馮昌林，王德石，朱擁勇

（海軍工程大學(xué) 兵器工程系，武漢430033）

過渡過程中萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)分析

馮昌林，王德石，朱擁勇

（海軍工程大學(xué) 兵器工程系，武漢430033）

研究了萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系在過渡過程中的橫向振動(dòng)問題。將從動(dòng)軸處理為剛性軸，用一對歐拉角表示從動(dòng)軸的橫向振動(dòng)角位移，在建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，得到萬向鉸的傳遞力矩，將支撐軸承處理為一對正交的彈簧－阻尼器系統(tǒng)，利用改進(jìn)的歐拉方程推導(dǎo)出過渡過程中萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)模型。對模型進(jìn)行數(shù)值仿真，分析主動(dòng)軸角加速度對振動(dòng)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：萬向鉸傳遞力矩引起系統(tǒng)的自激振動(dòng)和參數(shù)振動(dòng)，而萬向鉸結(jié)構(gòu)偏斜和誤差偏斜的存在，既能直接影響從動(dòng)軸所受彎曲力矩的大小，還能引起系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)。主動(dòng)軸角加速度的變化影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，角加速度越大，經(jīng)過相同時(shí)間后，從動(dòng)軸振動(dòng)幅度變得越小。研究工作對進(jìn)一步確定萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的過渡過程運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性具有重要的意義。

萬向鉸；橫向振動(dòng)；偏斜軸系；過渡過程

1 引 言

偏斜軸系的振動(dòng)問題是航行體動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)重要的研究內(nèi)容。考慮用萬向鉸（萬向聯(lián)軸器）運(yùn)動(dòng)約束描述一類軸系的偏斜。由于萬向鉸的運(yùn)動(dòng)傳輸特性，即使在主動(dòng)軸轉(zhuǎn)速和輸入力矩恒定的定常工況下，從動(dòng)軸依然表現(xiàn)出波動(dòng)的轉(zhuǎn)速，承受波動(dòng)的傳遞彎矩和軸向轉(zhuǎn)矩的作用，從而引起軸系的非線性振動(dòng)。而在過渡過程中，軸系加（減）速的運(yùn)動(dòng)沖擊作用將使振動(dòng)呈現(xiàn)更加復(fù)雜的特性。本文旨在研究變工況條件下過渡過程中萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的瞬態(tài)橫向振動(dòng)問題。

早在20世紀(jì)40年代，《Machine Design》刊物中就基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)給出了萬向鉸引起的速度、加速度波動(dòng)表達(dá)式[1]，為了避免萬向鉸帶來的軸速波動(dòng)問題，現(xiàn)行機(jī)械設(shè)計(jì)手冊中也制定了相應(yīng)的設(shè)計(jì)與使用規(guī)范，并且指出，可以利用等角度平行或相交的雙鉸布置方案消除速度波動(dòng)，即使這樣，萬向鉸的存在仍然使得軸系的振動(dòng)問題難以避免。1958年，Rosenberg[2]就曾采取具有集中轉(zhuǎn)子質(zhì)量的均勻無質(zhì)量彈性軸模型對萬向鉸傳動(dòng)的旋轉(zhuǎn)軸的橫向振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行過研究，得到了偏斜角導(dǎo)致的各種亞臨界失穩(wěn)條件，研究成果至今仍得到學(xué)術(shù)界的普遍重視。結(jié)果同時(shí)表明，振動(dòng)的穩(wěn)定性依賴于傳遞力矩的幅度。Iwatsubo和Saigo[3]一起，研究了彈性支撐下的有非跟隨力矩作用的剛性軸，將幾何約束處理為零偏斜角度，即類似于直軸，而考慮萬向鉸約束下的運(yùn)動(dòng)波動(dòng)，給出了力矩表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)了參數(shù)失穩(wěn)和顫振型失穩(wěn)；并在廣義坐標(biāo)的選擇方法上，給出了萬向鉸驅(qū)動(dòng)軸橫向振動(dòng)的Euler坐標(biāo)描述方法。與此同時(shí)，Ota等[4-5]發(fā)表的研究報(bào)告中，導(dǎo)出了萬向鉸約束中的波動(dòng)力（力矩），研究了約束激勵(lì)下的橫向強(qiáng)迫振動(dòng)機(jī)理與規(guī)律，給出了特征參數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果。其后，又進(jìn)一步考慮了摩擦，將軸系中的從動(dòng)軸考慮為無質(zhì)量、偏心且對稱的轉(zhuǎn)子，將軸柔性處理為集中剛度，研究了參數(shù)共振問題，得到了當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速接近于扭轉(zhuǎn)、或者橫向固有頻率的偶數(shù)倍時(shí)，產(chǎn)生參數(shù)共振。1997年，Saigo等[7]進(jìn)一步研究了多剛性軸、多鉸系統(tǒng)，忽略了角速度波動(dòng)，而注重考察摩擦，研究指出，諸多鉸中一個(gè)鉸中的摩擦就能導(dǎo)致不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)；該研究在數(shù)學(xué)模型上避開了系統(tǒng)的時(shí)變特性，故無法處理參數(shù)激勵(lì)的穩(wěn)定性問題。盡管由于研究過程中做了較多假設(shè)，但還存在進(jìn)一步的待研究空間，而Rosenberg和Iwatsubo的工作，仍然是研究萬向鉸驅(qū)動(dòng)軸系橫向振動(dòng)與穩(wěn)定性的經(jīng)典成果，對本文的模型研究也具有參考價(jià)值。

