朱勁松，邑 強(qiáng)

(1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072;2.天津大學(xué) 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

拱橋吊桿是中下承式拱橋的關(guān)鍵受力構(gòu)件。吊桿失效輕則引起吊桿靜張力的重分布［1］，對(duì)拱橋結(jié)構(gòu)整體受力安全產(chǎn)生不利影響，重則引起橋面坍塌等惡性事故的發(fā)生。引起吊桿失效甚至過早失效的主要原因是吊桿在運(yùn)營(yíng)中受到車輛荷載作用。更重要的是，車輛過橋還會(huì)對(duì)吊桿產(chǎn)生沖擊作用，增大其循環(huán)應(yīng)力幅。對(duì)于橋梁的不同部位，車輛荷載所產(chǎn)生的沖擊效應(yīng)也不一致［2］，車輛對(duì)拱橋吊桿產(chǎn)生的沖擊作用亦是如此。因此，有必要對(duì)吊桿所受沖擊效應(yīng)不均勻性進(jìn)行研究，研究結(jié)果對(duì)拱橋吊桿的設(shè)計(jì)以及運(yùn)營(yíng)期維護(hù)具有指導(dǎo)意義。

國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)所受移動(dòng)車輛荷載沖擊效應(yīng)進(jìn)行了研究，并取得了顯著的成果。Huang［3］對(duì)跨度在200 m以內(nèi)的中承式鋼管混凝土拱橋的動(dòng)力特性和沖擊系數(shù)進(jìn)行了研究，提出了相關(guān)的計(jì)算公式。文獻(xiàn)［4］對(duì)簡(jiǎn)支梁橋在移動(dòng)車輛荷載作用下的動(dòng)力沖擊效應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算分析與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)研究。文獻(xiàn)［5］采用7自由度的整車模型，混凝土裂縫分為開口裂縫和呼吸裂縫兩種類型，對(duì)不同裂縫類型、裂縫出現(xiàn)位置、裂縫參數(shù)及車輛組合等因素對(duì)橋梁沖擊系數(shù)的影響進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［6］利用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)軟件SIMPACK建立三維空間車輛精細(xì)化模型，針對(duì)瓊洲海峽跨海超大跨度斜拉橋方案，采用基于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與有限元結(jié)合的聯(lián)合仿真技術(shù)，計(jì)算列車以不同車速單線行車和雙向?qū)﹂_通過該大跨度斜拉橋的空間耦合振動(dòng)響應(yīng)。文獻(xiàn)［7］基于ANSYS提出了簡(jiǎn)便的分離迭代解法進(jìn)行車橋耦合振動(dòng)分析，考慮車輛在曲線梁橋上的行駛偏心，分析了曲率半徑和車速對(duì)曲線梁橋沖擊效應(yīng)的影響。Bruno等［8］研究了大跨度斜拉橋在移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)，分析了包括斜拉索在內(nèi)的結(jié)構(gòu)多處的動(dòng)力沖擊系數(shù)。Lei等［9］分析了大跨箱型梁橋在車輛荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。Hamidi等［10］分析了車輛軸距與橋梁跨度的比值對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，并提出了簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)力沖擊系數(shù)取用參考公式。Wu等［11－12］中提出了車橋耦合振動(dòng)中各參數(shù)都具有不確定性，作者以能夠考慮這些不確定因素的隨機(jī)有限元法分析了橋梁結(jié)構(gòu)在移動(dòng)車輛作用下的動(dòng)力響應(yīng)。但大部分研究都集中在橋梁主梁在車輛荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)，主要關(guān)注跨中位移、速度、加速度響應(yīng)，很少關(guān)注移動(dòng)車輛荷載對(duì)拱橋吊桿的動(dòng)力沖擊作用。

為了分析公路車輛動(dòng)力作用下的拱橋吊桿沖擊系數(shù)不均勻性，本文基于D'Alembert原理，導(dǎo)出了兩軸車輛模型的振動(dòng)方程，根據(jù)車輛與橋梁接觸點(diǎn)處位移與力的協(xié)調(diào)條件耦合二者的振動(dòng)方程，并且考慮了橋上路面不平順的影響;采用Newmark－β求解，編制了計(jì)算程序VBAP;最后以某鋼管混凝土拱橋?yàn)槔帽疚姆椒ㄅc程序分析了結(jié)構(gòu)阻尼、橋上路面粗糙度、車重及車速對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響。所得結(jié)論可為同類橋梁吊桿設(shè)計(jì)與運(yùn)營(yíng)期的維護(hù)提供理論指導(dǎo)。

