徐 永，李朝暉

(華中科技大學(xué)水電與數(shù)字化工程學(xué)院，武漢 430074)

1 引言

對(duì)于水電機(jī)組軸系整體動(dòng)力特性而言，不平衡磁拉力作為邊界激勵(lì)力作用于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子。過去的文獻(xiàn)在軸系動(dòng)力特性分析中常利用單邊磁拉力公式計(jì)算不平衡磁拉力，不平衡磁拉力的作用因而被簡化為一個(gè)負(fù)剛度系數(shù)[1-5]。這種處理方式最大的優(yōu)點(diǎn)是簡潔，在自振特性分析中能較好的反應(yīng)不平衡磁拉力的影響。但由于未考慮非線性、勵(lì)磁強(qiáng)度及飽和效應(yīng)等因素的影響，在響應(yīng)分析中仍有較大的局限性[6]。

使用有限元方法求解不平衡磁拉力能考慮更多的影響因素，獲得更好的求解精度[7-10]，是研究不平衡磁拉力特性的最有力工具。然而，由于在軸系響應(yīng)分析中需要反復(fù)計(jì)算不平衡磁拉力，利用有限元方法計(jì)算不平衡磁拉力因?yàn)橛?jì)算量過大而難以實(shí)現(xiàn)。對(duì)于以軸系整體動(dòng)力特性為分析目標(biāo)的研究而言，采用分析方法計(jì)算不平衡磁拉力更為合適，已有許多學(xué)者對(duì)不平衡磁拉力的分析方法進(jìn)行了探討。如郭丹等[11]在忽略磁飽和效應(yīng)影響時(shí)，將氣隙磁導(dǎo)展成傅里葉序列，得到任意極對(duì)數(shù)三相電機(jī)的不平衡磁拉力分析表達(dá)式。曲鳳波[12]利用有限元方法的求解結(jié)果及不平衡磁拉力特點(diǎn)總結(jié)了不平衡磁拉力計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式。Ohishi等[13]利用鐵磁材料磁化曲線，建立氣隙磁密隨勵(lì)磁電流、偏心氣隙變化的關(guān)系式，以此求解不平衡磁拉力。Perers等利用磁路計(jì)算理論逐段磁路計(jì)算求得定轉(zhuǎn)子圓周上的氣隙磁密，求解不平衡磁拉力。這都是基于電機(jī)磁回路中不同鐵磁材料的磁化特性分析不平衡磁拉力，考慮飽和效應(yīng)影響，但分析過程較復(fù)雜。為此，本文提出了利用發(fā)電機(jī)空載特性曲線及磁路計(jì)算相結(jié)合的不平衡磁拉力計(jì)算方法，從綜合的角度考慮了電機(jī)中所有鐵磁材料的磁化特性，簡化了分析過程。同時(shí)，該方法能夠考慮非線性、勵(lì)磁電流及飽和效應(yīng)的影響，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確；計(jì)算時(shí)間也完全滿足軸系響應(yīng)計(jì)算中對(duì)不平衡磁拉力反復(fù)更新計(jì)算的需求。

2 不平衡磁拉力的產(chǎn)生原理

2.1 偏心氣隙的影響

在定轉(zhuǎn)子間的氣隙與鐵磁材料交界面上，單位面積上的磁應(yīng)力計(jì)算公式為

式中：μ0為空氣磁導(dǎo)率；Bδ為氣隙磁密。忽略鐵磁材料磁阻的影響，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子圓周上氣隙磁密Bδ的分布可表示為

式中：F為發(fā)電機(jī)氣隙的基波合成磁勢(shì)；δ為氣隙厚度。當(dāng)定轉(zhuǎn)子中心存在偏心大小e，方位γ時(shí)，如圖1所示，氣隙厚度δ為空間角度α的函數(shù)，為

式中δ0為均勻氣隙厚度。在轉(zhuǎn)子圓周上對(duì)式（1）積分得不平衡磁拉力的表達(dá)式為

圖1 定轉(zhuǎn)子偏心示意圖

通常情況下，忽略凸極電機(jī)轉(zhuǎn)子主極間氣隙的不均勻，當(dāng)定轉(zhuǎn)子同心時(shí)，轉(zhuǎn)子圓周上氣隙厚度處處相等，氣隙磁密相同，不同方向的磁拉力相互平衡，F(xiàn)ump=0；當(dāng)偏心時(shí)，氣隙厚度不再均勻，圓周上氣隙磁密也不再相同，式（4）積分不再為零，于是產(chǎn)生不平衡磁拉力。結(jié)合式（2）、式（3）可知，氣隙厚度越小，氣隙磁密越大，從而磁應(yīng)力越大，由此可判斷不平衡磁拉力的方向與偏心方向一致。

