孟 丹，郭海燕

（中國(guó)海洋大學(xué) 工程學(xué)院，山東 青島 266100）

1 引 言

隨著開(kāi)采水深的增加，近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的新型立管系統(tǒng)—鋼懸鏈線立管（Steel Catenary Riser）—在技術(shù)上和經(jīng)濟(jì)上比傳統(tǒng)的柔性立管和頂張力立管系統(tǒng)有了長(zhǎng)足的進(jìn)步，成為深海油氣資源開(kāi)發(fā)的首選立管形式。1994年安裝了世界上第一條鋼懸鏈線立管，引起了工程界和學(xué)術(shù)界的極大關(guān)注[1-5]。鋼懸鏈線立管作為輸送油氣資源的管道連接于海底和上部浮體之間，在波浪和流的作用下，不僅上部浮體產(chǎn)生的復(fù)雜動(dòng)力響應(yīng)會(huì)作用于深水海洋立管[6]，立管本身也承受著強(qiáng)度相當(dāng)大的波浪和流的作用力。準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)出實(shí)際海況中鋼懸鏈線立管的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，對(duì)于逐漸向深海發(fā)展的海洋開(kāi)采事業(yè)具有重大的意義[7]。

以往對(duì)深水海洋立管這種細(xì)長(zhǎng)的柔性結(jié)構(gòu)多采用大位移小應(yīng)變的分析方法，而實(shí)際上即使對(duì)于伸展性不明顯的立管結(jié)構(gòu)，大應(yīng)變的影響都不可忽視[8]。而且在以往的分析中，都是將外部流體的非線性作用力進(jìn)行線性化，甚至忽略流體阻尼的影響，不能反映外部流體對(duì)立管振動(dòng)的實(shí)際影響。因此，本文考慮深水鋼懸鏈線立管大應(yīng)變的特性以及內(nèi)流的影響，采用具有彎曲剛度的細(xì)長(zhǎng)梁模型模擬鋼懸鏈線立管，利用Hamilton原理和拉格朗日應(yīng)變理論建立了立管的二維動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)Hermite插值函數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行有限元離散。由于系統(tǒng)的多重非線性，系統(tǒng)方程的求解采用時(shí)域的逐步積分法，積分格式選用Newmark-β法。探討了在外部流體非線性作用力的影響下立管的動(dòng)力響應(yīng)。

圖1 深水鋼懸鏈線立管大變形示意圖Fig.1 Schematics of large deformations of deepwater steel catenary riser

2 動(dòng)力學(xué)模型的建立

圖1給出了典型的上部連接于浮體的自由懸掛鋼懸鏈線立管的構(gòu)型圖，水深為xH，頂部的靜止偏移為yV。立管頂端作用有初始的拉力Tt以保持立管的初始構(gòu)型。立管上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都通過(guò)笛卡爾坐標(biāo)系確定。圖中定義了立管的三種狀態(tài)分別為初始態(tài)、平衡態(tài)以及動(dòng)態(tài)。立管在初始狀態(tài)下，由于其自重、內(nèi)流的作用、軸向和彎曲變形達(dá)到平衡狀態(tài)。同時(shí)，平衡狀態(tài)被認(rèn)為是立管動(dòng)力學(xué)計(jì)算的初始狀態(tài)。在外部荷載的作用下，立管會(huì)由平衡態(tài)發(fā)展到動(dòng)態(tài)，u1、u2和 u3分別為立管微元 ds0從平衡態(tài)到動(dòng)態(tài)在X、Y和Z方向上的位移。在本文的研究中，只考慮立管在XOY平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，即 u3=0。

在立管的平衡狀態(tài)微元ds0的長(zhǎng)度為

利用拉格朗日應(yīng)變理論，在立管的初始態(tài)和動(dòng)態(tài)微元的長(zhǎng)度分別為：

其中ε0為初始的靜應(yīng)變，則動(dòng)態(tài)立管的總應(yīng)變?yōu)?/p>

2.1 能量方法

立管軸向應(yīng)變能Ua由兩部分組成，一部分由軸向力引起，一部分由流體靜壓力組成：

其中，ST為未變形前立管的總長(zhǎng)度，A為動(dòng)態(tài)時(shí)立管的橫截面積；初始應(yīng)力σov=2νσp，ν為泊松比，端部應(yīng)力[9]σp=（peAoe-piAoi）/Ao，pe、pi分別為立管外部和內(nèi)部流體對(duì)管壁的靜壓力，Ao為平衡位置立管的橫截面積。

