李 鵬，馬興宇，明 曉

（1.南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，南京 210016；2.南京航空航天大學(xué) 空氣動力學(xué)系，南京 210016）

多孔探針系統(tǒng)誤差分析

李 鵬1，2，馬興宇2，明 曉2

（1.南京航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，南京 210016；2.南京航空航天大學(xué) 空氣動力學(xué)系，南京 210016）

以不可壓流場的Bernoulli方程和勢流理論為出發(fā)點(diǎn)詳細(xì)推導(dǎo)了多孔探針的基本測量原理并獲得了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而將具有不同頭部（如球體、圓錐體）、不同孔數(shù)（如3、5、7乃至18孔）的各種類型多孔探針納入到相同的數(shù)學(xué)模型之下，為系統(tǒng)分析各類探針提供了條件。通過分析推導(dǎo)過程，得出了多孔探針測量數(shù)學(xué)模型成立的4個(gè)基本約束條件。在實(shí)際測量過程中若偏離這4個(gè)基本條件必然會在測量結(jié)果中引入系統(tǒng)誤差。將由此引入的系統(tǒng)誤差分別歸納為：數(shù)學(xué)模型誤差、制造誤差以及使用誤差，并逐個(gè)進(jìn)行了詳細(xì)的分析。同時(shí)，還以較為常用的七孔探針為例，采用計(jì)算流體力學(xué)軟件對以上3種情況造成的誤差進(jìn)行了定量計(jì)算。根據(jù)以上分析和計(jì)算結(jié)果，為實(shí)際應(yīng)用中選擇合適類型的探針、確定使用條件、評估測量系統(tǒng)誤差給出了詳細(xì)的建議。

多孔探針；系統(tǒng)誤差分析；模型誤差；制造誤差；數(shù)值模擬

0 引 言

多孔探針是一種在探針頭部分布有若干測壓孔的三維流場測試工具，這些探針的頭部通常呈球形或圓錐形。根據(jù)其頭部分布的測壓孔數(shù)目的不同，多孔探針又可分為三孔探針、五孔探針、七孔探針、九孔探針、甚至十八孔探針。盡管很多基于光電技術(shù)的流場測量系統(tǒng)，例如激光多普勒測速儀、PIV系統(tǒng)、熱線風(fēng)速儀等，被廣泛使用在三維流場測試領(lǐng)域，但多孔探針作為一種可靠性很高的測試工具仍然具有廣闊的應(yīng)用前景［1－2］，甚至在一些特殊的測試場合具有不可替代性。與光學(xué)方法相比，它無需示蹤粒子及復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)，且對環(huán)境震動也不敏感；與熱線風(fēng)速儀相比，其具有較強(qiáng)的抗機(jī)械破壞能力。

在多孔探針的使用過程中應(yīng)對其測量誤差的來源和大小做到心中有數(shù)，從而幫助提高測量結(jié)果的精度，并幫助實(shí)驗(yàn)人員判斷測量結(jié)果的置信區(qū)間。盡管不少研究者［3－5］已經(jīng)用誤差分析理論對某一具體類型探針（如七孔或五孔探針）在測量過程中各測量量引入的誤差進(jìn)行了詳細(xì)分析并給出了其不確定度。但并未從多孔探針基本測量原理的角度系統(tǒng)地研究過其數(shù)學(xué)模型、制造、使用等方面因素給測量帶來的系統(tǒng)誤差。本研究將以多孔探針的基本測量原理為出發(fā)點(diǎn)深入分析引起多孔探針測量系統(tǒng)誤差的多方面原因，并以七孔探針為例運(yùn)用計(jì)算流體力學(xué)方法對以上因素進(jìn)行了定量計(jì)算，進(jìn)而給出相關(guān)的系統(tǒng)誤差數(shù)據(jù)。由于采用相同的測量原理及分析方法，因此這些數(shù)據(jù)可作為其他類型多孔探針使用和分析的參考。

1 測量原理分析

多孔探針測量流場中速度矢量的基本原理是以Bernoulli方程為基礎(chǔ)，運(yùn)用勢流理論，通過測量探針頭部各孔壓力對其繞流的駐點(diǎn)位置及滯止壓力進(jìn)行預(yù)測，從而獲取待測流場某空間點(diǎn)的速度矢量、總壓和靜壓。

