總負(fù)荷之和并不等于各機組的總出力值，換言之是以犧牲負(fù)荷平衡約束條件來獲得最優(yōu)費用，而本文ICPSO算法不僅總費用低，且能精確的滿足負(fù)荷平衡約束條件。由此可得出，ICPSO算法有較好優(yōu)越性。通過以上對照表明，本文所述ICPSO算法在快速性與精確性方面均達(dá)到令人滿意的結(jié)果。

4 結(jié)語

本文對CPSO算法進(jìn)行了改進(jìn)，并在ELD問題上進(jìn)行仿真實驗，相比以往的CPSO算法以及其它智能算法取得了更優(yōu)的效果，實現(xiàn)了快速尋優(yōu)與結(jié)果的精確性。由于混沌粒子群算法屬于隨機性算法，相比確定性算法在結(jié)果上存在隨機性，加之ELD問題是多維的且含較多復(fù)雜約束條件，因此在后面的研究工作中，需要考慮算法在多機組運行、機組啟停、機組的爬坡限制以及環(huán)境負(fù)荷調(diào)度多目標(biāo)優(yōu)化問題等方面結(jié)果的精確性以及快速收斂性。ICPSO算法在實際系統(tǒng)中的成功應(yīng)用，將會為相關(guān)行業(yè)帶來一定的經(jīng)濟效益。

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