楊育榮，王建琦，2

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009;2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽 471009)

數(shù)字仿真是將實際系統(tǒng)中的各組成部分全部用數(shù)學(xué)模型代替，并把數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成數(shù)字仿真模型，在數(shù)字計算機上對實際系統(tǒng)進行仿真研究的過程。它具有如下特點:①經(jīng)濟性，不需要實物的參與，是最經(jīng)濟的研究方法;②靈活性，控制系統(tǒng)的研制是不斷完善的過程，如果對產(chǎn)品硬件進行修改，無疑費時費力，而利用數(shù)字仿真，通過對數(shù)學(xué)模型進行修改，可方便地對制導(dǎo)系統(tǒng)的每一部分進行迭代設(shè)計和參數(shù)優(yōu)化，更具靈活性，并大大縮短研制周期［1-2］;③通用性，既往型號數(shù)學(xué)仿真中建立的數(shù)學(xué)模型經(jīng)過少許的改進和開發(fā)，可以適用于后續(xù)型號或派生型號的研究。

本文主要介紹用泰勒級數(shù)對導(dǎo)彈控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的模型化方法，對導(dǎo)彈控制系統(tǒng)數(shù)字仿真的方法、步驟、內(nèi)容以及仿真試驗的設(shè)計等進行詳細描述，給出了評價仿真結(jié)果的方法。

1 導(dǎo)彈運動方程線性化原理

導(dǎo)彈空間運動通常由一個非線性系數(shù)的微分方程組來描述。分析導(dǎo)彈的動態(tài)特性，可以采用泰勒級數(shù)的線性化方法［3］。假設(shè)導(dǎo)彈運動方程為一般形式的微分方程組，即:

式中:f1，f2，…，fn，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n都是關(guān)于導(dǎo)彈運動參數(shù)x1，x2，…xn的函數(shù)。

由理想彈道計算可得其特解為

式中下標(biāo)0 表示基準(zhǔn)彈道的參數(shù)。將特解式(2)代入式(1)可得

對一般形式的微分方程組(1)進行線性化，為不失代表性，任取一個方程，并省略其下標(biāo)，有

式中:x 可以代表含擾動作用飛行的任一運動參數(shù)，在基準(zhǔn)運動中有

一個運動參數(shù)在擾動運動和未擾動運動中之差稱為運動參數(shù)的偏量(或增量)，其形式為

令Δx=x-x0，Δf=f-f0，ΔF=F-F0，因此，式(5)可改寫為

式(6)又可以改寫成

式中:ΔF 和Δf 是函數(shù)增量，可由以下方法計算。

將f 在x10，x20，…xn0點附近展開為泰勒級數(shù)，且定義f00=f0(x10，x20，…xn0)，則有

式中Rf是所有高于二階以上各項之和。增量函數(shù)Δf 為

同理可以求得增量函數(shù)ΔF 的表達式為

略去高階小量之和，式(8)可以寫為

可得任一運動參數(shù)的偏量的線性微分方程式

顯然，式(13)中的自變量是運動參數(shù)偏量Δx，可以是Δx1，Δx2，…Δxn，偏量在方程式中僅有1 次冪，沒有偏量間的乘積，所以微分方程式(12)是線性的。式中，函數(shù)f0以及偏導(dǎo)數(shù)等，均是已知的基準(zhǔn)彈道運動參數(shù)的函數(shù)。

2 導(dǎo)彈仿真模型的建立

2.1 彈體縱向運動小擾動模型

利用導(dǎo)彈質(zhì)心動力學(xué)、繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動力學(xué)、姿態(tài)運動學(xué)等方程［4］，采用小擾動線性化，忽略二階以上微量以及導(dǎo)彈氣動力、氣動力矩的次要因素時，可使方程實現(xiàn)線性化，得到導(dǎo)彈運動的簡化方程。由導(dǎo)彈彈體縱向運動方程，采用上述線性化方法，可以得到小擾動模型為:

式中:? 為俯仰角;θ 為彈道傾角;α 為攻角;δ 為舵偏角;a1～a5為彈體動力系數(shù)，其計算公式為

其中:q 為動壓;Sref為參考面積;m 為質(zhì)量;V 為速度;Lref為參考長度;Jz為轉(zhuǎn)動慣量為氣動偏導(dǎo)數(shù)。

2.2 縱向運動傳遞函數(shù)

導(dǎo)彈縱向運動傳遞函數(shù)為:

式中傳遞函數(shù)系數(shù)計算公式為:

3 導(dǎo)彈控制系統(tǒng)數(shù)字仿真

導(dǎo)彈控制系統(tǒng)仿真包括線性化仿真和非線性仿真。線性化仿真是在導(dǎo)彈的飛行空域中，選取特征點，利用固定導(dǎo)彈的飛行高度、馬赫數(shù)、攻角、發(fā)動機燃燒時間等，利用傳統(tǒng)的控制理論，來研究導(dǎo)彈的閉環(huán)時域特性和開環(huán)頻域特性［5-6］。

非線性仿真在導(dǎo)彈飛行空域內(nèi)選取一條特定的彈道進行，其實質(zhì)為求解高階微分方程，仿真的基本步驟為:

1)寫出實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;

2)將數(shù)學(xué)模型二次模型化，轉(zhuǎn)變成可編程的離散化模型;

3)針對離散化模型，用編程語言編寫仿真程序;

