李 巖 蔡遠(yuǎn)文

裝備學(xué)院，北京 101416

由于空間自由漂浮機(jī)械臂(FSM)系統(tǒng)工作在微重力環(huán)境下，存在動(dòng)量和動(dòng)量矩守恒，其姿態(tài)會(huì)隨機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)而改變。此時(shí)，機(jī)械臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和固定基座的機(jī)械臂完全不同，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程滿(mǎn)足非完整約束。如何結(jié)合非完整性對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和控制，是FSM系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃需要解決的問(wèn)題[1-4]。

FSM系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃一般以機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)對(duì)基座擾動(dòng)最小和控制過(guò)程能耗最小為優(yōu)化目標(biāo)。研究思路為：首先建立FSM系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為非線性控制系統(tǒng)狀態(tài)方程；然后確定系統(tǒng)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，利用最優(yōu)化理論和方法計(jì)算最優(yōu)控制律，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)最優(yōu)規(guī)劃。本文以文獻(xiàn)[5]中建立的單臂二關(guān)節(jié)機(jī)械臂系統(tǒng)為例，討論其運(yùn)動(dòng)規(guī)劃步驟和方法，幾何與物理參數(shù)定義和數(shù)值參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]2.1節(jié)。

圖1 單臂二關(guān)節(jié)FSM系統(tǒng)參數(shù)定義圖

1 系統(tǒng)狀態(tài)方程和運(yùn)動(dòng)規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)

(1)

根據(jù)最小能量控制原理，選擇機(jī)械臂關(guān)節(jié)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的耗散能作為最優(yōu)控制指標(biāo)，用泛函表示為：

(2)

其中，〈u(t),u(t)〉表示內(nèi)積。式中u(t)為Hilbert空間L2的可測(cè)向量函數(shù)[7-9]。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，常用有限維的子空間代替，由函數(shù)空間中的投影定理，取Fourier基向量ei張成N維線性子空間，則u(t)在N維Fourier子空間上的投影就是Fourier級(jí)數(shù)中前N項(xiàng)部分和，即：

Φa

(3)

其中，ai為函數(shù)u(t)在{ei}(i=1，…，N)基上的投影，a為投影向量；Φ是Fourier正交基向量組成的n×N維矩陣。將a看作新的控制變量，根據(jù)Fourier正交基的積分特性：

(4)

同時(shí)考慮系統(tǒng)終端約束條件，控制目標(biāo)可表示為以下函數(shù)：

(5)

其中λ為懲罰系數(shù)，取值足夠大；x(T)是式(1)在給定控制輸入u(t)時(shí)，系統(tǒng)在t=T時(shí)的狀態(tài)。顯然，x(T)也是a的函數(shù)，記作x(T)=f(a)，當(dāng)給定N和λ時(shí)，式(6)可寫(xiě)為：

(6)

因此，尋找控制輸入u(t)使式(5)為最小的問(wèn)題即為尋找a使式(6)為最小值的問(wèn)題[10-13]。按照上述思路得到以下幾類(lèi)最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)。

1)在機(jī)械臂關(guān)節(jié)角運(yùn)動(dòng)初末速度無(wú)約束的條件下，目標(biāo)函數(shù)為式(6)。

2)一般情況下，機(jī)械臂位形變化時(shí)，要求其關(guān)節(jié)角速度在初始時(shí)刻和終端時(shí)刻為0。在該條件約束下，將目標(biāo)函數(shù)增加輸入條件約束及其懲罰系數(shù)γ，即：

γ[u0(a)2+uT(a)2]

(7)

3)FSM系統(tǒng)，在展開(kāi)過(guò)程中對(duì)本體(載體或基座)的姿態(tài)造成一定的影響，這種影響可以通過(guò)機(jī)械臂從收縮狀態(tài)到完全展開(kāi)過(guò)程中基座姿態(tài)的變化情況來(lái)觀察和分析。在此過(guò)程中，假設(shè)系統(tǒng)滿(mǎn)足能量最優(yōu)以及初末時(shí)刻關(guān)節(jié)角速度為0的條件(即式(7)的條件)，且關(guān)節(jié)角初末狀態(tài)分別為：q10=q20=180°，q1T=q2T=0°，其目標(biāo)函數(shù)如下：

minJ(a)=〈a,a〉+λ[q1T(a)2+q2T(a)2]+

γ[u0(a)2+uT(a)2]