本文將研究萬向鉸傳動(dòng)的剛性旋轉(zhuǎn)軸在過渡過程中的瞬態(tài)橫向振動(dòng)問題。建立偏斜軸系上的一組坐標(biāo)系，推導(dǎo)萬向鉸傳動(dòng)的傳遞力矩和從動(dòng)軸端的軸承力矩，利用剛性體的歐拉旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程建立萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸的運(yùn)動(dòng)方程，取方程的一次近似進(jìn)行橫向振動(dòng)分析，并進(jìn)行數(shù)值仿真。

2 模型描述

取單萬向鉸傳動(dòng)的偏斜軸系，系統(tǒng)包括主動(dòng)軸、從動(dòng)軸和萬向鉸十字軸。主動(dòng)軸的極向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，從動(dòng)軸的橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JL，η為從動(dòng)軸的極向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的比值，萬向鉸的結(jié)構(gòu)偏斜角為φ，誤差偏斜角為β、γ，從動(dòng)軸橫向振動(dòng)的角位移為βL、γL。分別建立主動(dòng)軸上的固定坐標(biāo)系X0Y0Z0，十字軸上的固定坐標(biāo)系XYZ，理想從動(dòng)軸上的固定坐標(biāo)系x0y0z0，實(shí)際從動(dòng)軸上的固定坐標(biāo)系xyz和振動(dòng)后從動(dòng)軸上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系x2y2z2，如圖1所示。同一點(diǎn)在x2y2z2坐標(biāo)系和在XYZ坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換關(guān)系如下：

圖1 萬向鉸系統(tǒng)坐標(biāo)系Fig.1 Reference frames of U-joint system

3 力矩分析

本文研究偏斜軸系的橫向振動(dòng)，因此忽略從動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)彈性，從動(dòng)軸受到的外力主要包括兩部分。第一部分是萬向鉸十字架作用在從動(dòng)軸上的力，這些力共同產(chǎn)生的合力矩就是主動(dòng)軸輸入力矩通過萬向鉸傳遞到從動(dòng)軸上的力矩；第二部分是軸承處的彈簧力和阻尼力，分別對從動(dòng)軸作用產(chǎn)生彈簧力矩和阻尼力矩。

