劉雪飛， 鐘曉珠， 許紅葉， 王寅琮， 趙 芬

(燕山大學 理學院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

由于差分方程的廣泛應用，對它的研究也隨之越來越多，特別是對差分方程解的振動性的充要條件的研究有了較多的研究成果[1-3].文獻[4-6]對含有極大值的一階差分方程進行了研究，但是對含有極大值的二階差分方程的研究卻很少.作者研究了含有極大值的二階差分方程

(1)

其中，[n-l,n]={n-l,n-l+1,…,n}，l,k為正整數(shù)，{qn},{rn}為非負實數(shù)列，{pn}為實數(shù)列.

方程(1)的解{xn}如果既不最終為正，也不最終為負，就稱為振動的，否則，就稱為非振動的.如果方程(1)的所有解都是振動的，方程(1)就稱為振動的.

定義

zn=xn-pnxn-k，

(2)

則由(1)可得

(3)

1 引理

引理1(Ⅰ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的正有界解，則{zn}非減且zn>0；

(Ⅱ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的負有界解，則{zn}非增且zn<0.

證明(Ⅰ)因為{xn}為(1)的正有界解，由(3)可得

(4)

所以{Δzn}為非增的.

因為zn=xn-pnxn-k，且{xn}為(1)的正有界解，pn≤-1，所以zn>0且{zn}有界.下面證明當n≥n0時，Δzn≤0.

否則?n1，使得n1≥n0，當n≥n1時有Δzn>0，由(4)可知Δzn≤Δzn1.從n1加到n-1，得zn-zn1≤(n-n1)Δzn1，當n→時，則zn→+與{zn}有界矛盾，所以Δzn≤0，則{Δzn}為非增的，(Ⅰ)得證.

(Ⅱ)因為(2)成立，且{xn}為(1)的負有界解，pn≤-1 ，所以zn<0且{zn}有界.下面證明Δzn≥0.

當n≥n0時，證明方法同(Ⅰ)，當n→時，則zn→-與{zn}有界矛盾，所以 Δzn≥0，則{Δzn}為非減的，(Ⅱ)得證.

引理2若

(H1)

成立，當0≤pn≤1，{xn}為(1)的正解時，則{zn}單增且zn>0.

根據(jù)(4)可知

(5)

將(5)式從n0加到i,得

(6)

將(6)式從n0加到n-2,得

由(H1)可知，當n→時，zn→-與{zn}有界矛盾，則zn>0.下面證{zn}單增.

當n≥n4時，Δzn>0.否則?n5，使得n5≥n4，當n≥n5時，Δzn≤0，由(4)知，當n≥n5時,

Δzn≤Δzn5

，

(7)

將(7)式從n5加到n-1,得

zn-zn5≤(n-n5)Δzn5,

當n→時，有zn→-，與zn為正矛盾，則Δzn>0，{zn}單增得證.

2 定理

因為{xn}為(1)的正解, 且pn≤-1，則zn=xn-pnxn-k>0.由引理1知{zn}非增且zn>0.?T=

例如：教師在給學生講解地理相關的地形地貌的時候，可以為學生搜集相關的圖像，讓學生能夠對我們國家復雜的地貌有一個具體的了解，這樣學生就會在接下來的學習過程中更加的積極主動，能夠把自己的注意力集中到學生地理知識上來，提高教師課堂的教學效果。

(8)

將(8)式從n0加到i，得

(9)

將(9)式從n0加到n-2，得

由(H1)可知，當n→時，zn→-與zn=xn-pnxn-k>0產(chǎn)生矛盾，得證.

證明假設{xn}為方程(1)的最終正解，根據(jù)已知條件和引理2知，Δzn>0且zn>0.

由(2)知xn≥zn，同理可得出xs≥zs，則根據(jù)(3)得

(10)

將(10)式從n加到n+k-l-2，且zn>0，有

證明(ⅰ)首先證明zn<0.

假設zn≥0，設xn為方程(1)的一個最終正解，根據(jù)(2)且pn≥1，則xn≥pnxn-k≥xn-k，所以{xn}有下界，?M>0,當n≥n0時，xn≥M.

由(3)知

(11)

將(11)式從n0加到i-1,得

(12)

將(12)式從n0加到n-1，得

因為(H1)成立，當n→時，有zn→-,與假設中zn≥0矛盾，則zn<0得證.

(ⅱ) 再證Δzn<0.

假設Δzn≥0，由(3)可知，Δzn是非增的，當n≥n1時，則Δzn1≥Δzn.從n1加到n得zn-zn1≤(n-n0+1)Δzn1，當n→時，則zn→+與(ⅰ)矛盾，(ⅱ)得證.

(ⅲ)由zn=xn-pnxn-k<0知,xn=zn+pnxn-k>0，則有zn>-pnxn-k.

由(ⅱ)和(3)得

(13)

將(13)式從n加到n+k-l-2，得

由Δzn<0知

同理，當xn為方程(1)的一個最終負解時，可得出矛盾，所以方程(1)的所有解振動.

參考文獻：

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