魏亞東 周愛軍

（海軍大連艦艇學(xué)院裝備自動(dòng)化系 大連 116018）

1 引言

Pecora和Corroll提出了“混沌同步”的概念［1］，并在實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)了同一信號(hào)驅(qū)動(dòng)下兩個(gè)相同的耦合混沌系統(tǒng)的同步［2］。由于混沌同步在生命科學(xué)、信號(hào)處理、大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械、保密通信等方面有著十分廣闊的應(yīng)用前景及巨大的市場潛在價(jià)值，近年來混沌同步及其控制已經(jīng)成為非線性科學(xué)中的一個(gè)重要研究課題［3～7］，引起了科研工作者極大的重視，并進(jìn)行了深入而廣泛地研究，且在不同的混沌系統(tǒng)中是實(shí)現(xiàn)了不同類型的混沌同步，如完全同步［8］、反同步［9］、相同步［10］、延遲同步［11］、投影同步［12］等。當(dāng)主從混沌系統(tǒng)的軌道之間滿足一個(gè)特定的函數(shù)關(guān)系時(shí)，把這樣的同步稱為廣義同步。從這個(gè)意義上說，反同步、延遲同步、投影同步等都可以稱為廣義同步。反同步是指主從混沌系統(tǒng)軌道的振幅大小相同，方向相反。超混沌系統(tǒng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正的Lyapunov指數(shù)，超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為要比一般的混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜難以預(yù)測，其在通信加密及信息安全領(lǐng)域具有更高的實(shí)用價(jià)值。本文以一個(gè)新五維超混沌Lorenz系統(tǒng)［13］為研究對(duì)象，基于Lyapunov穩(wěn)定理論，分別采用非線性控制法、主動(dòng)控制法和全局控制法，實(shí)現(xiàn)了五維超混沌Lorenz系統(tǒng)的反同步，理論分析和數(shù)值仿真均證實(shí)了三種方法的有效性。最后對(duì)這三種方法的同步性能進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)主動(dòng)控制法更加靈活易于實(shí)現(xiàn)，且同步效果較好。

2 問題描述

2.1 新五維超混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)［13］提出的新五維超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為式（1），當(dāng)a＝10，b＝8／3，c＝28，d＝－1，r＝5時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，圖1為對(duì)應(yīng)的超混沌吸引子在x－z，y－z平面的投影。

此超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為復(fù)雜，產(chǎn)生超混沌運(yùn)動(dòng)的參數(shù)范圍較大，更加適合應(yīng)用于混沌保密通信。

圖1 新五維超混沌系統(tǒng)吸引子相圖

2.2 混沌反同步

考慮如下混沌系統(tǒng)：

其中x∈Rn為狀態(tài)向量，f：Rn→Rn為非線性映射。設(shè)式（2）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)定義為

其中y∈Rn為狀態(tài)向量，g：Rn→Rn為非線性映射，u（t，x，y）為控制函數(shù)。將式（2）與式（3）相加得到誤差系統(tǒng)為

混沌反同步的目標(biāo)就是設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂坪瘮?shù)u（t，x，y），使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（2）與響應(yīng)系統(tǒng)（3）的狀態(tài)達(dá)到反同步，即使：

3 反同步控制器設(shè)計(jì)

3.1 基于非線性控制法的設(shè)計(jì)及仿真

令新五維超混沌系統(tǒng)：

為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則其加入控制器后的響應(yīng)系統(tǒng)為

其中 U＝（u1，u2，u3，u4，u5）T為將要設(shè)計(jì)的控制器。

將式（4）和（5）相加，得到誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為

控制器的目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的U，使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（4）和響應(yīng)系統(tǒng)（5）全局漸近反同步。根據(jù)非線性控制理論，設(shè)計(jì)控制器U為

將式（7）代入式（6），則誤差系統(tǒng)就可以描述為如下形式：

e·1＝a（e2－e1）＋e4－e5＋μ1

e·2＝ce1－e2＋μ2

e·3＝－be3＋μ3

e·4＝de4＋μ4

e·5＝re1＋μ5

由于Lyapunov函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為

顯然，需要 V（e）＜0，故可取

則可得到：

在Matlab-Simulink平臺(tái)上搭建混沌反同步仿真系統(tǒng)，模擬所設(shè)計(jì)控制器的控制效果。選取時(shí)間步長τ＝0.001s，取系統(tǒng)參數(shù)a＝10，b＝8／3，c＝28，d＝－1，r＝5采用四階Runge-Kutta法求解系統(tǒng)微分方程，令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為（10 15 20 12 18）T和（12 17 15 20 10）T。圖2為采用非線性控制法得到的系統(tǒng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)分量隨時(shí)間變化的曲線圖，圖3為誤差系統(tǒng)分量隨時(shí)間的變化曲線。

圖2 采用非線性控制法得到系統(tǒng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)分量隨時(shí)間變化的曲線

圖3 采用非線性控制法得到誤差系統(tǒng)分量隨時(shí)間的變化曲線

3.2 基于主動(dòng)控制法的設(shè)計(jì)及仿真

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（4）與響應(yīng)系統(tǒng)（5）形式不變，設(shè)計(jì)控制器U為

顯然，誤差系統(tǒng)的Jacobi矩陣特征值均為負(fù)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知：

即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（4）與響應(yīng)系統(tǒng)（5）達(dá)到了反同步。

在Matlab-Simulink平臺(tái)上搭建混沌反同步仿真系統(tǒng)，模擬所設(shè)計(jì)控制器的控制效果。初始條件不變，反同步系統(tǒng)誤差仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 采用主動(dòng)控制法得到誤差系統(tǒng)分量隨時(shí)間變化的曲線

3.3 基于全局控制法的設(shè)計(jì)

定理 設(shè)某自治混沌系統(tǒng)如下

其中Ax代表線性部分，f（x）代表非線性部分。以系統(tǒng)（9）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為

代入式（9）和（10）得：

即驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（9）和響應(yīng)系統(tǒng)（10）達(dá)到反同步。

在Matlab-Simulink平臺(tái)上搭建混沌反同步仿真系統(tǒng)，模擬所設(shè)計(jì)控制器的控制效果。初始條件不變，反同步系統(tǒng)誤差仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 采用全局控制法法得到誤差系統(tǒng)分量隨時(shí)間變化的曲線

4 結(jié)語

本文采用針對(duì)文獻(xiàn)［8］提出的新五維超混沌系統(tǒng)，分別采用非線性控制法、主動(dòng)控制法及全局控制法，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了新五維超混沌系統(tǒng)的反同步。通過仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比圖3、圖4、圖5發(fā)現(xiàn)，非線性控制法誤差收斂速度最快，但是控制器的設(shè)計(jì)也相對(duì)復(fù)雜；主動(dòng)控制法控制器設(shè)計(jì)簡單，且誤差收斂速度可調(diào)節(jié)；全局控制法響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方便，但是誤差收斂速度最慢。由此可見，采用主動(dòng)控制法設(shè)計(jì)混沌系統(tǒng)反同步控制器較好。

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