2.2 勵(lì)磁電流的影響

根據(jù)發(fā)電機(jī)內(nèi)部基本電磁關(guān)系，負(fù)載工況下，氣隙磁場(chǎng)由勵(lì)磁電流及負(fù)載電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)共同組成。已有多篇文獻(xiàn)指出，負(fù)載對(duì)不平衡磁拉力的影響不大，我們著重討論空載工況。

在空載工況下，電機(jī)中只有勵(lì)磁電流產(chǎn)生的勵(lì)磁磁場(chǎng)。根據(jù)全電流定律有[14]

式中：Nr為勵(lì)磁繞組每極匝數(shù)；If為勵(lì)磁電流；Ft為電機(jī)磁回路中鐵磁材料的磁位降（磁勢(shì)），包括定子齒段、定子軛段、磁極身段、轉(zhuǎn)子軛與磁極接縫處。由式（5）可知，勵(lì)磁電流的變化將導(dǎo)致氣隙磁密的變化，從而改變不平衡磁拉力的大小。考慮鐵磁材料磁阻的影響時(shí)，即考慮飽和效應(yīng)影響時(shí)，式（2）不再成立。受鐵磁材料磁化特性的影響，氣隙磁密Bδ隨勵(lì)磁電流If的變化關(guān)系曲線呈明顯的非線性，且無法通過分析的方法得到如式（2）的解析表達(dá)式。

3 不平衡磁拉力的分析計(jì)算方法

由不平衡磁拉力的產(chǎn)生原理可歸納出不平衡磁拉力的求解思路是：首先確定氣隙分布情況；再根據(jù)氣隙分布，確定氣隙磁密Bδ；最后利用式（4），在定轉(zhuǎn)子圓周上計(jì)算磁拉力作用，求得不平衡磁拉力。

對(duì)于表面光滑的定轉(zhuǎn)子，確定氣隙分布比較容易。以下主要討論從空載特性曲線出發(fā)，求任意勵(lì)磁電流及偏心狀態(tài)下的氣隙磁密Bδ。

發(fā)電機(jī)的銘牌參數(shù)中一般會(huì)給出空載勵(lì)磁電流的取值，即發(fā)電機(jī)空載時(shí)，端電壓為額定值時(shí)的轉(zhuǎn)子電流。而空載時(shí)，定子繞組的端電壓與感應(yīng)電勢(shì)完全相等。文獻(xiàn)[15]指出，不論電機(jī)容量的大小和電壓的高低，標(biāo)幺值表示的標(biāo)準(zhǔn)空載特性曲線都是極近似的。根據(jù)這一特點(diǎn)，結(jié)合標(biāo)幺值表示的標(biāo)準(zhǔn)空載特性（見表1），利用插值的方法可求出該電機(jī)的空載特性曲線。

表1 同步電機(jī)標(biāo)準(zhǔn)空載特性

根據(jù)磁路計(jì)算理論，已知相電壓UΦ，可求得所需的每極磁通：

式中：f為電網(wǎng)頻率；Np為定子繞組每相串聯(lián)匝數(shù)；Kdp為基波繞組系數(shù)；KΦ為主極磁場(chǎng)波形系數(shù)（通常取1.01–1.04）。則氣隙磁密：

式中：Kλ為極弧磁通系數(shù)(通常取 0.89～0.92)；Aδ為氣隙磁通面積。利用式（6）、式（7），可得勵(lì)磁電流與氣隙磁密的關(guān)系曲線。用一N次多項(xiàng)式擬合此曲線，得到式（5）的多項(xiàng)式表達(dá)：

式中：p1，p2，…，pN為擬合多項(xiàng)式系數(shù)。

由分析過程可知，勵(lì)磁電流與氣隙磁密是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即磁路問題具有唯一解。式（5）可表示為

式中：f(Bδ)為Ft/Nr與氣隙磁密Bδ的函數(shù)關(guān)系；pg為空載特性曲線氣隙線利用式（6），式（7）轉(zhuǎn)化后的直線斜率。整理式（8）、式（9）得關(guān)于氣隙磁密Bδ的N次多項(xiàng)式方程：