軸向應(yīng)變能的變分表達(dá)式為

并且 Ta=EA0ε0+σ0vA0，Tb=EA0-σ0vA0。 且僅當(dāng)泊松比 ν=0.5 時(shí)，Ta=EA0ε0+σpA0即為有效拉力。 忽略高階項(xiàng)并應(yīng)用二項(xiàng)式近似有

應(yīng)用（8），（9）式，方程（6）可簡(jiǎn)化為

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，忽略剪切變形的影響，在XOY平面內(nèi)非線性應(yīng)變曲率和位移的關(guān)系可表示為

其中κ*和κ分別為動(dòng)態(tài)和平衡狀態(tài)時(shí)管道的曲率。

彎曲應(yīng)變能Ub為

其變分表達(dá)式為

因此，立管應(yīng)變能的變分為

進(jìn)行立管的動(dòng)力分析，外力所做的虛功包括有效重力、外部流體以及慣性力所做的虛功[8]，其中由有效重力做的虛功可表示為：

其中

并且ρ為初始位置單位長(zhǎng)度管道質(zhì)量，ρf為平衡初始位置單位長(zhǎng)度內(nèi)部流體質(zhì)量，ρe為外部流體密度，g為重力加速度。

由外部流體做的虛功δWH可表示為：

其中pn為外部流體作用在立管上的正壓力，根據(jù)Morison方程有

pt為外部流體作用在立管上的切向力

并且CDn、CDt分別為法向、切向拖曳力系數(shù)；D為管道外徑；Un、Ut分別為外部流體在法向、切向上的流速；CM為慣性系數(shù)；CA為附加質(zhì)量系數(shù)。

根據(jù)牛頓第二定律，慣性力可表示為

其中V為立管內(nèi)部流體的流速。因此，外力所做的虛功為

2.2 運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)虛位移原理

可以得到動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在虛位移δu1和δu2上的Euler’s方程，將立管在平衡位置的初始條件代入Euler’s方程可得系統(tǒng)在平衡位置處的靜力平衡方程。由于平衡位置是系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力分析的初始狀態(tài)，所以聯(lián)合靜力平衡方程和Euler’s方程便可得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：

3 求解方法及模型驗(yàn)證

將運(yùn)動(dòng)方程（23）寫(xiě)成矩陣的形式為

將水深xH分成n個(gè)長(zhǎng)度為l的單元，則相對(duì)應(yīng)的立管單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移可表示為

根據(jù)Galerkin有限元法，運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

為了得到立管的動(dòng)力響應(yīng)，利用數(shù)值積分的方法，即Newmak-β法和Newton-Raphson迭代法對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行求解。Newmak-β法積分參數(shù)取值為

立管的邊界條件為

立管動(dòng)力響應(yīng)的初始條件為

用MATLAB將上述算法編寫(xiě)程序resp.m，用于計(jì)算海洋立管在外部流體以及內(nèi)流影響下的動(dòng)力響應(yīng)。

為了驗(yàn)證本文建立的模型的正確性，選取參考文獻(xiàn)[11]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，參考文獻(xiàn)中的深水立管的物理參數(shù)列于表1中。首先計(jì)算立管的自然頻率，計(jì)算結(jié)果以及與參考文獻(xiàn)的比較結(jié)果列于表2，從計(jì)算結(jié)果可以看出，本文模型的基頻大小與以往計(jì)算結(jié)果非常接近；其次，圖2中給出了本文編制的計(jì)算程序resp.m和參考文獻(xiàn)[12]立管中點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出，兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致。

圖2 海洋立管中點(diǎn)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程曲線Fig.2 A comparison of displacement responses in the middle of the riser

表1 深水海洋立管的物理參數(shù)Tab.1 General material properties of marine risers

表2 基頻比較結(jié)果Tab.2 Comparison of fundamental frequencies

4 結(jié)果與討論

在外部流體影響的參數(shù)分析中，假設(shè)外部流體為穩(wěn)定流，流速沿Y軸正向流動(dòng)，且速度為U。為了考慮外部流體非線性的影響，定義符號(hào)函數(shù)

方程（18b）同理，將其代入（26）式計(jì)算外部流體的作用力。

為了研究立管的動(dòng)力響應(yīng)，我們假設(shè)立管頂部受到大小為0.1 kN、頻率為ωs的正弦激勵(lì)，并定義頻率比f(wàn)r=ωs/ωf，并且變化范圍取為0.5-2.0，其中ωf為立管的自振頻率。