1 動(dòng)力響應(yīng)分析

1.1 橋梁模型

為了分析拱橋在行駛車輛作用下的動(dòng)力響應(yīng)，本文對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元離散。離散后，橋梁動(dòng)力方程為:

本文以瑞雷阻尼［13］的形式考慮橋梁結(jié)構(gòu)阻尼:

式中，C為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，M，K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。α0，β0由式(3)、(4)求得:

式中:ω01，ω02分別為結(jié)構(gòu)第一階和第二階自振頻率。ξ1，ξ2分別為結(jié)構(gòu)的第一階和第二階模態(tài)阻尼。

1.2 車輛模型

圖1 車輛模型Fig.1 Model of vehicle

將車輛簡(jiǎn)化為如圖1所示的兩軸車力學(xué)模型。車體簡(jiǎn)化為一個(gè)具有質(zhì)量m2，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的剛體，兩軸距離為l，車輪的質(zhì)量分別為m1，m3。車輪與地面的相互作用以及車體與車輪之間的連接均用彈簧阻尼系統(tǒng)模擬。車輪與橋面相互作用的剛度系數(shù)與阻尼系數(shù)分別為k1，c1以及k4，c4，車體與車輪間連接的剛度與阻尼系數(shù)分別為k2，c2和k3，c3。該模型具有8個(gè)自由度，即車輪的豎向位移y1，y4，車輪與橋面接觸處的位移z1，z2，車體兩端的豎向位移 y2，y3，車體質(zhì)心處的位移和轉(zhuǎn)角yc，θ。其中z1，z2與橋面位移耦合，yc，θ 可用 y2，y3表示，即:

因此該模型獨(dú)立自由度共四個(gè)，其位移向量可寫成:

對(duì)車輛各剛體進(jìn)行受力分析，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理可列出車輛的振動(dòng)方程:

為便于編程，將方程整理成矩陣形式:

其中:

表1 車輛模型參數(shù)Tab.1 Parameters of vehicle model

本文所用20 t車輛模型參數(shù)如表1所示［9］，在此基礎(chǔ)上通過修改車體質(zhì)量m2得到15 t，30 t車輛參數(shù)。

1.3 橋面粗糙度模型

表2 路面分級(jí)情況Tab.2 Road surface classification

橋上路面不平順在車橋耦合振動(dòng)中不容忽視。由文獻(xiàn)［14］可知，橋面不平順可描述為一個(gè)零均值服從穩(wěn)態(tài)Gauss分布的隨機(jī)過程，給定路面不平順功率譜后，可通過多種方法模擬得到路面不平順樣本。本文采用三角級(jí)數(shù)疊加法［15］模擬路面不平順:

其中，r(x)為路面不平順樣本函數(shù)，αk為余弦函數(shù)的幅值，ωk為位于功率譜密度的定義區(qū)間［ω1，ωu］內(nèi)的頻率。θk為均勻分布在0和2π之間的隨機(jī)相位角，x為局部坐標(biāo)，表示橋上某點(diǎn)距車輛上橋端的距離，N為模擬隨機(jī)不平順的點(diǎn)數(shù)。S(ωk)是功率譜密度函數(shù)，在區(qū)間［ω1，ωu］內(nèi)定義為路面不平順空間頻率的函數(shù)［14］:

式中，指數(shù) β 取1.94，α 是不平順系數(shù)，見文獻(xiàn)［16］，橋上路面粗糙度可被劃分為5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)路面不平順系數(shù)α見表2。

1.4 車橋耦合振動(dòng)分析

假設(shè)車輛在行駛過程中與橋面一直接觸，車輪與橋面相互作用力可以表示為:

式中，下標(biāo)i表示第i個(gè)車輪與橋面接觸點(diǎn);Δi(t)為第i個(gè)車輪t時(shí)刻相對(duì)于橋面的垂直位移，其表達(dá)式為:

式中，yi(t)為第i個(gè)車輪t時(shí)刻的豎向位移，zi(t)為橋面t時(shí)刻在第i個(gè)車輪與橋面接觸點(diǎn)處的豎向位移，ri為第i個(gè)車輪與橋面接觸點(diǎn)處的橋面不平順樣本值。

