謝 東 丁杰雄 霍彥波 杜 麗 王 偉

1．電子科技大學(xué)，成都，611731 2．重慶科技學(xué)院，重慶，401331

0 引言

高速高精度數(shù)控加工技術(shù)是制造業(yè)發(fā)展的重要方向。在高速高精度的切削加工中，空間輪廓誤差會因?yàn)檫M(jìn)給速率的增大而增大，并且多軸之間的參數(shù)匹配不當(dāng)也會造成輪廓的變形。為保證輪廓形狀精度，除了要求機(jī)床有較高的定位精度外，還要求進(jìn)給系統(tǒng)有良好的動態(tài)響應(yīng)特性，能穩(wěn)定而靈活地跟隨指令信號，即要求系統(tǒng)具有高的輪廓跟隨精度，而輪廓跟隨精度與CNC機(jī)床伺服驅(qū)動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)、動態(tài)特性有關(guān)。

為了分析進(jìn)給系統(tǒng)位置跟蹤誤差引起的輪廓誤差，國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)動態(tài)性能以及誤差進(jìn)行了分析。Keron等［1］分析了兩軸聯(lián)動運(yùn)動的伺服跟蹤誤差并提出交叉耦合控制方法；孫建仁［2］分析了閉環(huán)控制系統(tǒng)中進(jìn)行連續(xù)切削加工時，輪廓跟隨精度與伺服驅(qū)動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)、動態(tài)特性關(guān)系，推導(dǎo)了跟隨誤差與輪廓誤差之間的數(shù)學(xué)描述；朱年軍等［3］分析了數(shù)控加工中軸跟蹤誤差和輪廓誤差之間的關(guān)系，指出了多軸加工中輪廓誤差建模和誤差控制方法的理論意義和應(yīng)用價值；李宏勝［4］給出了一種綜合位置誤差控制的方案，指出沿跟隨誤差方向進(jìn)行補(bǔ)償能減小高速運(yùn)動和參數(shù)擾動時的輪廓誤差；朱建忠等［5］針對誤差補(bǔ)償技術(shù)中精度模型與誤差測量的難題，提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)床精度快速建模方法；陶濤等［6］用球桿儀和光柵尺同時測量了兩軸聯(lián)動精密工作臺的走圓運(yùn)動。上述研究中基于平動軸的跟蹤誤差研究較為深入細(xì)致，而針對五軸聯(lián)動數(shù)控機(jī)床的轉(zhuǎn)動軸引起的誤差則研究較少。Erkork maz等［7］建立了五軸機(jī)床運(yùn)動誤差模型，利用刀尖位置與加工系統(tǒng)轉(zhuǎn)換矩陣，將加工系統(tǒng)各運(yùn)動軸誤差轉(zhuǎn)換成刀尖誤差用以評判空間輪廓誤差。

本文在建立轉(zhuǎn)動軸進(jìn)給系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，針對轉(zhuǎn)動軸的聯(lián)動運(yùn)動考察空間輪廓誤差，找出空間誤差特征點(diǎn)與空間輪廓之間的關(guān)系，以評價數(shù)控機(jī)床轉(zhuǎn)動軸動態(tài)性能。

1 數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)較為成熟，文獻(xiàn)［2］較詳細(xì)地介紹了平動軸進(jìn)給系統(tǒng)的模型，文獻(xiàn)［8］在矢量控制的基礎(chǔ)上建立了永磁同步伺服電機(jī)直接驅(qū)動方式下的旋轉(zhuǎn)進(jìn)給系統(tǒng)模型。為了便于分析，本文采用一般的傳遞函數(shù)模型進(jìn)行分析，不對模型建立過程進(jìn)行過多論述。