4)仿真結(jié)果分析、修改，直至滿足要求。

3.1 線性化仿真

線性化模型是非線性模型的簡化，具有模型簡單、容易實現(xiàn)等特點，一般考慮連續(xù)系統(tǒng)，進行時域分析和頻域分析。時域分析對系統(tǒng)施加一定的輸入信號，通過研究系統(tǒng)的時間響應(yīng)來評價系統(tǒng)性能［7］。對三回路自動駕駛儀來說，時域分析主要對角速度回路、姿態(tài)角回路和加速度回路進行閉環(huán)分析，考察上升時間(tr)、超調(diào)量(σp)、穩(wěn)態(tài)誤差等指標(biāo)。圖1為某導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。

圖1 控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

導(dǎo)彈控制系統(tǒng)時域指標(biāo)一般是上升時間小于0.3 s，超調(diào)量小于20%，穩(wěn)態(tài)誤差小于10%。從圖1 可以看出，系統(tǒng)階躍響應(yīng)上升到85%的時間為0.22 s，超調(diào)量為1.3%，穩(wěn)態(tài)誤差為0，因此圖1 的系統(tǒng)能夠滿足時域設(shè)計要求，但仍需要分析其頻域特性。

頻域分析通過系統(tǒng)開環(huán)的頻率特性來進行。開環(huán)頻域特性主要分析幅值裕度(Gm)、相位裕度(Pm)等［8］。圖2 所示為圖1 中對應(yīng)的頻域特性曲線。

圖2 控制系統(tǒng)頻域特性曲線

導(dǎo)彈控制系統(tǒng)頻域指標(biāo)一般是幅值裕度大于6 dB，相位裕度大于30 rad/s。從圖2 中可以看出，系統(tǒng)的幅值裕度為7.71 dB，相位裕度為34.1 rad/s。因此，此系統(tǒng)滿足時域、頻域設(shè)計要求。

3.2 非線性仿真

現(xiàn)代導(dǎo)彈是一個非常復(fù)雜的系統(tǒng)，大攻角、非線性、強耦合等特點決定了導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的設(shè)計必須要經(jīng)過嚴格的考核。控制系統(tǒng)在工作過程中，力系數(shù)、力矩系數(shù)、轉(zhuǎn)動慣量、推力偏心、推力溫度、舵零位誤差、舵機前向控制增益、初始俯仰角、初始發(fā)射速度等都可能影響其性能。這些因素的排列組合將非常龐大，因此需要尋求一種盡量少做仿真試驗但卻能全面考核導(dǎo)彈性能的試驗方法。非線性仿真可以采用單項因素、機彈干擾和正交拉偏等試驗進行［9］。

1)單項因素仿真。只考察某1 個特定參數(shù)的影響程度，進行單項因素仿真(包括對這個參數(shù)的上拉偏、下拉偏和額定偏仿真)。

2)機彈干擾仿真。在導(dǎo)彈和飛機分離時刻引入1 個初始角速度、攻角、力矩、力等進行發(fā)射仿真。

3)正交拉偏仿真。選取n 個不相關(guān)的算法影響因素1，2，…，n，每個影響因素有1，2，…，k 個影響水平，需要進行m次試驗才能對算法進行全面仿真。針對這個問題可以構(gòu)造一個正交表Lm(nk)。表1 所示為正交表L9(34)，其中行表頭表示影響因素，列表頭表示試驗次數(shù)，數(shù)字1 表示各因素下拉偏仿真，2 表示額定仿真，3 表示上拉偏仿真。

4 仿真實例

圖3 為某次單項因素仿真最大攻角統(tǒng)計曲線。對于圖3中的攻角最大限幅到40°。從圖3 中可以看出，部分仿真結(jié)果達到了限幅值，然而氣動數(shù)據(jù)分析所需要的攻角遠小于仿真值，說明在攻角為40°的仿真系統(tǒng)可能已經(jīng)發(fā)散，需要進一步分析;其他條件仿真結(jié)果正常。

表1 L9(34)正交試驗

從圖4 中可以看出，初始時刻導(dǎo)彈具有攻角，引入控制后導(dǎo)彈攻角很快穩(wěn)定，說明若導(dǎo)彈發(fā)射攻角小于等于圖4 中的攻角時，系統(tǒng)能夠穩(wěn)定。

圖5 所示為某次正交拉偏最大通道舵偏統(tǒng)計曲線。

圖5 正交拉偏最大通道舵偏統(tǒng)計曲線

同樣對于圖5 中的最大舵偏也具有限幅值，在達到限幅值的仿真條件中，由于正常仿真情況下，所需要的舵偏小于仿真值，說明在舵偏限幅的仿真條件處系統(tǒng)可能已經(jīng)發(fā)散，這些發(fā)散的條件將是控制系統(tǒng)設(shè)計迭代時分析的重點彈道。

5 結(jié)束語

導(dǎo)彈在論證、方案、工程研制和定型等階段，計算機數(shù)字仿真是必不可少的技術(shù)手段。數(shù)字仿真仿真時間短、可重復(fù)，可以用來彌補飛行試驗數(shù)據(jù)之不足，既可以縮短研制周期，也可以節(jié)省大量經(jīng)費。本文基于傳統(tǒng)的導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計過程，介紹了彈體模型線性化的原理，描述了導(dǎo)彈線性、非線性仿真的基本方法，通過對正交表的描述，介紹了現(xiàn)代導(dǎo)彈控制系統(tǒng)設(shè)計過程中所必須的拉偏仿真，并對仿真結(jié)果給出了評價的方法。

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