王傳江 王解先 顧建祥

(1.上海市測(cè)繪院，上海 200063; 2.同濟(jì)大學(xué)，上海 200092)

三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中，采用7參數(shù)(3個(gè)平移參數(shù)、3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)、1個(gè)尺度參數(shù))的Bursa-Wolf模型只適用于小角度下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，當(dāng)在兩坐標(biāo)系統(tǒng)下有3個(gè)或3個(gè)以上公共點(diǎn)，就可解算出7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)?？臻g大地測(cè)量、三維激光掃描、近景攝影測(cè)量的交會(huì)攝影、測(cè)量機(jī)器人自由設(shè)站以及GIS中，都遇到大量的大旋轉(zhuǎn)角三維直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換問(wèn)題。

在3個(gè)或3個(gè)以上公共點(diǎn)不共線的情況下對(duì)大角度的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，一種方法是對(duì)非線性模型線性化，陳義等提出了以方向余弦為參數(shù)適用于任意旋轉(zhuǎn)角的空間轉(zhuǎn)換方法[3]，姚吉利等提出了羅德里格矩陣代替方向余弦矩陣的方法[4]。另一種通過(guò)引入反對(duì)稱矩陣等方式，形成線性方程解算，姚吉利提出了3維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換7參數(shù)直接計(jì)算的模型[5]，潘國(guó)榮等提出一種基于空間向量旋動(dòng)理論的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型[6]，秦世偉等提出了以轉(zhuǎn)換矩陣9元素為參數(shù)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的簡(jiǎn)便模型，但其在3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可能導(dǎo)致矩陣病態(tài)[7]。

在3個(gè)或3個(gè)以上公共點(diǎn)時(shí)，提出了通過(guò)構(gòu)建輔助公共點(diǎn)，以平移量及旋轉(zhuǎn)矩陣元素為參數(shù)組成線性方程，按最小二乘法完成參數(shù)計(jì)算及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，適用于任意旋轉(zhuǎn)角的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 輔助公共點(diǎn)的計(jì)算：

設(shè)3個(gè)不共線公共點(diǎn)A1、A2、A3在A坐標(biāo)系中坐標(biāo)分別為A1(x1，y1，z1)、A2(x2，y2，z2)、A3(x3，y3，z3)，有A1、A2、A3可形成一個(gè)空間平面，其法向量按公式(1)計(jì)算

(1)

(2)

給定一個(gè)合適的距離D，在該直線上距A1點(diǎn)距離為D的空間輔助點(diǎn)FDA1坐標(biāo)按公式(3)計(jì)算

(3)

公共點(diǎn)A1在B坐標(biāo)系中可按上述方法計(jì)算相對(duì)應(yīng)的輔助點(diǎn)坐標(biāo)，這里距離須考慮比例系數(shù)，則D′=(1+m)D；同樣，在公共點(diǎn)A2處，按上述思路計(jì)算另一輔助公共點(diǎn)FDA2在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

由坐標(biāo)計(jì)算距離，通過(guò)相應(yīng)距離的比較得出尺度參數(shù)，在文獻(xiàn)[4] 、[6]中均有詳細(xì)論述，設(shè)dij、Dij為Ai、Aj兩點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)和坐標(biāo)系B中的距離，對(duì)n個(gè)公共點(diǎn)，可計(jì)算n(n-1)/2條邊比例系數(shù)，尺度參數(shù)的最佳估計(jì)值為n(n-1)/2個(gè)尺度參數(shù)的平均值，尺度參數(shù)可按公式(4)計(jì)算

(4)

1.2 空間轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型

設(shè)有兩個(gè)空間直角坐標(biāo)系分別為O-XYZ和O′-X′Y′Z′(如圖1所示)，兩空間直角坐標(biāo)系間有七個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)(3個(gè)平移參數(shù)、3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)和1個(gè)尺度參數(shù))。

圖1 空間轉(zhuǎn)換

由空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)到空間直角坐標(biāo)系B的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(5)

R(ωX).R(ωY).R(ωZ)為旋轉(zhuǎn)矩陣，記為R=R(ωX).R(ωY).R(ωZ)。

(6)

以R中9個(gè)元素為參數(shù)，將1+m乘入矩陣中各元素中，令

(7)

將(7)式代入公式(5)中，以平移3參數(shù)及旋轉(zhuǎn)矩陣9參數(shù)共12個(gè)元素為未知參數(shù)，則公式(1)可寫成如下形式

(8)

式中：X1×12=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33ΔX0ΔY0ΔZ0]T

當(dāng)有不共線3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，按公式(3)計(jì)算出2個(gè)輔助公共點(diǎn)，則由這5個(gè)公共點(diǎn)根據(jù)公式(8)可組成15個(gè)方程，按最小二乘法計(jì)算出X1×12；同上，當(dāng)有n個(gè)公共點(diǎn)，可組成3(n+2)個(gè)方程，完成參數(shù)計(jì)算及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，計(jì)算出旋轉(zhuǎn)矩陣后，由公式(6)可計(jì)算3個(gè)旋轉(zhuǎn)角。

2 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為驗(yàn)證坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的正確性和可靠性，采用文獻(xiàn)[3]中的數(shù)據(jù)，節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)和實(shí)測(cè)坐標(biāo)見(jiàn)表1，文獻(xiàn)[3]算法與本文算法分別計(jì)算的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)及較差數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表1 節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)坐標(biāo)和實(shí)測(cè)坐標(biāo) mm

由表1數(shù)據(jù)按上述坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)為

(1+m)=1.001 442 289 3

旋轉(zhuǎn)矩陣

R=

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，本文算法可實(shí)現(xiàn)三維直角坐標(biāo)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，表2數(shù)據(jù)表明，二者的轉(zhuǎn)換精度基本一致。

表2 轉(zhuǎn)換后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和坐標(biāo)較差 mm

3 結(jié)論

將空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題從非線性的的形式轉(zhuǎn)化為線性的、參數(shù)相關(guān)的形式，使解算公式簡(jiǎn)單明了，避免了采用非線性方程線性化迭代求解的模型對(duì)參數(shù)初值、迭代收斂等問(wèn)題的考慮，經(jīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)及模擬數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，算法解算精度較好，可靠性高。在3個(gè)或3個(gè)以上公共點(diǎn)的情況下，模型可完成任意角度情況下的三維直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，對(duì)工程應(yīng)用有參考意義。

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