首先計(jì)算萬向鉸傳遞力矩。記主動(dòng)軸輸入力矩為T0，主動(dòng)軸角加速度為α，若不考慮十字軸的質(zhì)量以及十字軸與軸叉之間的摩擦，則主動(dòng)軸通過軸叉作用于十字軸上的力矩與十字軸通過軸叉作用在從動(dòng)軸上的力矩相等，而且傳遞到從動(dòng)軸上的力矩作用在十字軸平面的法線方向。計(jì)及振動(dòng)角βL和γL，應(yīng)用矢量投影和坐標(biāo)變換，考慮小角度偏斜及小振動(dòng)情況，將三角函數(shù)展成冪級數(shù)形式并忽略高階項(xiàng)后有 cosφ≈cos β≈cosγ≈cos βL≈cosγL≈1，sinφ≈φ，sin β≈β，sinγ≈γ，sin βL≈βL和 sinγL≈γL，忽略高次項(xiàng)后可得萬向鉸傳遞力矩的線性化近似如下：

下面計(jì)算軸承端的彈簧力矩和阻尼力矩。從動(dòng)軸一端與萬向鉸相連，另一端由軸承支撐。將軸承處理為互相垂直的兩對彈簧與阻尼器，如圖2所示，其中沿x2軸方向彈簧剛度系數(shù)為Kx2、阻尼器阻尼系數(shù)為Cx2，沿y2軸方向彈簧剛度系數(shù)為Ky2、阻尼器阻尼系數(shù)為Cy2。這樣，軸承力矩就轉(zhuǎn)化為由彈力與阻尼力產(chǎn)生的力矩，而由彈力與阻尼力產(chǎn)生的力矩主要取決于從動(dòng)軸末端的位移，即從動(dòng)軸的變形。如圖3所示，未變形時(shí)，從動(dòng)軸向量OA為l→=lk；產(chǎn)生橫向振動(dòng)后，從動(dòng)軸形變而引起向量O>?A變化為l→2=lk2；從而，從動(dòng)軸形變?yōu)閐→=l→2-l→。

通過運(yùn)算和簡化可得彈簧力矩和阻尼力矩在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系x2y2z2中的分量表達(dá)式為：

圖2 軸承的彈簧—阻尼器模型Fig.2 The spring-damping model of bearing

圖3 從動(dòng)軸的形變Fig.3 The deflection of driven shaft

4 運(yùn)動(dòng)方程建立

萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)可以看成是從動(dòng)軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)O（萬向鉸十字軸的中心）的轉(zhuǎn)動(dòng)。假定Jx2、Jy2和Jz2分別為從動(dòng)軸繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系x2y2z2中Ox2、Oy2和Oz2軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，利用改進(jìn)的從動(dòng)軸繞原點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的普遍運(yùn)動(dòng)微分方程（即歐拉方程），就可以建立該萬向鉸傳動(dòng)的從動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)方程：

將（2）、（3）、（4）式和（7）式代入（5）式和（6）式可得：

將方程（8）和（9）化為無量綱形式，并寫成矩陣形式如下：

方程（10）左邊第二項(xiàng)的系數(shù)矩陣為阻尼矩陣，阻尼矩陣中的元素有的是常數(shù)，由系統(tǒng)參數(shù)決定，有的是變量，與無量綱時(shí)間τ有關(guān)；左邊第三項(xiàng)的系數(shù)矩陣為剛度矩陣，剛度矩陣是常數(shù)矩陣，只與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)；左邊第四項(xiàng)不含無量綱時(shí)間τ的函數(shù)，僅與橫向振動(dòng)本身有關(guān)，故它能引起系統(tǒng)的自激振動(dòng)，產(chǎn)生顫振型失穩(wěn)；左邊第五項(xiàng)和第六項(xiàng)含有無量綱時(shí)間τ的正弦、余弦函數(shù)，作為參數(shù)激勵(lì)，能引起系統(tǒng)的參數(shù)共振；方程右邊為強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng)，它能引起系統(tǒng)的強(qiáng)迫共振，其中右邊第一項(xiàng)是由萬向鉸結(jié)構(gòu)偏斜引起的，右邊第二項(xiàng)是表示萬向鉸誤差偏斜對萬向鉸驅(qū)動(dòng)的偏斜軸系橫向振動(dòng)的影響。方程左邊第四、五、六項(xiàng)及右邊項(xiàng)都含有從動(dòng)軸受到的彎曲力矩，它們均與主動(dòng)軸輸入力矩T0和主動(dòng)軸角加速度α有關(guān)，是對由萬向鉸傳遞力矩引起從動(dòng)軸橫向振動(dòng)的定量描述，可見，對于萬向鉸驅(qū)動(dòng)的偏斜軸系橫向振動(dòng)問題，萬向鉸傳遞力矩不僅能引起系統(tǒng)的自激振動(dòng)，還能引起系統(tǒng)的參數(shù)振動(dòng)。