(8)

4)為了尋找控制輸入u(t)使機(jī)械臂展開(kāi)對(duì)基座的影響最小，需要得到衡量基座姿態(tài)變化的指標(biāo)量。從姿態(tài)變化過(guò)程方面考慮，可以用單位時(shí)間姿態(tài)變化量絕對(duì)值的總和來(lái)表示，得到以下指標(biāo)量：

(9)

所以總的目標(biāo)函數(shù)為：

q2T(a)2]+γ[u0(a)2+uT(a)2]

(10)

5)為了使機(jī)械臂展開(kāi)過(guò)程始末，載體姿態(tài)初始和末端狀態(tài)一致，即qB0=qBT(本例為0°)，在系統(tǒng)能耗最小且初末關(guān)節(jié)角速度為0條件下，提出以下目標(biāo)函數(shù)：

γ[u0(a)2+uT(a)2]

(11)

2 求解運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題的遺傳算法

遺傳算法是一種新型的優(yōu)化算法，由于其在進(jìn)化搜索中能基于多點(diǎn)進(jìn)行整體搜索，有較好的全局搜索性能；且僅以目標(biāo)函數(shù)為依據(jù)，在多變量?jī)?yōu)化中優(yōu)于傳統(tǒng)的梯度方法，因而在工程優(yōu)化問(wèn)題中得到廣泛的應(yīng)用。利用遺傳算法求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，當(dāng)變量維數(shù)過(guò)高且取值范圍較大時(shí)，可使用精度高、便于大空間搜索的實(shí)數(shù)編碼[14-15]。在設(shè)計(jì)算法和仿真計(jì)算過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)群體中個(gè)體的適應(yīng)度值相差很小，致使平均適應(yīng)度值和最大個(gè)體適應(yīng)度值比較接近，在采用賭輪選擇機(jī)制時(shí)，平均適應(yīng)度值附近的個(gè)體和適應(yīng)度值最高的個(gè)體被選擇的幾率幾乎相等。這種情況在算法最初，有利于擴(kuò)大搜索范圍，增加種群多樣性，減小得到局部收斂點(diǎn)的可能。但是，在遺傳算法后期，適應(yīng)度差別不明顯，會(huì)使最優(yōu)個(gè)體與大多數(shù)個(gè)體具有等同的淘汰幾率。這樣就會(huì)導(dǎo)致進(jìn)化過(guò)程不收斂，或產(chǎn)生未成熟收斂現(xiàn)象，這時(shí)需要對(duì)適應(yīng)度進(jìn)行放大，增加個(gè)體間的競(jìng)爭(zhēng)力。選擇合適的冪函數(shù)對(duì)適應(yīng)度進(jìn)行收放，能夠有效解決上述問(wèn)題。結(jié)合空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃最優(yōu)控制問(wèn)題，相應(yīng)的遺傳算法步驟如下：

1)染色體編碼。利用遺傳算法的并行搜索，對(duì)式(6)中函數(shù)u(t)在Fourier基上的投影a采用實(shí)數(shù)編碼，染色體編碼為ai(i=1,2,…,N)組成的N維向量。

a=[a1,a2,…,aN]T

(12)

其中，ai為實(shí)數(shù)。

2)初始群體的生成。隨機(jī)產(chǎn)生M個(gè)個(gè)體，將M個(gè)個(gè)體的每一分量初始化為0均值，方差為σ的高斯分布隨機(jī)數(shù)。

3)適應(yīng)度函數(shù)的建立。染色體評(píng)價(jià)的適應(yīng)度函數(shù)設(shè)為：

(13)

其中，a為染色體，J(a)為目標(biāo)函數(shù)式(6)。

4)尺度變換函數(shù)，收放適應(yīng)度：

g′(a)=F(g(a))=(b·g(a))c

(14)

式中，b，c為收放參數(shù)，g′(a)變換后的適應(yīng)度函數(shù)值。

5)遺傳操作設(shè)計(jì)。

①選擇：根據(jù)式(13)和式(14)計(jì)算每個(gè)染色體的適應(yīng)度值g′(ai)(i=1,2,…,M)，那么第i個(gè)個(gè)體被選擇的概率為：

/

(15)

