周 敏，曾國紅，白曉紅，賀武斌

（太原理工大學 建筑與土木工程學院，太原030024）

地下管道在城市生活中起著不可缺失的作用，隨著城市的發(fā)展，城市地下管道系統(tǒng)也越來越龐大復雜，一旦發(fā)生破壞，對城市居民的生活將產(chǎn)生極大的影響，而且維修的工作也不容易進行。由于土層沉降而發(fā)生地下管線破壞變形屢見不鮮，通過實驗?zāi)Ｐ蛯ζ溥M行模擬，可以得到土層沉降對于地下管線的影響破壞規(guī)律，以便在實際工程中采取相應(yīng)的措施來保護管線，同時還可以為地下管線監(jiān)視系統(tǒng)提供其所需要的管線破壞臨界范圍相關(guān)數(shù)據(jù)，從而可以及時地對將要破壞的管線進行維護和修理。一般對于工程實際模擬的實驗理論基礎(chǔ)是相似原理和量綱分析，其目的在于找到工程實際和物理實驗?zāi)Ｐ偷南嗨婆袚?jù)，以便確定出實驗?zāi)Ｐ偷某叽?、材料、受力等諸多方面的條件，從而建立與工程實際相似的實驗?zāi)Ｐ停贸鰧嶋H而言有參考價值的數(shù)據(jù)和信息。

目前國內(nèi)外學者對于相似理論有大量的研究，但主要是針對于流體領(lǐng)域，例如對于流體的相似研究，我們已經(jīng)有了相當成熟的相似判據(jù)，包括雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)、歐拉數(shù)、柯西數(shù)、韋伯數(shù)、斯特勞哈爾數(shù)等，這些相似判據(jù)可以清晰地判定流體試驗與實際情況相似的程度［1－4］。對于非流體領(lǐng)域，前人也作了相關(guān)研究。胡云用量綱分析法對建立相似的物理模型進行了相關(guān)的討論［5］，李國梁、韓超等對深基坑的相似材料進行了研究分析［6］，范鶴、劉斌等對高填土涵洞材料進行了相似研究［7］。太原市有關(guān)部門在進行城市地下管網(wǎng)一系列工作的同時，地下管網(wǎng)的監(jiān)控系統(tǒng)需要有關(guān)于土層沉降引起地下管線變形破壞的一系列數(shù)據(jù)，以便加強預(yù)警監(jiān)控功能。為了獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，運用物理實驗?zāi)Ｐ蛯μ泄艿缆裰们闆r進行模擬便成為了一條行之有效的措施。筆者在前人的基礎(chǔ)上，對于土體沉降引起地下管線變形破壞的實驗?zāi)M相似性作了進一步的分析和研究。

1 相似原理以及本實驗相似原理思路的闡述

白金漢（Buckingham）定理［8］：當一個現(xiàn)象由n個物理量的函數(shù)關(guān)系f（x1，x2，x3，…，xm）＝0來表示，且這些物理量在量綱上含有m個相互獨立的量時，則能得到（n－m）個相似判據(jù)，這些相似判據(jù)滿足的函數(shù)關(guān)系式g（x1，x2，x3，…，xn－m）＝0等價于f（x1，x2，x3，…，xm）＝0，從而可表征相似的物理現(xiàn)象。

如果兩個系統(tǒng)擁有相同的相似判據(jù)，則這兩個系統(tǒng)相似。相似的兩個系統(tǒng)中各對應(yīng)物理量的比值是無量綱的常數(shù)，稱為相似常數(shù)。相似常數(shù)之間必定滿足一定的關(guān)系，這種關(guān)系可以由相似判據(jù)得到，只要設(shè)計的模型與原型中相對應(yīng)量的比值滿足相似常數(shù)，則可以由模型模擬反映出原型的力學狀態(tài)。

對于土體沉降這樣復雜的物理現(xiàn)象，想要在理論上羅列出一系列可以精確表達這一物理現(xiàn)象的數(shù)學方程式是困難的，但只要我們知道哪些物理量在這一現(xiàn)象中起著重要的影響作用，利用量綱分析和相似原理對其加以分析就可以得到相應(yīng)的相似判據(jù)，從而建立起具有實際意義的模型模擬實驗。

