李節(jié)寶 井立兵 周曉燕 章躍進(jìn)

（上海大學(xué)機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 上海 200072）

1 引言

永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)分析是電機(jī)設(shè)計(jì)和性能計(jì)算的基礎(chǔ)。表貼式永磁無(wú)刷電機(jī)二維氣隙磁場(chǎng)可以采用數(shù)值法或解析法求解。有限元法適應(yīng)性強(qiáng)、計(jì)算精度高，但建模和計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，在電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中并不方便。解析法物理概念清晰，解析函數(shù)式較直觀地反映各參數(shù)與磁場(chǎng)分布的關(guān)系，參數(shù)調(diào)整方便，計(jì)算量小、速度快，有利于電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)調(diào)整。

在電機(jī)解析模型的分析中，最困難的工作之一就是如何準(zhǔn)確計(jì)算開槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響。關(guān)于解析法用于開槽電機(jī)氣隙磁場(chǎng)計(jì)算的研究已有大量的文獻(xiàn)。文獻(xiàn)[1,2]較早提出在極坐標(biāo)系下采用標(biāo)量磁位法計(jì)算表貼式徑向充磁永磁無(wú)刷電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)。首先計(jì)算未開槽時(shí)電機(jī)氣隙磁場(chǎng)，然后利用保角變換求得電樞開槽時(shí)的氣隙相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)，并與無(wú)槽時(shí)的氣隙磁場(chǎng)相乘，從而得到計(jì)及開槽效應(yīng)的二維氣隙磁場(chǎng)。該方法存在槽口切向磁場(chǎng)分量被隱沒的問題，影響麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算電磁轉(zhuǎn)矩的精度；文獻(xiàn)[3]引入復(fù)數(shù)相對(duì)磁導(dǎo)函數(shù)，克服了切向氣隙磁通密度分量被隱沒的缺點(diǎn)。但非線性復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)求解過程復(fù)雜、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)。以上方法均采用無(wú)限深單槽模型，不考慮槽與槽之間的影響，且無(wú)法知道槽內(nèi)磁場(chǎng)情況，不利于繞組感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的精確計(jì)算。文獻(xiàn)[4]將求解區(qū)域劃分為氣隙區(qū)域和槽形子區(qū)域，利用兩區(qū)域重疊部分的計(jì)算結(jié)果作為另一區(qū)域的邊界條件，從而計(jì)算出開槽時(shí)的氣隙磁場(chǎng)。兩區(qū)域磁場(chǎng)交替計(jì)算，經(jīng)若干次迭代得到滿足精度的結(jié)果。該方法考慮了實(shí)際槽形分布，計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際，但槽形種類多，難以獲得統(tǒng)一的解析模型。文獻(xiàn)[5,6]分別將標(biāo)量磁位解析法、矢量磁位解析法與差分法相結(jié)合計(jì)算表貼式永磁無(wú)刷電機(jī)磁場(chǎng)，文獻(xiàn)[7]將解析法和等參元法結(jié)合計(jì)算分?jǐn)?shù)槽永磁無(wú)刷電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)。解析法與數(shù)值法結(jié)合能精確地處理各種復(fù)雜槽型，計(jì)算速度快于數(shù)值法，但計(jì)算過程中需要反復(fù)迭代，因此計(jì)算時(shí)間仍較長(zhǎng)，且計(jì)算精度要受到迭代精度影響。

文獻(xiàn)[8]建立了外轉(zhuǎn)子表貼式永磁無(wú)刷電機(jī)直接解析法模型，并以一臺(tái)簡(jiǎn)化的四極電機(jī)為例計(jì)算了其空載氣隙磁通密度和齒槽轉(zhuǎn)矩。本文根據(jù)文獻(xiàn)[8]的基本思路，建立了內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁無(wú)刷電機(jī)直接解析模型。直接解析法形成的整體系數(shù)矩陣十分龐大，為了減少一次求解的計(jì)算量，本文采用槽內(nèi)磁場(chǎng)與氣隙磁場(chǎng)分步求解的方法，有效降低了系數(shù)矩陣維數(shù)，并利用周期性條件減少計(jì)算量。