個(gè)體的選擇采用輪盤(pán)賭選擇方法。

②交叉：根據(jù)交叉概率Pc選擇參加交叉的個(gè)體(偶數(shù)個(gè))。采用隨機(jī)線性組合方式進(jìn)行交叉計(jì)算。設(shè)被選中交叉的個(gè)體為：v，w，則其后代v′，w′為：

v′=rv+(1-r)w

w′=rw+(1-r)v

(16)

其中，r為(0,1)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

③變異：根據(jù)變異概率Pm，將被選擇變異的基因變?yōu)槿我煌岛头讲畹母咚狗植茧S機(jī)數(shù)δj。

aij=δj

(17)

6)重復(fù)3)～5)步，直到求出滿(mǎn)足條件的最優(yōu)解，或到達(dá)終止代數(shù)G。

3 運(yùn)動(dòng)規(guī)劃仿真算例和分析

以上述空間機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)作為算例，如圖1所示。設(shè)系統(tǒng)物理和幾何參數(shù)為：m0=1800kg，m1=m2=50kg；I0=1260kg·m2，I1=I2=71kg·m2；b0=3.5m，a1=b1=a2=b2=2.0m。

,,,

(18)

4 已知初末時(shí)刻位置的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

(1)初末時(shí)刻關(guān)節(jié)角速度無(wú)約束

假設(shè)機(jī)械臂系統(tǒng)從初始位形qB0=0°，q10=-21.8°，q20=117.4°，運(yùn)動(dòng)到終端位形qBT=-31.3944°，q1T=66.3102°，q2T=94.9596°[5]，如何選擇投影a，使運(yùn)動(dòng)過(guò)程機(jī)械臂消耗最小。目標(biāo)函數(shù)為：

取λ=1000。

在按照上述步驟執(zhí)行遺傳算法的同時(shí)，需要根據(jù)多次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步確定合適的適應(yīng)度收放參數(shù)b,c，以及高斯分布的方差σ。實(shí)際操作過(guò)程中，本例首先選擇σ=1.0，b=c=10，計(jì)算數(shù)據(jù)表明，滿(mǎn)足最優(yōu)目標(biāo)的投影a分量均小于1，且目標(biāo)值J(a)也小于1。為了使遺傳算法收斂更快，得到更加準(zhǔn)確的結(jié)果，調(diào)整收放參數(shù)為b=1，c=5，種群分布σ=0.1。經(jīng)過(guò)3次計(jì)算，分別得到結(jié)果如表1所示。表1中最優(yōu)值及其遺傳代數(shù)是指同一次試驗(yàn)的2000次迭代中，得到的最優(yōu)值及其代數(shù)。為了獲得更加準(zhǔn)確的最優(yōu)目標(biāo)值，將三次試驗(yàn)中的最優(yōu)結(jié)果，即第二次計(jì)算的投影值a，作為優(yōu)選樣本插入遺傳算法的初始種群中，再次執(zhí)行遺傳算法，得到表2的最優(yōu)值。

表1 計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

表2 插入優(yōu)選樣本試驗(yàn)得到的最優(yōu)結(jié)果

圖2 無(wú)初末端速度約束的位形變化

如果仍然沒(méi)有得到滿(mǎn)意的最優(yōu)值，可以進(jìn)一步將多次計(jì)算的最優(yōu)值結(jié)果作為種子插入初始種群如此往復(fù)直到得到滿(mǎn)足精度要求的結(jié)果。以下計(jì)算過(guò)程同樣采取這種方法。本例以表中的第5次試驗(yàn)結(jié)果作為最優(yōu)值，其仿真過(guò)程軌跡和各參數(shù)的變化情況如圖2和圖3。

(2)關(guān)節(jié)角速度初末時(shí)刻為0。其目標(biāo)函數(shù)為：

γ[u0(a)2+uT(a)2]

取λ=γ=1000，下同。表3中是遺傳算法計(jì)算結(jié)果，圖4中是最優(yōu)輸入下的變化軌跡。從圖5中相關(guān)參數(shù)變化曲線能夠更清楚的看到機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度初末時(shí)刻為0。

圖3 關(guān)節(jié)角速度，關(guān)節(jié)角，基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線

表3 遺傳算法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

圖4 初末速為0約束條件下的位形變化

5 機(jī)械臂展開(kāi)過(guò)程的擾動(dòng)分析

1)能耗最小，初末時(shí)刻關(guān)節(jié)角速度為0的情況。目標(biāo)函數(shù)為：

minJ(a)=〈a,a〉+λ[q1T(a)2+q2T(a)2]+

γ[u0(a)2+uT(a)2]