在土體沒有發(fā)生沉降時，土體和地下管道的整個系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；在隨后的土體沉降過程中，土體發(fā)生了位移，呈現(xiàn)一種類似于流動的狀態(tài)；在土體沉降穩(wěn)定之后，管道產(chǎn)生了大變形或者發(fā)生破壞。高惠瑛、馮啟民［9］針對土體沉降結(jié)束后，管道產(chǎn)生大變形的最終狀態(tài)進行受力分析，朱慶杰等［10］用軟件模擬了管土摩擦和管徑對于地下管道的破壞作用，筆者參考前人的理論成果并加以進一步分析，挑選了對于土體沉降引起管線變形破壞這一現(xiàn)象產(chǎn)生重要影響的幾個關(guān)鍵性因素，并對其進行了相似分析，得出了相似判據(jù)。

2 建立地下管線沉降破壞試驗?zāi)Ｐ偷囊罁?jù)

2.1 幾何相似

在實驗?zāi)M中，我們首先要考慮的是實驗?zāi)Ｐ秃驮驮趲缀纬叽缟弦_成一定的相似比例。在模擬實驗中，上覆土埋深依據(jù)太原市地下管道的一般情況取為1.5m，實驗管道材料選取實際給水管道PE100，即在豎直方向，該模擬實驗的幾何相似比約為1。在水平方向，由于實際情況的沉降區(qū)長度無法預(yù)計，在模擬實驗中，根據(jù)實驗場地條件選取3m的沉降區(qū)進行模擬。

2.2 確定相似影響因素

前文已經(jīng)論述了實驗?zāi)Ｐ秃蛯嶋H工程的幾何相似性，但幾何上相似的兩個系統(tǒng)并不見得在物理性質(zhì)上也相似，怎樣使得實驗?zāi)M模型與工程實際在物理性質(zhì)上保持相似性呢？因為由量綱均為1的量構(gòu)成的物理方程是不存在尺度問題的，即把相應(yīng)的物理方程無量綱化以后就可以適用于所有尺度，所以在物理上相似的條件是有關(guān)的量綱為1的組合量具有相同的數(shù)值，即使得兩個系統(tǒng)的相似判據(jù)保持一致。

當管子兩端拉力約束小時，管子達到破壞時的豎向變形就大，反之，管子的豎向變形就小，所以模擬管子的實際兩端拉拽力很重要。在實驗中，將管子的兩端固定以模擬在工程實際中管子近似于無限長時對沉降區(qū)那段管道的拉拽作用。同時，在實際地下管道埋置中，管子時刻受著上部土和交通荷載的壓力，以及在土體發(fā)生沉降過程中，土體施加于管道的力，在反映應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的物理方程中涉及到材料的彈性模量和泊松比，所以管子的彈性模量E和泊松比μ應(yīng)作為我們考慮實驗?zāi)M的重要因素；管子的外徑D和壁厚T作為管道的本身物理特征，在土體沉降過程中影響著管道的應(yīng)力和變形，應(yīng)加以考慮；管子的埋深z和土的重度γ影響著管子所受的上覆土壓力應(yīng)加以考慮；管道下方土體的抵抗變形能力對管子在土體沉降過程中的應(yīng)力和變形起著重要影響，考慮為由土體的側(cè)限壓縮模量Es反映；不論是在沉降過程中還是沉降結(jié)束以后，土體與管道之間的摩擦力對管道的受力變形均起著重要的影響作用，考慮管土之間的摩擦角φ以反映此影響。

盡管土體在沉降過程中所呈現(xiàn)的是一種類似于流體的狀態(tài)，其主要受到重力的影響，根據(jù)流體相似理論，在此過程中，原型和模型的弗勞德數(shù)應(yīng)該一致，但實際沉降的速度很難測定，所以就導致了土體沉降過程的模擬十分困難。在此種情況下，文獻［9］指出在考慮不均勻沉陷對埋地管線的作用時，忽略慣性力的影響，簡化為擬靜力問題來考慮。這樣的話，我們完全可以忽略土體的實際沉降速度，即不把沉降過程中的土體看作是流體，而只考慮已經(jīng)分析得到的其他的影響因素的相似量綱分析，就可以對實際土體沉降過程做出很好的模擬。

將管線沉降破壞問題所涉及到的幾個物理量進行量綱分析：

管道的彈性模量E的量綱［ML－1T－2］；

管道泊松比μ的量綱［1］；

管道外徑D的量綱［L］；

管道壁厚T的量綱［L］；

管道的埋深z的量綱［L］；

土體與管道的摩擦角φ量綱［1］；

土體重度γ的量綱［ML－2T－2］；

土體的側(cè)限壓縮模量Es的量綱［ML－1T－2］.