根據(jù)表貼式內(nèi)轉(zhuǎn)子徑向充磁永磁無(wú)刷電機(jī)模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將解析模型劃分為三個(gè)子區(qū)域，即氣隙、永磁體和槽區(qū)域，分別建立了各區(qū)域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程，并由交界條件連接各子區(qū)域方程式，采用直接解析法求得空載氣隙磁場(chǎng)和槽內(nèi)磁場(chǎng)解析表達(dá)式。通過對(duì)一臺(tái)44極48槽內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式徑向充磁永磁無(wú)刷電機(jī)實(shí)際樣機(jī)計(jì)算及計(jì)算結(jié)果的比較，驗(yàn)證了本文模型推導(dǎo)的正確性和該方法的有效性。計(jì)算速度相較有限元法和解析數(shù)值結(jié)合法有明顯提高。

2 直接解析法空載磁場(chǎng)計(jì)算基本原理

表貼式永磁無(wú)刷電機(jī)（以內(nèi)轉(zhuǎn)子電機(jī)為例）定子鐵心內(nèi)表面開槽后，不僅對(duì)氣隙主磁場(chǎng)分布產(chǎn)生影響，且相鄰槽之間也會(huì)有影響。為了便于分析，作如下假設(shè)：

（1）計(jì)算場(chǎng)域?yàn)槎S磁場(chǎng)，忽略端部效應(yīng)。

（2）定、轉(zhuǎn)子鐵心磁導(dǎo)率無(wú)窮大。

（3）永磁體徑向充磁且相對(duì)磁導(dǎo)率μr=1。

（4）定子槽為徑向直槽，空載槽內(nèi)無(wú)電流。

根據(jù)電機(jī)物理結(jié)構(gòu)和材料屬性，整個(gè)求解區(qū)域劃分為三部分：氣隙區(qū)域 I、永磁體區(qū)域 II和槽區(qū)域 Si(i=1,2,3,…Q)，二維極坐標(biāo)系下電機(jī)物理模型及求解區(qū)域劃分如圖1所示。

圖1 表貼式永磁無(wú)刷電機(jī)求解模型Fig.1 Model of a surface-mounted PM motor

圖1a中Rr為轉(zhuǎn)子鐵心外半徑，Rm為永磁體外半徑，Rs為定子內(nèi)半徑，Rsy為計(jì)及槽深后槽底與轉(zhuǎn)子中心的距離，β 為槽口寬度（以下計(jì)算中轉(zhuǎn)換為弧度），θi為第i槽距離初始設(shè)定基準(zhǔn)位置間的角度，模型建立初始時(shí)刻磁極S極正對(duì)槽中心線處，因此，θi=-β/ 2+2iπ/Q，Q為槽數(shù)。

2.1 氣隙和永磁體區(qū)域矢量磁位數(shù)學(xué)模型

永磁體徑向充磁，在二維極坐標(biāo)系下只有z軸分量有效，由傅里葉分解得其磁化強(qiáng)度M表達(dá)式為r和θ 的函數(shù)[1]

式中 v——永磁體磁場(chǎng)計(jì)算諧波次數(shù)；

p——極對(duì)數(shù)；

θ0——永磁體與初始設(shè)定的基準(zhǔn)位置間偏移角度，本文模型中為0；

αp——極弧系數(shù)。

在極坐標(biāo)下氣隙區(qū)域I和永磁體區(qū)域II矢量磁位方程式為如下：

氣隙區(qū)域I拉普拉斯方程

由分離變量法得以上區(qū)域通解表達(dá)式如下[9]

式中，m為槽數(shù)Q和極對(duì)數(shù)p的最大公約數(shù)。

極坐標(biāo)系中，磁感應(yīng)強(qiáng)度與矢量磁位有如式（6）的關(guān)系

因此，結(jié)合式（6），由圖1電機(jī)物理模型和材料屬性可得如下氣隙和永磁體區(qū)域的邊界條件

2.2 槽區(qū)域矢量磁位數(shù)學(xué)模型

由于采用了直槽模型，簡(jiǎn)化了槽區(qū)域邊界條件，便于其矢量磁位拉普拉斯方程的求解。空載時(shí)二維極坐標(biāo)系下第i槽的矢量磁位拉普拉斯方程為