如圖1所示，有一頭部為球形的探針，并以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)定義直角坐標(biāo)系，在繞球體的不可壓勢流場中，若p和u分別為來流的靜壓和速度，且該流場在球體上的駐點(diǎn)為圖中“★”號所示位置，該位置可表示為俯仰角θ和方位角φ，其中θ是速度向量與探頭軸線之間的夾角，始終為正。φ是速度向量在YZ平面內(nèi)的投影與Z平面之間的夾角，迎著探針頭部方向看去逆時(shí)針為正。pi和ui分別是繞流球體上點(diǎn)i的靜壓和速度大小。于是對于以上待測量p、u（包括大小u及方向θ、φ），由Bernoulli方程得：

由勢流理論可知球體上的速度分布滿足如下關(guān)系式：

圖1 多孔探針測量原理分析示意圖Fig.1 The diagram of multi－h(huán)ole probe measurement principle

其中，γi是駐點(diǎn)與球體上i點(diǎn)對球心連線的夾角，如圖1所示。

若孔i在球體上的位置（θi，φi）已知，則可根據(jù)簡單的幾何關(guān)系將角度γi表示為駐點(diǎn)位置角θ和φ的函數(shù)γi（θ，φ），于是綜合式（1）～（3）可得：

由式（4）可知為了求解4個(gè)未知量（p，u，θ，φ），需要至少4個(gè)獨(dú)立的條件使方程封閉，因此探針至少需要4個(gè)非共線的測壓孔，且這4個(gè)測壓孔所處區(qū)域應(yīng)與勢流理論解接近，例如，這些孔應(yīng)該避免處于分離區(qū)內(nèi)。這就是為什么運(yùn)用七孔探針進(jìn)行大角度測量時(shí)只能采用其中4個(gè)孔的壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，而在小流動角下可使用7個(gè)孔的壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

由以上分析可知，為了使用探針進(jìn)行流場速度矢量測量，需要滿足如下條件：（1）所使用測壓孔實(shí)際壓力值應(yīng)與勢流理論給出的結(jié)果一致；（2）探針頭部測壓孔的幾何位置應(yīng)與計(jì)算模型保持一致；（3）探針測量的應(yīng)是沒有速度梯度的均勻來流；（4）應(yīng)確保被測流場介質(zhì)的不可壓屬性，且測量結(jié)果與Reynolds數(shù)無關(guān)。若實(shí)際測量中存在與以上條件偏離的情況，則必然會使測量結(jié)果與待測量的真值間存在誤差。該誤差與文獻(xiàn)［3－5］中的誤差分析之間的根本區(qū)別在于：文獻(xiàn)中的誤差是由測量壓力傳感器及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)引入的，而本文所指誤差是由于各種原因使探針系統(tǒng)本身偏離其設(shè)計(jì)模型而引入的探針系統(tǒng)誤差。正如前所述，導(dǎo)致這一系統(tǒng)誤差的根本原因就在于實(shí)際測量條件與理論設(shè)計(jì)模型間在以上4個(gè)約束條件上的偏離；綜合以上4種偏離現(xiàn)象可將引起多孔探針系統(tǒng)誤差的原因歸納為多孔探針的模型、制造、使用3方面因素，以下將分別予以分析和討論。

2 模型誤差

由第1節(jié)的分析可知，多孔探針測量流場速度矢量的基本方程由式（4）給出，而獲得該式的重要依據(jù)之一是由勢流理論推導(dǎo)出的球體上速度分布規(guī)律，即式（3）；由于勢流理論并未考慮流體粘性的影響，因此該結(jié)果與實(shí)際流動必然存在偏差。若將流體粘性影響考慮在內(nèi)［6］，式（3）可修正為：

為了便于比較，將式（3）中的正弦函數(shù)展開為γi的冪級數(shù)形式并重新整理如下：

對比式（5）和式（6）可得到如下結(jié)論：

（1）勢流理論獲得的結(jié)果與實(shí)際流動存在偏差，該偏差必然會在探針測量結(jié)果中引入誤差，這種誤差是由于對測量探針進(jìn)行建模時(shí)引入的系統(tǒng)誤差，即模型誤差；（2）以上模型誤差隨著γi的減小而減小，當(dāng)γi較小時(shí)由模型誤差引入的測量偏差可以接受。因此為了提高探針的測量精度，應(yīng)使測量時(shí)獲得的γi值盡量小。為達(dá)到該目的，應(yīng)盡可能增加探針頭部測壓孔的密度。因此為了得到高精度的測量結(jié)果，從最基本的5孔、7孔到9孔、13孔甚至18孔的高密度壓力孔多孔探針不斷出現(xiàn)。