這8個變量應(yīng)該滿足一定的函數(shù)關(guān)系式，將其表示如下：

除去量綱為1的兩個量，對其余的量做量綱分析；

求解齊次線性方程組AX＝0，因rank（A）＝2，所以方程組有n－r＝6－2＝4個基向量，如下：

于是相似判據(jù)為：

并可以代替其來反應(yīng)物理過程。

2.3 相似判據(jù)物理意義的分析

對于上述量綱分析中的齊次方程的求解，其實是可以有很多種基向量組合的，也就是說，通過以上方法可以確定出不同組合的相似判據(jù)，怎么針對具體的工程實際來選定基本影響因素，以得到合適的相似判據(jù)是需要考慮的問題。

得到的相似判據(jù)在影響因素的組成上應(yīng)有其比較明確的物理意義，這樣才能夠了解每一個相似判據(jù)在實驗?zāi)M中所起的具體相似作用。

π1：E為管道的彈性模量，zγ表示管道上覆土體對管道的壓力，故π1表征管道上覆土體對于管道彈性變形的相似模擬依據(jù)。

π2，π3：D表示管道的外徑；T 表示管道的壁厚；z表示管道的埋深。這兩個相似判據(jù)從實驗?zāi)Ｐ偷膸缀纬叽缤庑紊线M一步表征了模擬實驗的物理相似性。

π4：Es是土體的側(cè)限壓縮模量，它在此表征發(fā)生沉降之后，管道下方土體所發(fā)生的變形情況，進而表征其對于管道的支撐能力；zγ表示上覆土對于管道的均布壓力。故π4表征管道下方土體在沉降受力過程中產(chǎn)生變形進而影響到管道變形的相似模擬依據(jù)。

3 模擬實驗的建立和數(shù)據(jù)分析

實際的地下管道上部直接填埋500mm厚的沙土，管道下部在原土地基上鋪100mm厚沙土，所用沙土中水的質(zhì)量分數(shù)為10%，干重度為14.2kN／m3。實驗?zāi)M中，由于采用的管道是和實際情況相同的PE100給水管，故采用與實際情況具有相同含水率的沙土作為實驗用土，并壓實到其干重度與實際所用沙土相近，以保證實際情況和實驗?zāi)M管土之間的摩擦角φ相似。

實驗采用和實際給水管道相同的PE100管材，故管道泊松比μ一致，滿足相似要求。

填埋在管道上部沙土上面的回填土為開挖出來的原土，其重度約為16.7kN／m3，厚度為1m左右。在實驗?zāi)M中采用重度相同的袋裝土形式進行模擬，以保證實際情況和實驗?zāi)M滿足相似判據(jù)π1＝Ez－1γ－1。

相似判據(jù)π2，π3由幾何相似已經(jīng)滿足。

管道下方的原狀土地基的側(cè)限壓縮模量約為Es＝4.52MPa?？紤]到實驗的模擬沉降方式為人工掏土，且實驗管道只有1m的底部填土，如果管道下方用黏性土模擬，可能由于實驗場地狹小的限制和黏性土的自身黏聚力的影響，產(chǎn)生不了足夠大的土體沉降，而不能使得管道如真實發(fā)生沉降時那么快速劇烈地變形，因此，實驗選用了流動性較大的沙土來進行模擬。通過測量模擬實驗所用沙土不同干密度下所對應(yīng)的側(cè)限壓縮模量，得出兩者的曲線關(guān)系圖。實驗所用沙土在兩側(cè)墻體的約束下用振搗壓實的方法控制其干密度，依據(jù)已經(jīng)得到的沙土干密度和側(cè)限壓縮模量的關(guān)系曲線，使得沙土的側(cè)限壓縮模量與實際土體相近，從而保證實際情況和模擬實驗遵守相似判據(jù)π4。

根據(jù)以上的相似分析，建立了如圖1所示的物理實驗?zāi)Ｐ汀?/p>

圖1 實驗?zāi)Ｐ?/p>

實驗?zāi)M的是PE100給水管道的變形，并在其不同的受力部位貼應(yīng)變片，以獲取可靠的實驗?zāi)M數(shù)據(jù)。實驗采取在管道中間底部人工掏土的方式來模擬土體的沉降，并觀察記錄管道的受力變形過程。

管道中間正下方的拉應(yīng)變隨時間的變化如圖2所示。

圖2 管道中部拉應(yīng)變與沉降時間關(guān)系曲線

管道中間正上方的壓應(yīng)變隨時間的變化如圖3所示。

圖3 管道中部壓應(yīng)變與沉降時間關(guān)系

在人工挖土模擬沉降之前，堆積在管子上方的土體在經(jīng)過了1 050min的靜載以模擬實際土體的固結(jié)后，管子中間正下方產(chǎn)生了1 615.311×10－6的拉應(yīng)變，中間正上方產(chǎn)生了－1524.88×10－6的壓應(yīng)變，所以圖2，圖3在反應(yīng)土體沉降與時間關(guān)系的時候，時間坐標原點是從1 050min處開始的。