由分離變量法得槽區(qū)域通解[8]

式中 k——槽區(qū)域磁場(chǎng)諧波次數(shù)，k=1,2,3,…。

由于槽口處磁位連續(xù)，可利用槽口處氣隙區(qū)域矢量磁位傅里葉分解求得槽區(qū)域矢量磁位常數(shù)和各次諧波次數(shù)系數(shù)表達(dá)式，如下式

由式（4）、式（5）、式（12）及邊界條件式（7）和式（14），可解得氣隙和永磁體區(qū)域區(qū)域矢量磁位系數(shù) AIn、BIn、CIn、DIn和 AIIn、BIIn、CIIn、DIIn表達(dá)式（見附錄A.1）。又由式（10）和式（11）可知，在得到氣隙區(qū)域矢量磁位 AI(r,θ)后即可解得槽區(qū)域矢量磁位系數(shù)（見附錄A.2），由此便能求解出槽區(qū)域的磁場(chǎng)分布。

3 齒槽轉(zhuǎn)矩和空載反電動(dòng)勢(shì)計(jì)算

齒槽轉(zhuǎn)矩和空載反電動(dòng)勢(shì)是對(duì)電機(jī)負(fù)載運(yùn)行性能有重要影響的兩個(gè)量，其準(zhǔn)確計(jì)算對(duì)于電機(jī)設(shè)計(jì)和性能分析十分重要。在獲得空載氣隙磁場(chǎng)和槽區(qū)域磁場(chǎng)分布后，即可較方便地計(jì)算出這兩個(gè)參數(shù)。

3.1 齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算

齒槽轉(zhuǎn)矩由定子開槽引起，與定子電流無(wú)關(guān)。計(jì)算電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩主要有兩種方法：虛位移法和麥克斯韋應(yīng)力張量法。虛位移法的缺點(diǎn)是計(jì)算繁復(fù)且效率較低，而麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算轉(zhuǎn)矩只需要在氣隙內(nèi)部沿圓周進(jìn)行一次線積分，理論上計(jì)算結(jié)果與積分路徑無(wú)關(guān)，結(jié)合本文直接解析法特點(diǎn)，選用麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩，由式（4）和式（6）可得齒槽轉(zhuǎn)矩計(jì)算表達(dá)式為

由式（15）可以看出，只要求出氣隙區(qū)域 I矢量磁位 AI(r,θ)表達(dá)式系數(shù)即可較方便地求得齒槽轉(zhuǎn)矩。

3.2 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算

空載反電動(dòng)勢(shì)計(jì)算常用的方法有磁鏈分解法、磁位分解法和磁鏈微分法。由于磁鏈分解法和磁位分解法只能計(jì)算出某一固定時(shí)刻的值，而不能求出動(dòng)態(tài)的隨時(shí)間變化的空載反電動(dòng)勢(shì)波形，因此本文計(jì)算中采用磁鏈微分法

式中 ω——機(jī)械角速度。

假設(shè)繞組線圈在槽內(nèi)均勻分布，則單個(gè)槽內(nèi)磁鏈計(jì)算可由該槽內(nèi)矢量磁位積分獲得, 由于每槽為雙層繞組，故每個(gè)繞組的磁鏈表達(dá)式為

通過計(jì)算轉(zhuǎn)子在不同時(shí)刻的繞組磁鏈，即可獲得轉(zhuǎn)子位置角函數(shù)的相繞組磁鏈波形，從而可以很方便地求得轉(zhuǎn)子在任意速度旋轉(zhuǎn)時(shí)相繞組反電動(dòng)勢(shì)。

4 解析計(jì)算結(jié)果分析比較

為了驗(yàn)證本解析計(jì)算方法的有效性，本文利用以上解析計(jì)算模型，對(duì)一臺(tái)44極48槽內(nèi)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)永磁無(wú)刷電機(jī)空載氣隙磁場(chǎng)、齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果同二維有限元計(jì)算程序計(jì)算結(jié)果及實(shí)驗(yàn)波形作比較。電機(jī)基本數(shù)據(jù)為定子內(nèi)徑90mm，單邊氣隙長(zhǎng)度 0.8mm，槽口寬 1.6mm，槽深 22.5mm，繞組匝數(shù) 50，鐵心軸向長(zhǎng)度 50mm，永磁體厚度8mm，極弧系數(shù)ap=0.9，剩磁Br=1.25 T。計(jì)算中氣隙區(qū)域磁場(chǎng)諧波次數(shù)n取 275，槽區(qū)域磁場(chǎng)諧波次數(shù)k取200。計(jì)算結(jié)果及比較如圖2所示。