一般情況下，數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給控制系統(tǒng)采用三環(huán)控制結(jié)構(gòu)，即電流控制環(huán)、速度控制環(huán)以及位置控制環(huán)。如圖1所示，進(jìn)給系統(tǒng)接受計算機(jī)給出的角位移指令θi，經(jīng)過變換及放大后，驅(qū)動刀具相對于工作臺移動，得到角位置輸出θo。數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的性能決定了機(jī)床的工作性能，為了保證進(jìn)給系統(tǒng)的輸出能夠滿足零件加工速度以及位置指令的精度要求，進(jìn)給系統(tǒng)應(yīng)具有定位精度高、速度調(diào)節(jié)快的能力。

圖1 進(jìn)給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖

為分析問題方便，將進(jìn)給系統(tǒng)相應(yīng)的環(huán)節(jié)作了一些簡化：位置調(diào)節(jié)器、速度調(diào)節(jié)器簡化成一個比例環(huán)節(jié)，功率放大器通常是一個延遲環(huán)節(jié)，由于滯后時間很短，也把它視為比例環(huán)節(jié)，與速度調(diào)節(jié)器合為一個環(huán)節(jié)，用速度放大器表示；電流環(huán)節(jié)等效為二階環(huán)節(jié)，機(jī)械傳動等效為一個二階環(huán)節(jié)。這樣得到一個簡化的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，如圖2所示。

圖2 簡化后的進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖

單一軸的進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)用如下傳遞函數(shù)關(guān)系式表示：

式中，K1為位置增益；Ka為速度增益；KA為電流環(huán)增益；Kn為機(jī)械剛度；ξ為機(jī)械傳動部分等效阻尼系數(shù)；ωn為機(jī)械傳動部分固有頻率；TA為電機(jī)電流時間常數(shù)；TM為機(jī)電時間常數(shù)。

對于單一運(yùn)動軸來說，在穩(wěn)態(tài)情況下，實(shí)際位置總是滯后于指令位置一個e值，根據(jù)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)，單一軸的跟蹤誤差為

式中，v為指令速度；Kv為進(jìn)給系統(tǒng)速度增益，它反映了進(jìn)給系統(tǒng)速度變化快慢的程度。

2 兩個轉(zhuǎn)動軸聯(lián)動的空間圓弧誤差分析

為了便于分析空間圓弧的誤差，利用兩個轉(zhuǎn)動軸的插補(bǔ)運(yùn)動得到空間圓弧軌跡來考察它們協(xié)調(diào)工作的能力。使用帶A、C兩個轉(zhuǎn)動軸的立式加工中心，將刀桿傾斜α角度，先只做C軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則在XY平面內(nèi)得到半徑為R的圓弧輪廓；再將該圓弧和刀具初始位置繞Y軸旋轉(zhuǎn)β角度，就可得出空間圓弧。通過刀具方向矢量推導(dǎo)出空

間圓弧方程來求解轉(zhuǎn)動軸的角位置指令和角速度曲線。

2．1 空間圓弧方程的表達(dá)及其方向矢量

圖3 平行于XY平面的圓弧

假設(shè)刀具中心在O點(diǎn)，刀尖在P點(diǎn)，刀桿長度為L，刀桿初始偏移α，只做C軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時，得到一個圓心在O′、半徑R＝L sinα，與XY平面平行的圓弧輪廓，如圖3所示，此圓弧輪廓方程為

若刀桿的傾斜角度α保持不變，設(shè)圓弧輪廓加工軌跡以恒定的角速度ω轉(zhuǎn)動，則上述圓弧的方程可描述為

由于刀桿OP為一直線，其空間方程為

則在P 點(diǎn)有對應(yīng)的方向矢量（xi，yi，zi），其對應(yīng)的單位方向矢量（i，j，k）為

圖4 繞Y軸旋轉(zhuǎn)β得到的圓弧

將XY平面內(nèi)的圓弧加工軌跡做繞Y軸的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角為β，得到一個新的空間圓弧曲線C＊，利用兩個轉(zhuǎn)動軸的插補(bǔ)運(yùn)動，就可以實(shí)現(xiàn)這個空間圓弧輪廓的加工，如圖4所示。通過空間圓弧的運(yùn)動軌跡來考察只有兩個轉(zhuǎn)動軸引起的空間輪廓誤差。