車輛與橋梁作為兩個(gè)子系統(tǒng)，其動(dòng)力方程通過車輪與橋面接觸點(diǎn)處位移相同、相互作用力大小相等耦合起來。由于車輛與橋梁之間的相互作用力與車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及橋梁的變形都有關(guān)，因此需要迭代求解這兩組耦合的、時(shí)變的二階微分方程組。

本文采用Newmark-β法，基于matlab語言編制了車橋耦合振動(dòng)分析程序VBAP，計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 車橋耦合振動(dòng)分析流程圖Fig.2 Simulation procedure of vehicle-bridge coupled vibration

1.5 沖擊系數(shù)

［17］中沖擊系數(shù)μ的定義，將吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)定義為:

其中，σdmax為動(dòng)力分析時(shí)吊桿應(yīng)力最大值，σsmax為靜力作用下吊桿應(yīng)力最大值。

2 算例分析

2.1 分析模型

以某鋼管混凝土拱橋?yàn)槔治龉奋囕v動(dòng)力作用下的吊桿沖擊系數(shù)的不均勻性問題。該橋主橋?yàn)閱慰?8 m下承式鋼管混凝土系桿拱橋，橫橋向設(shè)二片拱肋。計(jì)算跨徑86 m，矢高21.5 m，矢跨比1/4，拱軸線為m=1.0的懸鏈線。橋梁結(jié)構(gòu)主要由鋼管混凝土拱肋、預(yù)應(yīng)力混凝土系梁、端橫梁、中橫梁、吊桿及橋面板組成，總體布置如圖3所示。

圖3 拱橋總體布置圖(單位:cm)Fig.3 The overall drawing of the arch bridge(Unit:cm)

利用通用有限元軟件ANSYS建立二維有限元模型。拱肋與主梁均采用梁?jiǎn)卧M，吊桿采用桿單元模擬。其中，對(duì)于拱肋部分，采用組合梁?jiǎn)卧M鋼管與混凝土。模型邊界條件為:左端固定鉸支座，右端滑移支座。整個(gè)模型共703個(gè)單元，516個(gè)節(jié)點(diǎn)。

2.2 分析結(jié)果

2.2.1 結(jié)構(gòu)自振特性分析

運(yùn)用ANSYS對(duì)上述下承式吊桿拱橋進(jìn)行模態(tài)分析，前四階自振頻率及振型描述如表3所示。前四階振型如圖4所示。

表3 橋梁前四階自振頻率及振型描述Tab.3 The first 4 natural frequencies and mode shapes description of the bridge

圖4 橋梁前四階振型Fig.4 The first 4 mode shapes of the bridge

該橋一階自振頻率為 1.42Hz，根據(jù)規(guī)定［17］，該橋的沖擊系數(shù)應(yīng)取為0.05。

2.2.2 車橋耦合振動(dòng)對(duì)比分析

用自編的車橋耦合振動(dòng)分析程序VBAP對(duì)20 t車以70 km/h的速度過橋進(jìn)行了分析，分析中假設(shè)橋面絕對(duì)光滑。作為對(duì)比，在ANSYS中將車輛簡(jiǎn)化為移動(dòng)荷載模型，用瞬態(tài)分析對(duì)該過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。兩種分析方法所得1#吊桿應(yīng)力時(shí)程曲線與靜力分析所得1#吊桿應(yīng)力如圖5所示。由圖5可見，結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載模型作用下，1#吊桿的應(yīng)力時(shí)程曲線只是在靜力影響線的基礎(chǔ)上有所偏移。兩軸車輛模型作用下分析得到的1#吊桿應(yīng)力最大值分別是靜力荷載作用下應(yīng)力最大值和移動(dòng)荷載作用下應(yīng)力最大值的1.13倍和1.2倍。移動(dòng)荷載模型作用下，1#吊桿應(yīng)力幅為6.23 MPa，而兩軸車輛模型作用下，1#吊桿應(yīng)力幅達(dá)到8.0 MPa，分別是移動(dòng)荷載模型作用下應(yīng)力幅和靜力分析下應(yīng)力幅的1.28倍和1.21倍。因此，即使不考慮路面不平順的影響，簡(jiǎn)單的把車輛簡(jiǎn)化為移動(dòng)荷載模型進(jìn)行分析所得到的結(jié)果偏小，是不可靠的。

圖5 1#吊桿應(yīng)力Fig.5 The stress of the 1#suspender

圖6 單車總輪壓荷載Fig.6 Summation of reaction forces of tires

圖7 路面粗糙度對(duì)沖擊系數(shù)的影響Fig.7 Impact factors varying with road roughness

2.2.3 輪壓荷載放大效應(yīng)

