劉雄偉 李建平 王曉

國防科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)系 長沙 410073

1 引言

隨著計算機技術(shù)，尤其是數(shù)學(xué)軟件技術(shù)的發(fā)展，如何借助于它們實現(xiàn)現(xiàn)代高等數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的改革來提高教學(xué)和學(xué)習(xí)的效率，成為世界各國實現(xiàn)教育信息化持續(xù)關(guān)注的課題。由于高等數(shù)學(xué)課程本身所具有的特點，在教學(xué)實踐的過程中不能完全拋棄傳統(tǒng)的教學(xué)方式來進(jìn)行推理、論證，因此進(jìn)行將數(shù)學(xué)軟件Mathematica融入教材內(nèi)容、教學(xué)過程、學(xué)習(xí)過程、實踐與評估過程等的教學(xué)改革。在課堂教學(xué)中則主要通過構(gòu)建可視化的教學(xué)案例，讓數(shù)學(xué)思想和理論“可視化”[1]，從幾何直觀、數(shù)值分析和符號推算的結(jié)合中加深對概念和理論的理解，增強應(yīng)用理論解決問題的能力，增強教學(xué)和學(xué)習(xí)效果。根據(jù)案例在教學(xué)過程中起到的作用，將構(gòu)建的案例分為演示型案例、探索型案例、學(xué)科交叉應(yīng)用型案例和理論說明型案例等，以下是各案例類型的具體實現(xiàn)過程與方法。

2 演示型案例

這種類型的案例主要通過圖形、動畫和數(shù)值演示的方法，讓學(xué)生在案例的演示過程中對高等數(shù)學(xué)中相關(guān)圖形、方法和結(jié)論加強直觀印象，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、理解和解決問題的能力。

在這方面最有直觀效果的就是Mathematica軟件的繪制函數(shù)圖形的功能。借助Mathematica軟件提供的繪圖命令函數(shù)，可以快捷繪制各類函數(shù)所對應(yīng)的曲線和曲面圖形。借助動畫創(chuàng)建命令函數(shù)則可以實現(xiàn)交互式動畫的演示效果。

將3個不同的參數(shù)R，d，t設(shè)置為可控參數(shù)，可實現(xiàn)交互式動態(tài)演示。通過調(diào)節(jié)不同參數(shù)值可以看到不同預(yù)置條件下生成的曲線過程，了解各參數(shù)的意義和擺線的實際曲線圖形。

繞其他坐標(biāo)軸得到的曲面方程可以類似得到。通過取具體的空間曲線數(shù)學(xué)描述，可以實現(xiàn)曲線生成曲面的交互式動畫演示，觀察曲面生成效果。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中能夠構(gòu)建演示型案例的內(nèi)容很多，這里只是其中的兩個例子。通過這兩個例子可以看到，演示型案例能夠在視覺上讓學(xué)生產(chǎn)生愉悅的學(xué)習(xí)心態(tài)，感受到數(shù)學(xué)的奇幻莫測的變化，從而在腦海中留下深刻印象，也進(jìn)一步加深對所學(xué)知識的理解。

3 探索型案例

大學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是學(xué)習(xí)知識，更重要的是培養(yǎng)能力。高等數(shù)學(xué)作為幾乎所有專業(yè)都要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，在培養(yǎng)學(xué)生的文化素養(yǎng)、創(chuàng)新能力和探索精神方面起著重要作用。課堂教學(xué)作為學(xué)生主要接受教育的形式，在這方面有著十分重要的引導(dǎo)作用。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用已有知識和經(jīng)驗，挖掘新問題，探索新領(lǐng)域，提出新觀點，從不同角度思考問題，選用不同方法解決問題，形成多角度、多方面的思維品質(zhì)也是課堂教學(xué)必不可少的教學(xué)環(huán)節(jié)。適當(dāng)?shù)貥?gòu)建合適的可視化教學(xué)案例能夠起到極大的引導(dǎo)和推進(jìn)作用。