管道中部撓度與時間的關(guān)系如圖4所示。

4 實驗結(jié)果討論

從圖2和圖3兩組實驗數(shù)據(jù)對比來看，管道的受拉和受壓部位的變形能夠很好地相符合，無論管道的拉應(yīng)變還是壓應(yīng)變均隨著模擬實驗時間的推移而明顯變大。

圖4 管道中部撓度與沉降時間關(guān)系

由管道中部拉應(yīng)變與模擬沉降時間的關(guān)系以及沉降時間與管道中部撓度的關(guān)系，并由PE100管道的彈性模量E＝1.25GPa算出相應(yīng)拉應(yīng)變下的管道拉應(yīng)力，從而得出管道中部拉應(yīng)力和管道中部撓曲變形的關(guān)系曲線圖如圖5所示。

圖5 管道中部撓度與拉應(yīng)變的關(guān)系

管道中部所受拉應(yīng)力隨著管道中部撓曲變形的增加而明顯增加，其與文獻［9］純理論計算得出的管道應(yīng)力和土體沉降的關(guān)系一致。

實驗?zāi)M土體沉降，使管子彎曲，如圖6所示。

圖6 實驗?zāi)M土體沉降

管子取出后，其中部最終撓曲變形為22cm，如圖7所示。

在模擬實驗結(jié)束后，保持管道上部靜載4d之后取出管子。如圖7管道的中間撓度為22cm，拉應(yīng)變達到10 000με，計算拉應(yīng)力值為12.5MPa。同時，管子中部正下方只是出現(xiàn)白色受拉紋路并沒有破壞，與其設(shè)計強度22MPa是符合的。

圖7 管道的最終撓度

5 實驗數(shù)據(jù)和工程實際數(shù)值的轉(zhuǎn)換關(guān)系

由于實際發(fā)生土體沉降區(qū)域的長度不定，故模擬實驗不可能準確模擬實際沉降區(qū)長度。用σ表示管道在土體沉降時所受的應(yīng)力，l表示土體沉降區(qū)長度，根據(jù)文獻［9］中的理論計算，當土體的沉降深度一定時，σ應(yīng)該是隨著l的增大而減小的。假定兩者大致符合反比例函數(shù)，則在此我們將管道所受應(yīng)力σ和土體沉降區(qū)長度l合在一起看作一個整體，然后對其進行量綱分析，從而找到一個σ隨l變化的函數(shù)關(guān)系式，以達到相應(yīng)的模擬轉(zhuǎn)換效果。

建立如下的函數(shù)關(guān)系式：得到與

h（E，μ，D，T，z，γ，φ，Es，σl）＝0

等價的函數(shù)表達式：

δ（π1，π2，π3，π4，μ，φ，z－1γ－1σl）＝0.

通過變形得到：

Z－1γ－1σl＝Ω（π1，π2，π3，π4，μ，φ），

從而得到：

σ＝Zγl－1Ω（π1，π2，π3，π4，μ，φ）.

模型中的物理量和工程實際中的物理量都應(yīng)符合這個函數(shù)關(guān)系式：

因為在物理實驗?zāi)Ｐ秃凸こ虒嶋H中，已經(jīng)使得π1，π2，π3，π4，μ，φ是相等的，所以將上面的兩個等式相比，得實驗數(shù)值和工程實際數(shù)值的轉(zhuǎn)換關(guān)系式：

下標m表示模型實驗的量，下標p表示原型實際的量。

6 結(jié)束語

1）筆者基于相似原理和量綱分析對實際土體沉降引起管線破壞的物理實驗?zāi)M進行了相似性研究，提出了對于土體沉降引起管線破壞變形這一物理過程的實驗?zāi)M所應(yīng)遵守的相似判據(jù)。通過分析依據(jù)此相似判據(jù)建立起來的模擬實驗的數(shù)據(jù)說明了這一相似判據(jù)的合理性，從而可以為以后相關(guān)的實驗?zāi)M研究提供參考。

2）針對室內(nèi)模擬實驗不可能完全相似模擬實際沉降區(qū)長度這一問題，本文根據(jù)量綱分析原理提出了基于一定沉降區(qū)長度的模擬實驗來計算實際不同沉降區(qū)長度的管道受力公式，這樣，我們便可以在初步觀測到實際地面沉降長度時就能有效地預(yù)估其施加于管道的壓力，從而采取相應(yīng)的措施。

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