為了定量分析采用勢流模型對多孔探針引入的系統(tǒng)誤差，接下來將運(yùn)用計(jì)算流體力學(xué)軟件Fluent進(jìn)行流場計(jì)算。由于制造的原因，目前很大一部分探針采用如圖2所示的錐型頭部七孔探針［1－5］，因此為了便于對比且為實(shí)際使用提供參考，以下數(shù)值模擬將以該類型探針為對象進(jìn)行計(jì)算。需要說明的是，錐形頭部的探針與球形頭部探針的測量原理及模型是一致的；但根據(jù)Schlichting［7］給出的數(shù)據(jù)可知，在表面壓力分布上錐型頭部探針與球形頭部探針相比其實(shí)際值與勢流理論計(jì)算值偏差要大，從而其引入的模型誤差必然大于球形頭部的探針。圖3為用三維網(wǎng)格生成軟件Gambit構(gòu)造的探針表面網(wǎng)格分布。Fluent解算參數(shù)如下：流動為低速定常不可壓粘性流，控制方程為雷諾平均N－S方程，湍流模型為S－A模型，流場計(jì)算區(qū)域邊界條件為：前方及上方邊界處設(shè)為速度入流邊界，取無窮遠(yuǎn)來流速度；后方取為壓強(qiáng)出流邊界；探針表面及孔內(nèi)表面取為壁面邊界條件。無窮遠(yuǎn)來流速度大小為17m／s，溫度為15℃。為了實(shí)現(xiàn)測量計(jì)算，首先按照相關(guān)文獻(xiàn)［3］的方法對多孔探針進(jìn)行了數(shù)值校準(zhǔn)，以獲得校準(zhǔn)矩陣。校準(zhǔn)計(jì)算時(shí)，θ角為6°～72°，以6°為間隔；φ角為－25°～325°，以10°為間隔（對于內(nèi)區(qū)，θ和φ將折算為α和β，其中α為迎角，即速度向量在XZ平面內(nèi)的投影與X軸之間的夾角；β為側(cè)滑角，即速度向量與XZ平面之間的夾角），總計(jì)432個(gè)狀態(tài)?？紤]到1～6孔具有對稱的位置，故只需考慮半?yún)^(qū)內(nèi)的3個(gè)φ角（如155°、165°和175°），共計(jì)36個(gè)狀態(tài)，即可得到各區(qū)的校準(zhǔn)系數(shù)。

具體計(jì)算獲得的七孔探針各區(qū)測量擬合標(biāo)準(zhǔn)偏差，如表1所示。對比文獻(xiàn)［8］，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)實(shí)際測量獲得的結(jié)果較為一致，因此該結(jié)果應(yīng)該是可信的。由于數(shù)值計(jì)算中不存在壓力傳感器、數(shù)據(jù)采集設(shè)備、七孔探針制造等因素引入的誤差，因此其標(biāo)準(zhǔn)差小于測量結(jié)果。但其誤差也不能忽視，而該誤差應(yīng)主要來源于本節(jié)指出的模型誤差。

圖2 七孔探針幾何外形Fig.2 The geometric shape of seven－h(huán)ole probe

圖3 七孔探針的表面網(wǎng)格Fig.3 The surface mesh of seven－h(huán)ole probe

表1 數(shù)值標(biāo)定精度Table 1 Numerical calibration precision

3 制造誤差

在第1節(jié)的分析中，假定多孔探針上孔i在球體上的位置（θi，φi）已知，從而得到了如式（4）給出探針測量基本模型，但在探針的實(shí)際制造過程中由于機(jī)械加工的精度限制，探針上各孔的具體位置與設(shè)計(jì)時(shí)給定的模型位置必然存在偏差。為了降低由于這種制造因素帶來的影響，實(shí)際使用過程中每根探針必須要進(jìn)行單獨(dú)校準(zhǔn)。然而，這并不能完全消除由此引起的誤差。本節(jié)將以上節(jié)的內(nèi)容為基礎(chǔ)分別對錐形頭部七孔探針的4號孔沿徑向存在10μm及50μm偏移情況下的標(biāo)準(zhǔn)誤差進(jìn)行計(jì)算分析。采用與上一節(jié)相同的計(jì)算參數(shù)并重新調(diào)整4號孔的位置及相應(yīng)網(wǎng)格。因只考慮4號孔徑向偏移，2號孔和6號孔、3號孔和5號孔具有對稱的位置，故校準(zhǔn)時(shí)只需計(jì)算216個(gè)狀態(tài)。具體計(jì)算結(jié)果如表2和3所示。