圖2a和2b為空載氣隙磁場(chǎng)徑向磁通密度和切向磁通密度波形，圖中分別標(biāo)識(shí)了直接解析法計(jì)算結(jié)果和有限元法計(jì)算結(jié)果以作比較。

圖2 空載氣隙磁通密度波形比較Fig.2 The comparison of flux density waveform in the middle of the air-gap

由圖2波形比較分析可知，圖中徑向磁通密度曲線的下凹對(duì)應(yīng)定子槽引起的磁通密度的下降；由于齒邊緣區(qū)域的氣隙磁導(dǎo)急劇變化引起聚磁效應(yīng)，使得徑向和切向氣隙磁通密度計(jì)算結(jié)果圖形在齒邊緣出現(xiàn)一個(gè)磁通密度尖峰。從圖中可看到直接解析法計(jì)算相對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果在齒邊緣的聚磁效應(yīng)要稍微偏弱，但整個(gè)波形均吻合較好，可見本解析計(jì)算方法是準(zhǔn)確有效的。

圖3為直接解析法和有限元法計(jì)算的齒槽轉(zhuǎn)矩一個(gè)周期變化波形比較。理論上齒槽轉(zhuǎn)矩的最低次諧波是極數(shù)p和槽數(shù)Q最小公倍數(shù)，因而理論周期為(22×360°)/(11×12×4)=15°，從圖中可看到齒槽轉(zhuǎn)矩為周期 15°電角度的脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩。比較圖中可以看出采用麥克斯韋應(yīng)力張量法計(jì)算所得的齒槽轉(zhuǎn)矩與有限元法計(jì)算結(jié)果相對(duì)吻合。

圖3 齒槽轉(zhuǎn)矩波形比較Fig.3 The comparison of cogging torque

圖4 相繞組空載反電動(dòng)勢(shì)波形比較Fig.4 The comparison of no-load EMF waveforms in a phase winding

圖4a為永磁無(wú)刷電機(jī)在轉(zhuǎn)速 140r/min時(shí)電機(jī)相繞組空載反電動(dòng)勢(shì)直接解析法計(jì)算波形，峰值100V。圖 4b為樣機(jī)實(shí)驗(yàn)波形，橫軸為時(shí)間軸，每大格為10ms，共計(jì)0.1s，縱軸為反電動(dòng)勢(shì)幅值，每大格為50V，正負(fù)均為100V。由圖4a和4b比較可知解析計(jì)算反電動(dòng)勢(shì)無(wú)論是時(shí)間周期還是波形幅值均較為一致。充分肯定了本直接解析法的計(jì)算精度。

5 結(jié)論

本文建立了表貼式徑向充磁永磁無(wú)刷電機(jī)空載矢量磁位磁場(chǎng)解析模型，編寫了相應(yīng)的解析計(jì)算程序，以實(shí)際樣機(jī)為例計(jì)算了其空載氣隙主磁場(chǎng)、齒槽轉(zhuǎn)矩和反電動(dòng)勢(shì)，與有限元法計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)波形相比較證明了本方法的正確性和有效性。該方法既保證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，又可很方便地獲得氣隙磁場(chǎng)和槽內(nèi)磁場(chǎng)的解析解，為進(jìn)一步研究與氣隙磁場(chǎng)和槽內(nèi)磁場(chǎng)有關(guān)的物理量提供了方便。本文采用的矢量磁位解析法計(jì)算速度較快，不僅適合分?jǐn)?shù)槽電機(jī)，同樣適合整數(shù)槽電機(jī)，具有普適性。

附 錄

1.氣隙區(qū)域I和永磁體區(qū)域II矢量磁位

表達(dá)式系數(shù)如下：

表達(dá)式為

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