案例4：曲率。在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)教材中對于曲率的引出一般都是通過弧微分的介紹，分析弧長變化與切線轉(zhuǎn)角變化之間的關(guān)系得到。在課堂教學(xué)實踐中，嘗試使用“三點確定一個圓”的方法，直接使用圓的大小來度量曲線彎曲程度的方式進(jìn)行引入與介紹。這樣就很直觀地和中學(xué)內(nèi)容銜接起來，更容易讓學(xué)生接受。并且，在實驗結(jié)果的理論探討過程中還加深對之前極限與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的理解，可謂取得一舉多得的教學(xué)效果。

具體實施方法：利用Mathematica軟件計算不同圓的半徑，利用給定函數(shù)y=f(x)對應(yīng)的曲線上三個點的坐標(biāo)（x0，f(x0)）和（x0±h，f(x0±h)）求得對應(yīng)圓的圓心坐標(biāo)和半徑計算公式；根據(jù)計算得到的公式，取f(x)=x2為例繪制曲線與不同位置的曲率圓，觀察曲線彎曲程度與曲率圓大小的變化對應(yīng)關(guān)系；對Mathematica中求得的公式，取t→0進(jìn)行理論推導(dǎo)得到半徑和圓心坐標(biāo)的極限值；最后發(fā)現(xiàn)得到的結(jié)果與教材中利用弧微分推導(dǎo)得到的結(jié)果一致，從而驗證該方法的有效性。但是該方法相對于弧微分方法來說更加直觀、簡單和更容易被學(xué)生所接受。

4 學(xué)科交叉應(yīng)用型案例

學(xué)習(xí)的目標(biāo)是為了滿足應(yīng)用的需要。當(dāng)然，這種需要有實際生活、工程等方面的需要，也包括后續(xù)學(xué)習(xí)的需要。因此，在教學(xué)過程中需要給學(xué)生充分展示數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用能力和其他學(xué)科知識的相關(guān)性，這樣既能激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，喚起探索數(shù)學(xué)的熱情，也從不同的角度更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

案例5：圖像信息隱藏與偽裝[2]。在Mathematica中比較大的優(yōu)勢是能夠?qū)⒕仃囎鳛橐粋€整體進(jìn)行處理，而不管其元素是否為單個的數(shù)值。因此，借助于Mathematica軟件在不需要太多其他相關(guān)知識的前提下能夠完成對圖像的處理操作。因此，該案例只是對數(shù)字圖像在計算機中的表示方法和在Mathematica中讀取圖像和分離像素的方法進(jìn)行簡單、直觀的介紹。通過線性函數(shù)y=ax+b就實現(xiàn)簡單的圖像融合處理。由此也將其應(yīng)用進(jìn)行拓廣與比較，如直接的矩陣變換方法、按像素操作的方法、疊像術(shù)、圖像分離以及多次融合的方法，將學(xué)生最感興趣的圖像處理引入簡單的數(shù)學(xué)應(yīng)用中。

案例6：圖形變換。這是實施空間解析幾何部分內(nèi)容教學(xué)時使用的案例，主要是將立體圖形的變換轉(zhuǎn)換為矩陣對方程的操作，將一般方程轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)曲面方程，從而搭建起高等數(shù)學(xué)與線性代數(shù)之間的橋梁。

如xOy面繞z軸坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系為：

方程z=xy使用該變換關(guān)系得到二次標(biāo)準(zhǔn)方程z=(x2-y2)/2，通過實驗演示直觀上得到一般曲線方程z=xy為馬鞍面的結(jié)論。

5 理論說明型案例

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，概念與相關(guān)理論結(jié)果的解釋與說明一直是課堂教學(xué)中教學(xué)的重點與難點。借助于Mathematica構(gòu)建的可視化案例則可以起到直觀說明作用。