為了分析車橋耦合振動(dòng)對(duì)輪壓荷載產(chǎn)生的放大效應(yīng)，計(jì)算了20 t車以80 km/h的速度在三種粗糙度等級(jí)橋面下過橋，車輛總輪壓荷載的變化情況，結(jié)構(gòu)阻尼比設(shè)為0.02，得到的單車總輪壓荷載如圖6所示。結(jié)果顯示，總輪壓荷載靜力值為常數(shù)196 kN，隨著路面粗糙度增大，輪壓荷載的振幅也跟著增大，在粗糙度等級(jí)為“差”條件下，輪壓荷載達(dá)378.7 kN，超過靜態(tài)輪壓93%。

2.2.4 吊桿沖擊系數(shù)不均勻性分析

為分析不同位置吊桿沖擊系數(shù)的不均勻性，選取分別位于橋梁端部、1/4 跨、跨中、3/4 跨的1#、5#、8#、11#、15#吊桿作為研究對(duì)象。在下文的分析中，車輛均以勻速自左向右通過橋梁。

2.2.4.1 橋上路面粗糙度對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響

為了比較不同路面粗糙度對(duì)沖擊系數(shù)的影響，分析五種等級(jí)路面下，20 t汽車以80 km/h通過該橋時(shí)橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)果如圖7所示。

由圖7可見，5根吊桿的應(yīng)力沖擊系數(shù)在路面粗糙度等級(jí)為“較好”或者更差時(shí)均高于我國(guó)規(guī)范中對(duì)該橋沖擊系數(shù)的取值。吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)隨著路面粗糙度增大而增大。以“一般”路面粗糙度等級(jí)為分界線，路面退化到“一般”以下對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響迅速增大。路面粗糙度由“一般”退化到“很差”，跨中的8#吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)增大了0.16，而1#吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)增大了0.83，是8#吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)增幅的5.2倍。因此，路面的退化、路面粗糙度的增大對(duì)短吊桿的影響要大于對(duì)跨中附近吊桿的影響。所以，運(yùn)營(yíng)中維持該橋路面平整可以有效降低短吊桿所受車輛荷載沖擊作用，延長(zhǎng)其使用壽命。

2.2.4.2 車速及車重對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響

為了分析車速及車重對(duì)沖擊系數(shù)的影響，計(jì)算了15 t、20 t和30 t三種重量的汽車分別以30～120 km/h的速度通過該橋，路面粗糙度為一般，橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比取0.02，計(jì)算結(jié)果如圖8所示。隨著車速的增大，5根吊桿的應(yīng)力沖擊系數(shù)總體都呈減小趨勢(shì)。因此，車輛以較高的車速通過可使吊桿受到較小的沖擊作用。當(dāng)三種重量的車輛都以60 km/h以上的速度過橋時(shí)，1#、15#端部短吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)變化幅度在0.5左右，1/4跨5#吊桿與3/4跨11#吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)變化幅度在0.3左右，跨中8#吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)變化幅度為0.16。因此，相比較而言，在橋梁的運(yùn)營(yíng)期間，端部短吊桿的應(yīng)力沖擊系數(shù)變化幅度最大，對(duì)車重的變化最敏感。另外，車重增加會(huì)使吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)有所降低。這可以通過車輛質(zhì)量的增加會(huì)增大車輛的慣性，從而使車輛行駛更穩(wěn)定，對(duì)結(jié)構(gòu)沖擊作用較小來解釋。

圖8 不同車重及車速下吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)Fig.8 Stress impact factors of suspenders varying with vehicle speed and weight

2.2.4.3 結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響

為了分析結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)撓度沖擊系數(shù)的影響，計(jì)算了路面粗糙度等級(jí)為一般時(shí)，20 t車以80 km/h的速度過橋，橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比為 0.01、0.02、0.03 三種情況下的吊桿沖擊系數(shù)，結(jié)果如圖9所示。當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比由0.01升至0.02，除5#吊桿外其他4根吊桿沖擊系數(shù)都有不同程度的下降。其中，以15#吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)下降了60%，變化幅度最大。但是，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比由0.02升至0.03時(shí)，5根吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)都有所上升，上升幅度最大的仍是15#吊桿，上升了45%。因此，單純的增大結(jié)構(gòu)阻尼比并不能減小吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)，而是存在一個(gè)最優(yōu)的阻尼比使吊桿受到的沖擊作用最小。另外，與其他位置處的吊桿相比，橋梁兩端的短吊桿對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的變化更敏感。