通過表2和3的數(shù)據(jù)可知：4號孔沿徑向外移10μm，對4區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)偏差影響不大，但對相鄰的3區(qū)和5區(qū)、相對的1區(qū)以及7區(qū)產(chǎn)生了較大的影響（考慮到偏移量很小）。原因在于4號孔的偏移造成的不對稱將通過式（3）給3區(qū)和5區(qū)的校準(zhǔn)引入誤差，使得標(biāo)準(zhǔn)偏差增大；1區(qū)的σ（φ）顯著增大，但σ（θ）及總壓和動壓的標(biāo)準(zhǔn)偏差反而有了下降，結(jié)合表3中偏移50μm的結(jié)果可以看出，單純的4號孔徑向外移，使得1區(qū)的校準(zhǔn)精度（φ除外）略有提高，但隨著偏移量的增大，這種效應(yīng)又會逐漸消失；對于7區(qū)，動壓的標(biāo)準(zhǔn)偏差有所增大，但σ（α）和σ（β）卻有所減小，原因在于4號孔的外移使得式（3）中的3對孔的壓力差值增大，對角度的校準(zhǔn)精度相應(yīng)地有所提高。當(dāng)4號孔沿徑向外移50μm時(shí)，雖然對1區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)偏差影響不太大，但4區(qū)的標(biāo)準(zhǔn)偏差發(fā)生了較大改變，動壓的標(biāo)準(zhǔn)偏差已超出2%。因此，綜合來說，由于制造誤差的存在增大了多孔探針的系統(tǒng)誤差，且制造誤差越大所帶來的系統(tǒng)誤差也越大。此外，需要說明的是，由于制造的原因探針頭部的光潔度對流動也會產(chǎn)生影響，從而引入誤差；但考慮到加工中較容易保證表面光潔度，因此對于這一情況本節(jié)中予以忽略。

表2 4號孔偏移10μm時(shí)校準(zhǔn)公式的標(biāo)準(zhǔn)偏差Table 2 The standard deviation of 4hole offset 10μm

表3 4號孔偏移50μm時(shí)校準(zhǔn)公式的標(biāo)準(zhǔn)偏差Table 3 The standard deviation of 4hole offset 50μm

4 使用誤差

4.1 使用速度范圍

為了將多孔探針的測量數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到不同流體介質(zhì)中測量不同速度，必須要使測量結(jié)果獨(dú)立于流場的Reynolds數(shù)。考慮到采用多孔探針測量流場是通過探針頭部的壓力值導(dǎo)出，因此為了獲得獨(dú)立于Reynolds數(shù)的測量結(jié)果，可通過考察探針頭部的壓力分布與Reynolds數(shù)間的關(guān)系得出一些有益的結(jié)論。由于流場中物體的阻力系數(shù)CD與其表面的壓力分布密切相關(guān)，且其與Reynolds數(shù)間的關(guān)系有豐富的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以利用，因此要確立與Reynolds數(shù)無關(guān)的測量結(jié)果，可通過考察阻力系數(shù)與Reynolds數(shù)間的關(guān)系獲得。由量綱分析可知，阻力系數(shù)CD是Reynolds數(shù)、馬赫數(shù)及物體表面粗糙系數(shù)ˉk的函數(shù)?？紤]到加工中較容易保證表面光潔度，因此對于物體表面粗糙系數(shù)的影響予以忽略。由文獻(xiàn)［7］可知：對于光滑球體，在1×103＜Re＜1.8×105范圍內(nèi)，阻力系數(shù)CD與Reynolds數(shù)的變化幾乎無關(guān)。于是由此可得到多孔探針使用的速度下限為：

若在20℃下使用直徑d＝3mm的探針測量空氣（ν≈15×10－6m2／s）的速度，則其最小測量速度應(yīng)不小于5m／s，否則將會產(chǎn)生較大誤差。

此外，由文獻(xiàn)［7］知，當(dāng)馬赫數(shù)小于0.3時(shí)阻力系數(shù)CD與馬赫數(shù)無關(guān)，于是可得到多孔探針使用的速度上限為：

其中a為音速。若在20℃下使用多孔探針測量空氣（a＝344m／s）的速度，則其最大測量速度應(yīng)不大于100m／s，否則將會產(chǎn)生較大誤差。

4.2 速度梯度誤差

以上多孔探針的測量原理是基于速度梯度無關(guān)的均勻流場的假設(shè)推導(dǎo)的，若實(shí)際使用過程中偏離這一假設(shè)，如圖4所示，當(dāng)探針處于流線間具有梯度的流場（即剪切流場）中時(shí)，也必將給測量帶來誤差。文獻(xiàn)［4］針對五孔探針在速度梯度場中的使用誤差做了討論。利用數(shù)值模擬的方法，定量分析速度梯度和探針直徑對于測量的影響。這里定義速度梯度k，單位為（m／s）／mm，探針直徑d，單位為mm。仍采用第2節(jié)中使用的網(wǎng)格及獲得的校準(zhǔn)矩陣；速度梯度k＝0.1～1.0，增量為0.1；探針直徑d＝1～6mm，增量為1mm。