案例7：極限定義中ε-N，ε-δ之間的關(guān)系。以數(shù)列極限的ε-N為例，定義為，存在N∈Z+，當(dāng)n＞N時，恒有|an-a|＜ε。定義中，學(xué)生對于ε和N的關(guān)系一直弄不清楚，是函數(shù)關(guān)系還是不是，也一直不是特別明白。為此，構(gòu)建交互式演示程序，從直覺上解釋說明。同樣對于其他的極限的精確定義形式也構(gòu)建了相應(yīng)的案例。

案例8：向量積的右手法則[3]。事實上，只要證明兩個相互垂直的單位向量a，b連同它們的叉積a×b服從右手法則即可。為此，構(gòu)造一族隨時間t（0≤t≤1）連續(xù)變化的兩兩相互垂直的向量組a(t)，b(t)，a(t)×b(t)，使得a(0)，b(0)，a(0)×b(0)就是a，b，a×b，而a(1)，b(1)，a(1)×b(1)就是坐標(biāo)軸方向。因為最初設(shè)置空間直角坐標(biāo)系時是按照右手系法則來安排基向量i，j，k的，并且a(t)，b(t)，a(t)×b(t)這三個向量在連續(xù)轉(zhuǎn)動過程中其定向關(guān)系是不會改變的，這樣就證明向量a，b的叉積運算服從右手法則。為說明以上是正確的，構(gòu)建可視化的Mathematica程序進(jìn)行驗證與演示。

6 結(jié)論

以上是在教學(xué)實踐過程中進(jìn)行可視化教學(xué)的幾個案例。對于這樣的案例還有很多，比如對擺線生成的擴展，漸屈線和漸伸線，極坐標(biāo)方程的生成，變化率與相關(guān)變化率的意義，多項式逼近與泰勒公式的演示，積分概念的引出，微分方程、方向?qū)?shù)與梯度的應(yīng)用，冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開，曲面的面積計算和三維圖形的展示，等等，都是在課堂教學(xué)中進(jìn)行可視化教學(xué)構(gòu)建案例的知識點。另外，與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的各課程之間，尤其是與公共基礎(chǔ)課程線性代數(shù)與概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程之間的聯(lián)系，比如函數(shù)的線性相關(guān)性與線性代數(shù)中的線性相關(guān)性，微積分內(nèi)容與概率論與數(shù)理統(tǒng)計分布函數(shù)、密度函數(shù)之間的聯(lián)系，函數(shù)、向量處理與級數(shù)理論在信號處理方面的應(yīng)用，借助于微分幾何或向量代數(shù)的方法對曲率概念的推廣[4-5]，等等，都是值得去挖掘的教學(xué)案例。

借助于數(shù)學(xué)軟件設(shè)計的可視化教學(xué)案例，將抽象的數(shù)學(xué)定義、公式和定理通過數(shù)學(xué)實驗以直觀、形象的方式表現(xiàn)出來，在一定程度上確實起到增強教學(xué)效果的作用。但是在實施可視化實驗案例教學(xué)的同時，也要充分認(rèn)識到借助于數(shù)學(xué)軟件的可視化教學(xué)也只不過是實施高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一種手段。高等數(shù)學(xué)中有一些內(nèi)容確實適合于課堂計算機輔助教學(xué)，但還有很多內(nèi)容可能借助于黑板板書與推算教學(xué)會更有效。所以，在教學(xué)實踐中需要將兩者結(jié)合起來，相輔相成，才會取得更好的教學(xué)效果。

[1]徐秋平,王亞榮.數(shù)學(xué)課件智能交互的設(shè)計與實現(xiàn)[J].現(xiàn)代教育技術(shù),2007,17(5):53-55.

[2]李建平,朱健民,劉雄偉,等.高等數(shù)學(xué)課程實驗[M].北京:科學(xué)出版社,2011.

[3]朱健民,李建平.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[4]祁玉海,陳酌.曲面上的曲率新講[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2006,22(5):138-142.

[5]劉元興.“曲率”教學(xué)管見[J].湘潭師范學(xué)院:自然科學(xué)版,2004,26(2):115-116.