式中的一次項(xiàng)系數(shù)可分為兩部分：表征鐵磁材料特性的部分p1—pg和氣隙部分(δ/δ0)pg。氣隙δ和勵(lì)磁電流If的改變使多項(xiàng)式方程（10）的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù)分別發(fā)生變化。求解不同δ和If時(shí)的多項(xiàng)式方程，得到相應(yīng)條件下的氣隙磁密大小。

將整個(gè)轉(zhuǎn)子圓周等分為m段，等分點(diǎn)角度定義為αi= (2i–1)π/m，(i= 1, 2, …,m)。以等分點(diǎn)的氣隙厚度作為該段的平均氣隙厚度，利用式（10）求出相應(yīng)的氣隙磁密Bδ(αi)，則各分段的磁應(yīng)力為

累加所有的Pi，可得式（4）的離散計(jì)算公式：

利用式（12）可數(shù)值計(jì)算不平衡磁拉力，選擇的分段數(shù)m越大，計(jì)算結(jié)果越精確。

4 不平衡磁拉力計(jì)算實(shí)例

以葛洲壩 125MW 水輪發(fā)電機(jī)為實(shí)例，根據(jù)發(fā)電機(jī)銘牌參數(shù)，可以得到空載勵(lì)磁電流為876A，額定電壓為13800V。結(jié)合標(biāo)幺值表示的標(biāo)準(zhǔn)空載特性曲線，利用插值的方法求出該發(fā)電機(jī)的空載特性曲線如圖 2所示，圖中的虛線為空載特性曲線的氣隙線。

利用式（6）、式（7）求得勵(lì)磁電流與氣隙磁密的關(guān)系曲線，如圖3所示。圖中分別標(biāo)出了作用于氣隙和鐵磁材料的勵(lì)磁電流。在勵(lì)磁電流較小時(shí)，勵(lì)磁磁場(chǎng)較弱，此時(shí)鐵磁材料的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空氣磁導(dǎo)率μ0，磁位降主要在氣隙上，鐵磁材料的磁阻可以忽略，此為非飽和狀態(tài)；隨著勵(lì)磁電流增大，勵(lì)磁磁場(chǎng)增強(qiáng)，鐵磁材料受外加磁場(chǎng)磁化作用磁阻逐漸增大，作用于磁回路中鐵磁材料部分的磁位降逐漸增加，此即為飽和狀態(tài)。

圖2 發(fā)電機(jī)空載特性曲線

圖3 勵(lì)磁電流與氣隙磁密的關(guān)系曲線

用多項(xiàng)式擬合Bδ–If，得到多項(xiàng)式方程（10），這里選取N=6。求解多項(xiàng)式方程及式（12），可以求得不同偏心和勵(lì)磁狀態(tài)下的不平衡磁拉力。圖4給出了不同勵(lì)磁電流下，不平衡磁拉力隨定轉(zhuǎn)子相對(duì)偏心量的變化規(guī)律。從圖中可看出，不同勵(lì)磁電流下，不平衡磁拉力隨定轉(zhuǎn)子偏心率的關(guān)系曲線明顯不同。在非飽和狀態(tài)下，不平衡磁拉力隨相對(duì)偏心的增加而非線性增大。隨著勵(lì)磁電流的增大，鐵磁材料飽和效應(yīng)逐漸顯著。當(dāng)勵(lì)磁電流過大時(shí)，不平衡磁拉力反而有所降低。其主要原因是飽和效應(yīng)均化了不均勻氣隙之間的氣隙磁密差異，因而降低了不平衡磁拉力。

圖5給出了不同定轉(zhuǎn)子相對(duì)偏心下，不平衡磁拉力隨勵(lì)磁電流的變化規(guī)律。從圖中可看出，在相同的相對(duì)偏心條件下，不平衡磁拉力在非飽和狀態(tài)下隨勵(lì)磁電流增加而增大。由于飽和效應(yīng)的影響，在大勵(lì)磁電流時(shí)，不平衡磁拉力隨勵(lì)磁電流的增加反而減小，這個(gè)結(jié)果與Perers給出的結(jié)果相吻合。