由空間坐標(biāo)變換可知，當(dāng)繞某一指定軸做旋轉(zhuǎn)時，可利用其旋轉(zhuǎn)變換的矩陣做旋轉(zhuǎn)變換，本文采用繞Y軸旋轉(zhuǎn)，其變換矩陣為

空間圓弧方程可由式（7）經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換得到，即

式中，P＊為新位置點(diǎn)；P為旋轉(zhuǎn)前的位置點(diǎn)。

P＊的坐標(biāo)為

刀桿傾斜角度不變即OP直線的方程保持不變，則新圓弧C＊的單位方向矢量（i＊，j＊，k＊）為

式（9）為得到的空間圓弧方程，式（10）為刀桿的方向矢量。

2．2 求解A、C軸的位置控制指令

將方向矢量映射到加工坐標(biāo)系中，求得A、C軸轉(zhuǎn)角位置指令。由于本文只考察轉(zhuǎn)動軸運(yùn)動情況所產(chǎn)生的伺服跟蹤誤差對輪廓誤差的影響，將平動軸設(shè)為不工作的狀態(tài)，故工作軸只有A、C軸兩個轉(zhuǎn)動軸。將空間圓弧曲線的方向矢量的值（i，j，k）直接映射到加工系統(tǒng)中［9-10］，由刀桿方向矢量變化得到對應(yīng)的轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)角位置指令θA、θC：

將（i＊，j＊，k＊）代入式（11）、式（12），則 A、C 軸的轉(zhuǎn)角位置指令為

將A、C軸指令θA和θC對t進(jìn)行微分即可得到轉(zhuǎn)動軸運(yùn)動的轉(zhuǎn)角速度指令：

2．3 空間圓弧插補(bǔ)運(yùn)動的輪廓誤差

圓弧插補(bǔ)運(yùn)動的輪廓誤差主要包括進(jìn)給系統(tǒng)有限帶寬引起的圓弧半徑誤差和運(yùn)動軸性能不匹配引起的橢圓誤差?？紤]沿半徑為R的圓弧進(jìn)行角速度為ω的運(yùn)動，圓心坐標(biāo)為（L cosαsinβ，0，－L cosαcosβ），設(shè)初始位置為

則A、C軸的起始角θA0和θC0為

刀具轉(zhuǎn)動達(dá)到穩(wěn)定時實(shí)際的轉(zhuǎn)角分別為

式中，θAR、θCR為實(shí)際轉(zhuǎn)角輸出；ΔθA、ΔθC為穩(wěn)態(tài)時的跟隨誤差。

則實(shí)際軌跡的方向單位矢量（iR，jR，kR）為

由于設(shè)置刀具中心在原點(diǎn)處，利用刀桿長度L 得到刀尖的實(shí)際位置（xR，yR，zR），這里忽略刀具半徑的影響，則實(shí)際得到的圓弧半徑為

它與理論半徑值之差為輪廓半徑方向上的誤差，即

3 空間圓弧誤差仿真實(shí)驗(yàn)

以一個空間圓弧的仿真切削實(shí)驗(yàn)為研究對象，如前所述，只控制兩個轉(zhuǎn)動軸做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動在空間上畫出圓弧軌跡。

機(jī)床結(jié)構(gòu)為刀具運(yùn)動且A、C軸轉(zhuǎn)動的形式，刀 具 中 心 在 原 點(diǎn) 處 （0，0，0），刀 桿 長 度 設(shè) 為100 mm，被加工圓弧如圖4所示，與XY平面夾角為45°，刀具初始偏角α為30°，刀尖初始位置坐標(biāo)為（－25．882 mm，0，－96．593 mm）。

3．1 建立仿真數(shù)學(xué)模型

利用MATLAB的Si mulink建立兩個轉(zhuǎn)動軸的伺服控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)的模型，如圖5所示。