5 模型數(shù)值仿真

取一組實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)：l=0.46 m，從動(dòng)軸密度ρ=7.83×103kg/m3，從動(dòng)軸橫截面半經(jīng)R=2.40×10-3m，n=3.96×10-5，T0=0.3 N·m，Kx2=Ky2=7.740 N/m，Cx2=Cy2=1×10-3N/（m/s），則 JL=πρR2l3/3=4.597×103kg·m2。由文獻(xiàn)[8]可知，當(dāng)萬向鉸偏斜角較小時(shí)，從動(dòng)軸的角速度波動(dòng)很小，因此這里忽略從動(dòng)軸的角速度波動(dòng)，即p（τ）=1，取偏斜角 φ=5°=0.087 3 rad，β=γ=1°=0.017 5 rad，主動(dòng)軸角加速度為 α=0.02 rad/s2時(shí)，方程（10）對應(yīng)的系統(tǒng)橫向振動(dòng)響應(yīng) βL和 γL如圖 4 所示，其中，βL和 γL的單位為弧度（rad），時(shí)間 t的單位為秒（s），以下所有系統(tǒng)響應(yīng)圖中的單位均與此相同。由圖4可知，在這組參數(shù)條件下系統(tǒng)的橫向振動(dòng)響應(yīng)是不穩(wěn)定的，振動(dòng)幅度隨時(shí)間增加而增大；βL和γL的振動(dòng)響應(yīng)數(shù)值不同，但是變化規(guī)律相同。

圖4 系統(tǒng)響應(yīng)圖（α=0.02 rad/s2）Fig.4 Response of system(α=0.02 rad/s2)

過渡過程與平穩(wěn)工況下的明顯不同就是要考慮主動(dòng)軸的加速轉(zhuǎn)動(dòng)，為了研究角加速度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，令其它參數(shù)保持不變，畫出α=0.04 rad/s2和α=0.08 rad/s2時(shí)系統(tǒng)的橫向振動(dòng)響應(yīng)βL如圖5和圖6所示。比較圖4、圖5和圖6可以看出，α=0.02 rad/s2時(shí)，βL由開始時(shí)的0.007 rad經(jīng)過100 s后增加到0.015 rad；α=0.04 rad/s2時(shí)，βL經(jīng)過100 s后幾乎保持在0.007 rad左右，幅度沒有變化；而α=0.08 rad/s2時(shí)，βL由開始時(shí)的0.007 rad經(jīng)過100 s后減小到0.003 rad。因此主動(dòng)軸角加速度的變化影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，角加速度越大，經(jīng)過相同時(shí)間后，振動(dòng)幅度變得越??；在本文所取的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)條件下，α＜0.04 rad/s2時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，α≥0.04 rad/s2時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

圖5 系統(tǒng)響應(yīng)圖（α=0.04 rad/s2）Fig.5 Response of system(α=0.04 rad/s2)

圖6 系統(tǒng)響應(yīng)圖（α=0.08 rad/s2）Fig.6 Response of system(α=0.08 rad/s2)