圖9 橋梁結(jié)構(gòu)不同阻尼比下沖擊系數(shù)Fig.9 Impact factors varying with damping ratio of bridge

3 結(jié)論

(1)車橋耦合振動(dòng)對(duì)輪壓荷載具有放大效應(yīng)。

(2)路面的退化、路面粗糙度的增大對(duì)橋梁端部短吊桿的影響要大于對(duì)跨中附近吊桿的影響，路面退化到“一般”以下對(duì)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)的影響迅速增大，運(yùn)營(yíng)中維持該橋路面平整可以有效降低短吊桿所受汽車荷載沖擊作用，延長(zhǎng)其使用壽命。

(3)吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)隨車速增大而減小，使車輛以較高的車速通過該橋可使吊桿受到較小的沖擊作用。

(4)端部短吊桿對(duì)車重的變化最敏感，空車過橋比滿載車輛過橋所產(chǎn)生的沖擊系數(shù)更大。

(5)單純的增大結(jié)構(gòu)阻尼比并不能減小吊桿應(yīng)力沖擊系數(shù)，而是存在一個(gè)最優(yōu)的阻尼比使吊桿受到的沖擊作用最小。與其他位置處的吊桿相比，橋梁兩端的短吊桿對(duì)結(jié)構(gòu)阻尼的變化更敏感。

參考文獻(xiàn)

［1］朱勁松，邑 強(qiáng).拱橋新型吊桿安全性及其靜動(dòng)力影響研究［J］.橋梁建設(shè)，2011，1:39－42，51.

［2］李小珍，張黎明，張 潔.公路橋梁與車輛耦合振動(dòng)研究現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)［J］.工程力學(xué)，2008，25(3):230－240.

［3］Huang D Z.Dynamic and impact behavior of half-through arch bridges［J］.Journal of Bridge engineering，2005，10(2):133－141.

［4］王解軍，張 偉.汽車荷載作用下梁橋的動(dòng)力沖擊效應(yīng)研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26(6):125－128.

［5］殷新鋒，方 志.車輛作用下開裂混凝土連續(xù)梁橋的動(dòng)力響應(yīng)分析［J］.工程力學(xué)，2009，26(4):174－180.

［6］崔圣愛，祝 兵，白峰濤，等.瓊洲海峽跨海斜拉橋方案車橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)仿真分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2011，30(5):106－110.

［7］黃新藝，陳彥江，李 巖，等.曲率半徑對(duì)曲線箱梁橋車輛荷載作用下沖擊效應(yīng)的影響［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，29(1):38－42.

［8］Bruno D，Greco F，Lonetti P.Dynamic impact analysis of long span cable － stayed bridges under moving loads［J］.Engineering Structures，2008，30(4):1160 －1177.

［9］Lei G，Moe S C.Computer simulation of dynamic interactions between vehicle and long span box girder bridges［J］.Tsinghua Science and Technology，2008，13(S1):71－77.

［10］Hamidi S A，Danshjoo F.Determination of impact factor for steel railway bridges considering simultaneous effects of vehicle speed and axle distance to span length ratio［J］.Engineering Structures，2010，32(5):1369 －1376.

［11］Wu S Q，Law S S.Dynamic analysis of bridge with non－Gaussian uncertainties under a moving vehicle［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2011，26(2):281－293.

［12］Wu S Q，Law S S.Dynamic analysis of bridge-vehicle system with uncertainties based on the finite element model［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2010，25(4):425－432.

［13］Leitao P N，Silva J G S，Vellasco P C G D，et al.Composite(steel-concrete)highway bridge fatigue assessment［J］.Journal of Constructional Steel Research，2011，67(1):14－24.

［14］Honda H，Kajikawa Y，Kobori T.Spectra of road surface roughness on bridges［J］.Journal of structural division ASCE，1982，108(ST9):1956－1966.

［15］Au F T K，Cheng Y S，Cheung Y K.Effects of random road surface roughness and long-term deflection of prestressed concrete girder and cable-stayed bridges on impact due to moving vehicles［J］. Computers and Structures，2001，79(8):853－872.

［16］ISO 8608. Mechanical vibration-road surface profiles reporting of measured data［S］.ISO，1995.

［17］中交公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院.JTG D60－2004公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范［S］.北京:人民交通出版社，2004.