圖5 A、C軸進(jìn)給系統(tǒng)仿真模型

將A、C軸的轉(zhuǎn)角位置指令送入建立的伺服進(jìn)給系統(tǒng)模型中，得到輸出位置指令，將其反轉(zhuǎn)換到刀尖位置系統(tǒng)中，得到仿真的刀尖位置軌跡。仿真參數(shù)的取值見表1。仿真輸出的空間圓弧如圖6所示。

表1 A、C軸仿真伺服參數(shù)

圖6 Si mulink仿真輸出的指令數(shù)據(jù)構(gòu)成的圓弧

3．2 轉(zhuǎn)動軸增益不匹配對圓弧運(yùn)動精度的影響

實(shí)際使用中數(shù)控機(jī)床位置環(huán)增益通常設(shè)置為1，本文主要調(diào)整速度增益來考察它對輪廓誤差的影響（下文所述增益均指速度增益）。當(dāng)兩個軸做聯(lián)動運(yùn)動時，其增益和慣量的匹配對最后輪廓的影響是較為明顯的，通過調(diào)整增益可以減小輪廓誤差。但在實(shí)際中，兩個軸的增益不可能被調(diào)整得非常一致，這必然導(dǎo)致輪廓誤差出現(xiàn)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，A、C軸增益之間的匹配度為50%～100%，其圓弧半徑誤差比較情況如圖7～圖10所示。

圖7所示是A、C兩軸增益匹配情況下的仿真結(jié)果，可以看出，當(dāng)增益匹配時，其輪廓誤差很小，這時軸轉(zhuǎn)向位置的反向間隙引起的輪廓誤差表現(xiàn)明顯。

圖7 A、C軸匹配度為100%時的圓弧半徑誤差

由圖8～圖10可看到，增益不匹配對誤差的影響是較大的，當(dāng)不匹配度加大時，其輪廓誤差也隨之增大；A、C軸增益不同對輪廓誤差的作用方向完全相反，這為利用輪廓誤差判斷和調(diào)整機(jī)床的增益和慣量提供了很好的依據(jù)，如表2所示。

圖8 A、C軸匹配度為90%時的圓弧半徑誤差

圖9 A、C軸匹配度為80%時的圓弧半徑誤差

圖10 A、C軸匹配度為50%時的圓弧半徑誤差

表2 A、C轉(zhuǎn)動軸不匹配情況對比表

3．3 空間圓弧位置對圓弧運(yùn)動精度的影響

空間圓弧位置的不同使得刀具指令不同，其轉(zhuǎn)動軸的運(yùn)動速度和聯(lián)動關(guān)系也將發(fā)生較大的變化，仿真實(shí)驗(yàn)考察了不同空間位置上輪廓誤差情況，如圖11所示，從而發(fā)現(xiàn)在何種空間位置，兩軸聯(lián)動運(yùn)動會帶來最大的誤差，以便揭示誤差來源。

圖11 4個繞Y軸旋轉(zhuǎn)的空間圓弧位置示意圖

仿真實(shí)驗(yàn)采用繞Y軸旋轉(zhuǎn)不同的角度（β分別為18°，22．5°，36°，45°）得到4個空間位置，比較了4個不同空間位置的誤差情況，如圖12和表3所示。

圖12 4種繞Y軸旋轉(zhuǎn)空間圓弧輪廓誤差情況比較

表3 不同空間位置輪廓誤差

從圖12和表3可看出，小于刀桿初始偏置角30°的兩個位置β＝18°和β＝22．5°，只有1個軸做反向動作，誤差均值較??；而大于刀桿初始偏置角的兩個位置β＝36°和β＝45°，誤差曲線上有2個軸兩次反向動作，機(jī)械傳動間隙引起的誤差表現(xiàn)突出，若精度要求高，則會出現(xiàn)超差，特別是β＝36°位置的圓弧，由于其與初始角擺角α＝30°接近，剛開始轉(zhuǎn)動時速度很快，即C軸運(yùn)動速度值很大，最終導(dǎo)致輪廓誤差很大。