圖4 七孔探針測量剪切流場示意圖Fig.4 The diagram of measurement shear flow field using seven－h(huán)ole probe

圖5給出了七孔探針測量具有速度梯度的流場時(shí)隨速度梯度和探針直徑變化的角度誤差包線。計(jì)算結(jié)果表明，隨著探針直徑和待測流場速度梯度的增大，所測量的系統(tǒng)誤差也會隨之增大，進(jìn)而導(dǎo)致探針測量的空間分辨率下降。此外，若能將探針尺寸及待測流場速度梯度控制在一個(gè)合理的范圍內(nèi)，其相應(yīng)的誤差還是可以接受的。

圖5 七孔探針測量具有速度梯度流場的誤差包線Fig.5 The error line of velocity gradient fluid field using seven－h(huán)ole probe

5 結(jié) 論

以不可壓流場的Bernoulli方程和勢流理論為出發(fā)點(diǎn)詳細(xì)推導(dǎo)了多孔探針的基本測量原理并獲得了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過分析推導(dǎo)過程得出了該測量數(shù)學(xué)模型成立的4個(gè)基本約束條件。在實(shí)際測量過程中若偏離這4個(gè)基本條件必然會在測量結(jié)果中引入系統(tǒng)誤差。將由此引入的系統(tǒng)誤差分別歸納為：模型誤差、制造誤差以及使用誤差，并逐個(gè)進(jìn)行了詳細(xì)的分析。根據(jù)文中的分析，不同類型的多孔探針具有相同的測量原理及分析方法，因此，以較為常用的多孔探針——七孔探針為例，采用計(jì)算流體力學(xué)軟件對以上3種情況造成的誤差進(jìn)行了定量計(jì)算。通過這些分析和計(jì)算結(jié)果可為實(shí)際應(yīng)用中選擇合適類型的多孔探針、確定使用條件、評估測量系統(tǒng)誤差提供有益的幫助。具體結(jié)論如下：

（1）探針選擇：通過增加探針頭部測壓孔的分布密度，即探針孔數(shù)，可減小孔間的夾角使得在駐點(diǎn)附近測得的各孔壓力值與勢流理論的計(jì)算結(jié)果盡量接近；因此，為了減小系統(tǒng)誤差提高測量精度應(yīng)在可能的條件下選擇孔數(shù)多的多孔探針；

（3）誤差變化趨勢：由于作為探針測量數(shù)學(xué)模型建立基礎(chǔ)的勢流理論與實(shí)際流動的偏離必然會給測量帶來誤差，該誤差將隨著探針頭部測壓孔的分布密度、制造定位精度的降低而增大；也會隨著測量過程中存在的速度梯度的增加而增加，但由此引起的測量系統(tǒng)誤差可通過合理選擇探針頭部尺寸及測量環(huán)境速度梯度上限的方法將其控制在可接受的誤差范圍內(nèi)。

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李 鵬（1977－），男，廣西桂林人，講師，博士生。研究方向：實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)，流動測量。通訊地址：江蘇省南京市白下區(qū)御道街29號自動化學(xué)院測試工程系（210016），聯(lián)系電話：025－84893451，E－mail：nuaalp＠163.com

System error analysis on multi－h(huán)ole probe

LI Peng1，2，MA Xing－yu2，MING Xiao2
（1.College of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.Department of Aerodynamics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

Based on Bernoulli equation and potential theory，the mathematical model of multihole probe is derived，which is suitable for multi－h(huán)ole probe with various shape probe head（such as spherical or conical）and hole number（such as 3，5，7，even 18 ）.Four constraint conditions which ensure that the measurement model is valid are obtained.As an inevitable result of the deviation above constraint conditions the system error is brought to the measurement data.In this paper，the system error is analyzed in detail and summed up as mathematical model error，manufacturing error and using error.Take seven－h(huán)ole probe as an example，the quantitative calculation using computational fluid dynamics software is adopted to analyze the influence of the above three factors.Moreover，some detailed proposal are given on how to select appropriate probe，determine the conditions of use and assess measurement system error.

multi－h(huán)ole probe；system error analysis；model error；manufacturing error；numerical simulation

V211.7

A

1672－9897（2012）05－0069－05

2011－09－20；

2011－11－09

國家973項(xiàng)目（2007CB714600）；國家自然科學(xué)基金 （11072112）；南航大青年創(chuàng)新基金（NS2010010）