4.1 激勵(lì)頻率對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響

在外部流體作用下不同激勵(lì)頻率時(shí)，立管的位移響應(yīng)曲線在圖3中給出。從圖中可以看出，立管的動(dòng)力響應(yīng)具有明顯的非線性，而且外部流體的存在減小了立管的動(dòng)力響應(yīng)幅值。隨著激勵(lì)頻率的增大，動(dòng)力響應(yīng)的最大位移也變大，直到fr=1.0時(shí)，立管發(fā)生共振現(xiàn)象。繼續(xù)增加激勵(lì)頻率值，立管的響應(yīng)最大位移減小。

其中 γ=U-u˙2。 則方程（18a）變?yōu)?/p>

4.2 外部流體流速對(duì)共振響應(yīng)的影響

圖4給出了不同外流流速情況下的深水海洋立管共振響應(yīng)曲線。從圖中的結(jié)果可以看出，隨著流速的增加，管道的共振響應(yīng)會(huì)趨于穩(wěn)定狀態(tài)，響應(yīng)幅值變小，趨于穩(wěn)定的時(shí)間也變小。不同外部流體流速時(shí)管道振動(dòng)趨于穩(wěn)定所需的時(shí)間及響應(yīng)幅值見(jiàn)表3。

圖 4 海洋立管共振響應(yīng)曲線：（a） U=0；（b） U=0.5；（c） U=0.6；（d）U=1.0；（e） U=1.2；（f） U=1.5；（g） U=1.8；（h） U=2.0Fig.4 Resonant responses of marine risers:(a)U=0;(b)U=0.5;(c)U=0.6;(d)U=1.0;(e)U=1.2;(f)U=1.5;(g)U=1.8;(h)U=2.0

4.3 拖曳力系數(shù)對(duì)共振響應(yīng)的影響

自Morison方程提出幾十年來(lái)，已有不少學(xué)者對(duì)CD進(jìn)行了大量的模型試驗(yàn)和現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)工作，但所得數(shù)據(jù)仍有相當(dāng)大的離散性。拖曳力系數(shù)反映了管道表面的粗糙程度，和雷諾數(shù)的大小有關(guān)系。本文根據(jù)1976年Sarpkaya的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，假定CD的大小在0到2.0范圍內(nèi)。U=0.75 m/s時(shí)海洋立管第一階模態(tài)的共振響應(yīng)曲線在圖5中給出。從圖中可以看出，拖曳力系數(shù)的大小直接影響海洋立管動(dòng)力響應(yīng)幅值的大小。由于拖曳力的存在，在開(kāi)始振動(dòng)一段時(shí)間后，管道的動(dòng)力響應(yīng)趨向于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)。并且，拖曳力系數(shù)的值越大，動(dòng)力響應(yīng)的穩(wěn)定幅值就越小，具體變化見(jiàn)圖6。

表3 海洋立管動(dòng)力響應(yīng)穩(wěn)定時(shí)間Tab.3 Convergence time onto the steady state of

圖 5 海洋立管共振響應(yīng)曲線：（a） CD=0；（b） CD=0.4；（c） CD=0.8；（d）CD=1.2；（e） CD=1.6；（f） CD=2.0Fig.5 Resonant responses of risers:(a)CD=0;(b)CD=0.4;(c)CD=0.8;(d)CD=1.2;(e)CD=1.6;(f)CD=2.0

5 結(jié) 論

本文研究了深水鋼懸鏈線立管在外部流體作用下的動(dòng)力響應(yīng)?；谀芰糠椒?，立管的應(yīng)變能主要由立管伸長(zhǎng)和彎曲產(chǎn)生，外力所做虛功則來(lái)源于立管的重力、立管和內(nèi)流產(chǎn)生的慣性力、以及外部流體的作用，建立了深水輸流立管大應(yīng)變動(dòng)力學(xué)模型。有別于以往的研究，模型的非線性充分體現(xiàn)在大位移大應(yīng)變理論的應(yīng)用。從管道的動(dòng)力響應(yīng)分析中發(fā)現(xiàn)了共振現(xiàn)象，并且，外部流體的非線性作用會(huì)影響立管位移響應(yīng)的幅值以及位移響應(yīng)趨于穩(wěn)定的持續(xù)時(shí)間。

拖曳力系數(shù)取值不同，立管的動(dòng)力響應(yīng)幅值也不同。在深水海洋立管的設(shè)計(jì)中，應(yīng)針對(duì)不同的外部海洋環(huán)境，通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定拖曳力系數(shù)。

圖6 海洋立管共振響應(yīng)幅值與拖曳力系數(shù)關(guān)系曲線Fig.6 Relation between maximum dynamic responses of risers and drag force coefficients

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