當(dāng)然，在萬向鉸及變工況的共同作用下，偏斜旋轉(zhuǎn)軸系的穩(wěn)定性是復(fù)雜的，系統(tǒng)包含自激振動(dòng)、參激振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)成分，而且會(huì)表現(xiàn)出多種共振形式，包括和型組合共振、差型組合共振、主共振及超諧波共振等，對過渡過程中萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系橫向振動(dòng)的詳細(xì)穩(wěn)定性分析將在后續(xù)文章中進(jìn)行研究。

6 結(jié) 論

本文研究了過渡過程中萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)問題。首先，將偏斜旋轉(zhuǎn)軸的橫向振動(dòng)以從動(dòng)軸的角位移βL和γL表示，在建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，將支撐軸承處理為一對正交的彈簧－阻尼器系統(tǒng)，利用歐拉方程推導(dǎo)出了過渡過程中萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)模型，該模型為兩自由度參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)。從分析該模型可以看出，萬向鉸傳遞力矩引起了系統(tǒng)的自激振動(dòng)和參數(shù)振動(dòng)，而萬向鉸結(jié)構(gòu)偏斜和誤差偏斜的存在，既能直接影響從動(dòng)軸所受彎曲力矩的大小，還能引起系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)。利用龍格－庫塔法對該偏斜軸系橫向振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果表明主動(dòng)軸角加速度的變化影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文得到的振動(dòng)模型為后續(xù)研究分析過渡過程中萬向鉸傳動(dòng)偏斜軸系的橫向振動(dòng)穩(wěn)定性奠定了基礎(chǔ)。

[1]Jermy L E．Velocity and acceleration analysis of universal joints[J]．Machine Design,1942,14(11):93-94．

[2]Rosenberg R M,Ohio T．On the dynamical behavior of rotating shafts driven by universal(Hooke)couplings[J]．ASME Journal of Applied Mechanics,1958,25(1):47-51．

[3]Iwatsubo T,Saigo M．Transverse vibration of a rotor system driven by a cardan joint[J]．Journal of Sound and Vibration,1984,95(1):9-18．

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[6]Kato M,Ota H．Lateral excitation of a rotating shaft driven by a universal joint with friction[J]．Journal of Vibration and A-coustics,1990,112:298-303．

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[8]馮昌林,王德石,朱擁勇．變工況條件下萬向鉸驅(qū)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)特性分析[C]．龔自正．?dāng)?shù)學(xué)力學(xué)物理學(xué)高新技術(shù)交叉研究進(jìn)展—2010卷．北京:科學(xué)出版社,2010:479-484．

Lateral vibration analysis of misaligned shafting driven by a universal joint during transient process

FENG Chang-lin,WANG De-shi,ZHU Yong-yong

(Department of Weaponry Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

The lateral vibration of misaligned shafting driven by a universal joint during transient process is investigated.The driven shaft is assumed to be a rigid shaft,and the angular deflection of lateral vibration is described by a pair of Euler’s angles,the components of the moment transmitted by the universal joint with respect to a moving frame are obtained.The bearing is modeled by pairs of springs and dampers,then the lateral vibration differential equations were established applying the modified version of Euler’s equations.Using direct numerical integration for a set of parameter values,the response of lateral vibration is found,and the effects of angular acceleration on vibration response are analyzed.The results indicate that the transmitted torque causes not only parametric vibrations but also self-excited ones,the misalignments of universal joint affect the bending moment acting on the driven shaft directly,and cause the forced resonances of system.The angular acceleration of the driving shaft affects the stability of system,the vibration amplitudes decrease with the increase of angular acceleration.The research work makes sense in confirming the dynamic stability of misaligned shafting driven by universal joint during transient process.

universal joint;lateral vibration;misaligned shafting;transient process

TH133.4

A

1007-7294（2012）11-1314-07

2011-11-17

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50875259）和教育部留學(xué)回國人員科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目

馮昌林（1983-），男，海軍工程大學(xué)博士生，E-mail:fcl_325@126.com；

王德石（1963-），男，海軍工程大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。