圖4 不同勵(lì)磁下不平衡磁拉力隨相對(duì)偏心的變化

圖5 不同相對(duì)偏心下不平衡磁拉力隨勵(lì)磁電流的變化

另外，從HOMIS系統(tǒng)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)可以看到，勵(lì)磁電流的不同對(duì)機(jī)組振動(dòng)擺度具有明顯的影響，如圖 6所示。圖中在100%勵(lì)磁下的振動(dòng)擺度比50%勵(lì)磁下的振動(dòng)擺度明顯偏大。這與圖5的結(jié)論吻合，同時(shí)也證實(shí)了在軸系分析時(shí)考慮勵(lì)磁電流影響的重要性。

文中算例的計(jì)算參數(shù)取值見表2。利用本文的分析方法，可以求得發(fā)電機(jī)在整個(gè)運(yùn)行區(qū)域內(nèi)的不平衡磁拉力。

表2 計(jì)算參數(shù)取值

5 與其他分析方法的比較

圖6 HOMIS實(shí)測(cè)勵(lì)磁電流對(duì)機(jī)組振動(dòng)擺度的影響

圖7 不同勵(lì)磁電流時(shí)，各種方法計(jì)算的不平衡磁拉力隨相對(duì)偏心變化的比較

將本文的計(jì)算方法與文獻(xiàn)[14]的經(jīng)典單邊磁拉力估算公式（方法一）及文獻(xiàn)[11]的分析方法（方法二），比較結(jié)果如圖7所示?？梢钥吹剑陲柡托?yīng)可以忽略時(shí)(圖7a，If= 189 A)，方法二的計(jì)算結(jié)果與本文計(jì)算結(jié)果符合較好，尤其是在小偏心情況時(shí)，計(jì)算結(jié)果非常一致。此時(shí)，方法一的計(jì)算結(jié)果小于方法二及本文方法的計(jì)算結(jié)果。在不能忽略飽和效應(yīng)影響時(shí)(圖7b，If= 876 A)，本文計(jì)算結(jié)果與方法一的計(jì)算結(jié)果非常相近，只在比較高偏心時(shí)本文計(jì)算結(jié)果因?yàn)榭紤]飽和效應(yīng)影響而略低，方法二的計(jì)算結(jié)果則明顯偏大。當(dāng)勵(lì)磁電流很大時(shí)（圖7c，If=1286 A），本文計(jì)算結(jié)果顯著小于其他方法的結(jié)果，這是飽和效應(yīng)均化了不均勻氣隙之間的氣隙磁密差異的結(jié)果。

從比較結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在飽和效應(yīng)可以忽略時(shí)，不考慮飽和效應(yīng)影響的方法二與本文方法的計(jì)算結(jié)果一致。在額定運(yùn)行工況下，經(jīng)典的估算方法一與本文方法的計(jì)算結(jié)果一致。比較結(jié)果說明方法一與方法二在各自的適用范圍內(nèi)都有比較好的計(jì)算精度。

6 結(jié)論

本文提出了利用發(fā)電機(jī)空載特性曲線計(jì)算不平衡磁拉力的方法。發(fā)電機(jī)空載特性曲線實(shí)際上是電機(jī)磁回路中所有鐵磁材料磁化特性的綜合體現(xiàn)。利用空載特性曲線的方法從綜合的角度考慮了電機(jī)中所有鐵磁材料的磁化特性，簡化了分析過程。并與其他不平衡磁拉力分析方法進(jìn)行了比較，得到如下結(jié)論：

（1）隨著勵(lì)磁電流增大，飽和效應(yīng)影響逐漸顯著。使得在不同勵(lì)磁電流下，不平衡磁拉力隨定轉(zhuǎn)子偏心之間的關(guān)系曲線形狀具有明顯的不同。當(dāng)增大到一定程度時(shí)，不平衡磁拉力開始不斷減小，此結(jié)論與Perers的相同；

（2）通過與其他不平衡磁拉力分析方法的比較，發(fā)現(xiàn)本文的分析方法與其他分析方法在其適用范圍內(nèi)都符合得很好，驗(yàn)證了本文方法的有效性；

（3）現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果都證實(shí)了勵(lì)磁電流對(duì)振動(dòng)擺度具有明顯的影響。在軸系動(dòng)力特性分析中，利用本文的分析方法計(jì)算不平衡磁拉力，可以得到不平衡磁拉力對(duì)軸系動(dòng)力特性影響的更深入認(rèn)識(shí)。

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