3．4 進(jìn)給角速度對圓弧運(yùn)動精度的影響

這里的進(jìn)給角速度是指刀尖做圓弧運(yùn)動的進(jìn)給速度。一般，對于一個輪廓來講，為了達(dá)到較高的表面光潔度，在連續(xù)的切削加工中要求刀具的進(jìn)給速度保持均勻一致。但各個控制軸的速度的變化是不同的，甚至在個別地方會有突變，因此多軸聯(lián)動運(yùn)動的結(jié)果將導(dǎo)致輪廓誤差的產(chǎn)生。

當(dāng)進(jìn)給速度增大時，單一軸的跟蹤誤差也將同時增大，但兩軸聯(lián)動情況下的輪廓誤差將是單一軸跟蹤誤差的合成，綜合考慮，直接用實(shí)際輪廓與理想輪廓進(jìn)行比較，見式（20）。仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置4種進(jìn)給角速度，即ωa分別為1／6．28r／s、1／3．14r／s、1／1．57r／s、1／0．8r／s，仿 真 結(jié) 果 如 表4、圖13所示。

表4 4種進(jìn)給角速度在β＝18°位置上的輪廓誤差

圖13 4種進(jìn)給角速度下β＝18°位置上的輪廓誤差

從表4、圖13中可以看到，當(dāng)角速度增大時，圓弧半徑誤差也會隨之增大，即加工速度提高后，跟蹤誤差將十分顯著地影響輪廓誤差，甚至?xí)沟闷渲心骋粋€軸的速度達(dá)到其極限值，引起零件加工精度下降。

4 結(jié)論

本文對五軸聯(lián)動數(shù)控機(jī)床的兩個轉(zhuǎn)動軸的伺服跟蹤誤差引起的輪廓誤差進(jìn)行了研究，通過理論推導(dǎo)和仿真實(shí)驗(yàn)尋找轉(zhuǎn)動軸引起輪廓誤差的規(guī)律，找出輪廓誤差的特征點(diǎn)與空間位置關(guān)系，利用空間輪廓誤差最大值出現(xiàn)的特征來評判機(jī)床的伺服運(yùn)動誤差。仿真實(shí)驗(yàn)得到以下結(jié)論：

（1）兩個轉(zhuǎn)動軸聯(lián)動運(yùn)動時，增益慣量的匹配狀況是伺服跟蹤系統(tǒng)產(chǎn)生輪廓誤差的一個重要因素，可以利用零件外形誤差的變化曲線來分辨相關(guān)軸的不匹配特性。

（2）從仿真結(jié)果可以看出，不同位置上的圓弧，由于A、C軸的指令不同，甚至?xí)型耆喾吹倪\(yùn)動，使其輪廓誤差有很大差異。A、C軸指令速度越大，對應(yīng)的空間位置出現(xiàn)的輪廓誤差越大。

（3）通過不同空間位置的輪廓誤差判別數(shù)控機(jī)床的動態(tài)參數(shù)對最終加工精度的影響，運(yùn)用兩轉(zhuǎn)動軸聯(lián)動運(yùn)動，當(dāng)?shù)毒叱跏紨[角與空間輪廓繞Y軸的轉(zhuǎn)角接近時，會有最大輪廓誤差產(chǎn)生。在機(jī)床動態(tài)精度校驗(yàn)中，按照此位置的空間輪廓設(shè)計刀具軌跡即可使機(jī)床動態(tài)誤差充分表現(xiàn)出來。

事實(shí)上，還有許多因素均會對進(jìn)給運(yùn)動精度產(chǎn)生重要影響，如導(dǎo)軌的非線性、摩擦特性等。另外，單從零件精度評判機(jī)床精度的角度來看，除了伺服運(yùn)動軸的動態(tài)性能外，機(jī)床的機(jī)械運(yùn)動精度的影響因素包括各軸間運(yùn)動關(guān)系等因素是不可忽視的，在排除工藝和環(huán)境因素外，找出最能表現(xiàn)機(jī)床精度影響加工誤差的型面有重大意義。

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