張 慶

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

復(fù)變函數(shù)論中劉維爾定理的應(yīng)用與推廣

張 慶

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

首先給出了劉維爾定理的一種新的證明方法，描述了劉維爾定理的幾何意義；其次給出了劉維爾定理在三個(gè)方面的應(yīng)用；最后給出了劉維爾定理在兩個(gè)方面的推廣。

劉維爾定理；整函數(shù)；擴(kuò)充復(fù)平面

劉維爾（Liouville J，1809-1882）定理是復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)著名定理，在復(fù)變函數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用。本文首先給出了劉維爾定理的一種新的證明方法，其次給出了劉維爾定理在三個(gè)方面的應(yīng)用，最后給出了劉維爾定理在兩個(gè)方面的推廣。

1 劉維爾定理及證明

劉維爾定理 有界整函數(shù)f(z)必為常數(shù)。

注：整函數(shù)就是在整個(gè)復(fù)平面C上解析的函數(shù)。

證法1[1]利用柯西不等式證明，見參考文獻(xiàn)[1,p127]。

值得注意的是：

（1）劉維爾定理的相應(yīng)結(jié)論在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)并不成立，例如，函數(shù)y=sinx在實(shí)數(shù)集R內(nèi)可導(dǎo)且有界，但y=sinx 在實(shí)數(shù)集R內(nèi)并不是常數(shù)。

（2）劉維爾定理的逆成立，即常數(shù)是有界整函數(shù)。

（3）劉維爾定理的逆否命題：非常數(shù)整函數(shù)必?zé)o界。

此外由劉維爾定理容易得到推論1。

推論1 若f(z)為有界整函數(shù)，則

2 劉維爾定理的幾何意義

劉維爾定理具有鮮明的幾何意義，其幾何意義具體可以敘述如下：

非常數(shù)整函數(shù)f(z)的值既不能全含于某一圓內(nèi)，也不能全含于某一圓外。

證明 先證非常數(shù)整函數(shù)的值不能全含于某一圓內(nèi)。

于是由劉維爾定理知1/f(z)是常數(shù)，從而f(z)必為常數(shù)。這與已知矛盾。綜上非常數(shù)整函數(shù)f(z)的值既不能全含于某一圓內(nèi)，也不能全含于某一圓外。

3 劉維爾定理的應(yīng)用

3.1 證明代數(shù)學(xué)基本定理[2]

代數(shù)學(xué)基本定理：n次多項(xiàng)式

在復(fù)數(shù)集C內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。

該定理是代數(shù)學(xué)的基石，但若從代數(shù)學(xué)知識(shí)體系出發(fā)，用純粹的代數(shù)方法證明卻十分困難且繁雜，因此在高等代數(shù)教材中一般未給出它的證明，利用劉維爾定理可以給出該定理一種簡(jiǎn)潔、完美的證明方法。這是復(fù)變函數(shù)論在高等代數(shù)理論上應(yīng)用的典范。這一證明方法的主要思路是，將n次多項(xiàng)式

作為一非常數(shù)整函數(shù)，然后采用反證法得到證明。具體證明見參考文獻(xiàn)[2]。

3.2 證明整函數(shù)為常數(shù)

例1 設(shè)f(z)=u(x, y)+iv(x, y)（簡(jiǎn)記f=u+iv）為一整函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)M，使v＞M，?z∈C，則f(z)為常數(shù)。

證明 因?yàn)閒(z)為整函數(shù)，所以

也為整函數(shù)。令

則顯然F(z)也為整函數(shù)，又于是由劉維爾定理知F(z)為常數(shù)，從而f(z)為常數(shù)。

3.3 證明復(fù)平面C上的最大模原理

復(fù)平面C上的最大模原理

若f(z)為整函數(shù)，且在C內(nèi)點(diǎn)z0處取得最大模，則f(z)在C內(nèi)為常數(shù)。

最大模原理是在一般區(qū)域D內(nèi)給出的，證明過程中用到唯一性定理、平均值定理等多個(gè)復(fù)變函數(shù)論中的重要定理，其證明較為復(fù)雜難懂，具體證明見參考文獻(xiàn)[1,p176]。

當(dāng)一般區(qū)域D改為復(fù)平面C時(shí)，僅用劉維爾定理即可非常方便的得到復(fù)平面C上的最大模原理的證明。

證明 由已知

又因?yàn)閒(z)為整函數(shù)，故由劉維爾定理可知f(z)在C內(nèi)為常數(shù)。

4 劉維爾定理的推廣

劉維爾定理可以在擴(kuò)充復(fù)平面上推廣，也可以在形式上推廣，有以下兩個(gè)結(jié)論。

定理1 擴(kuò)充復(fù)平面上的解析函數(shù)f(z)必為常數(shù)。

證明 因?yàn)閒(z)為擴(kuò)充復(fù)平面上的解析函數(shù)，所以z=∞為f(z)的可去奇點(diǎn)，因此，

其中b為常數(shù)。故存在正數(shù)M，R1，使得當(dāng)

時(shí)，有

故由劉維爾定理可知f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面必為常數(shù)。

則f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù)。

當(dāng)n=0時(shí)就是通常的劉維爾定理。

證明 因?yàn)閒(z)為整函數(shù)，故可設(shè)

當(dāng)k＞n時(shí)，令R1→+∞，就有

即

當(dāng)

時(shí)，f(z)=a0為常數(shù)。

綜上，f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù)。

作為推廣的劉維爾定理，定理2可以判斷整函數(shù)的表示形式，具體應(yīng)用見例2。

例2 設(shè)f(z)為整函數(shù)，且

則f(z)必為一個(gè)n次多項(xiàng)式。

證明 因?yàn)?/p>

所以?R＞0及M＞0，當(dāng)z≥R時(shí)，有

由定理2，f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù)。若f(z)為常數(shù)，則

這與已知矛盾。若f(z)為k次多項(xiàng)式（0＜k＜n ）同樣有

故f(z)只能是n次多項(xiàng)式，由代數(shù)學(xué)基本定理知f(z)在C內(nèi)有n個(gè)零點(diǎn)。

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]余家榮.復(fù)變函數(shù)[M].北京:人民教育出版社,1980:99.

[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,1996:222-223.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

The Application and Generalization of Liouville Theorem in Complex Function Theory

ZHANG Qing
(Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China)

This paper gives a new proof of the Liouville theorem. It describes the geometric meaning of the Liouville theorem, then gives the application of Liouville theorem in three areas and generalizes the Liouville theorem in two aspects.

Liouville theorem; integral function; etended complex plane

O174

A

1009-9115(2012)05-0038-03

2012年唐山師范學(xué)院教改科研立項(xiàng)（2012001004）

2012-07-20

張慶（1960-），男，天津人，教授，研究方向?yàn)楹瘮?shù)論。