由于機(jī)械臂系統(tǒng)物理參數(shù)參考真實(shí)航天器，因而機(jī)械臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間盡量符合實(shí)際，設(shè)T=200s。假設(shè)機(jī)械臂在Z軸垂直平面內(nèi)，不受載體形狀約束，可以完全收縮。機(jī)械臂系統(tǒng)以最小的能耗從完全收縮狀態(tài)q10=q20=180°，到完全展開(kāi)狀態(tài)q1T=q2T=0°，分析該過(guò)程對(duì)基座的影響情況。此時(shí)，機(jī)械臂伸展到達(dá)慣性系中的最大作用距離|rt|max=11.1053m。設(shè)基座初始狀態(tài)為qB0=0°，計(jì)算數(shù)據(jù)如表4。

圖6和圖7中的軌跡和參數(shù)變化曲線可以看出，在初末角速度(關(guān)節(jié)角速度)為0，能耗最小的條件下，機(jī)械臂展開(kāi)過(guò)程中，基座姿態(tài)由0°變?yōu)?2.33°。且桿1和桿2幾乎同時(shí)同步展開(kāi)，關(guān)節(jié)展開(kāi)速度變化幾乎一致。算例結(jié)果表明，機(jī)械臂在展開(kāi)過(guò)程中對(duì)基座姿態(tài)造成了較大影響。

圖5 關(guān)節(jié)角速度，關(guān)節(jié)角，基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線

表4 遺傳算法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

圖6 機(jī)械臂從收縮到展開(kāi)的過(guò)程

2)能耗最小，初末時(shí)刻關(guān)節(jié)角速度為0，同時(shí)對(duì)基座擾動(dòng)最小情況。計(jì)算數(shù)據(jù)如表5。目標(biāo)函數(shù)為：

λ[q1T(a)2+q2T(a)2]+γ[u0(a)2+uT(a)2]

從圖8和圖9中可以得出，增加擾動(dòng)最小的目標(biāo)要求后，機(jī)械臂展開(kāi)過(guò)程中，關(guān)節(jié)角q1的變化出現(xiàn)了非單調(diào)的特征。為了減小對(duì)基座的影響，關(guān)節(jié)角q1在110s附近開(kāi)始“過(guò)零”和“回調(diào)”。機(jī)械臂基座姿態(tài)由0°變?yōu)?6.26°，比上例減小近半。此外，為減小對(duì)基座的擾動(dòng)，展開(kāi)過(guò)程中，桿1(關(guān)節(jié)1)首先展開(kāi)；桿2展開(kāi)動(dòng)作稍滯后，且q2單調(diào)變化。該算例表明，合理設(shè)計(jì)規(guī)劃目標(biāo)，可以減小機(jī)械臂對(duì)基座的姿態(tài)擾動(dòng)。

圖7 展開(kāi)過(guò)程中關(guān)節(jié)角速度，關(guān)節(jié)角，基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線

表5 遺傳算法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

3)能耗最小，初末時(shí)刻關(guān)節(jié)角速度為0，擾動(dòng)最小，且基座末端姿態(tài)與初始姿態(tài)一致。計(jì)算數(shù)據(jù)如表6。目標(biāo)函數(shù)為：

圖10和圖11中可以看出，機(jī)械臂的展開(kāi)過(guò)程中關(guān)節(jié)角q1和q2的變化都呈現(xiàn)非單調(diào)性。為了使基座初末狀態(tài)保持一致，機(jī)械臂需要通過(guò)自身的伸展和收縮運(yùn)動(dòng)相協(xié)調(diào)，對(duì)基座進(jìn)行姿態(tài)回調(diào)。該算例結(jié)果表明，合理設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，可以通過(guò)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)調(diào)整基座姿態(tài)。

表6 遺傳算法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

圖10 基座擾動(dòng)最小且初末時(shí)刻姿態(tài)一致條件下機(jī)械臂展開(kāi)過(guò)程

上述分析表明，F(xiàn)SM系統(tǒng)中，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)給基座造成較大影響。一方面，這種影響可以代替GNC系統(tǒng)對(duì)基座姿態(tài)進(jìn)行調(diào)整，從而節(jié)省調(diào)姿發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料消耗。另一方面，通過(guò)研究影響的變化規(guī)律，可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的姿態(tài)補(bǔ)償系統(tǒng)，消除機(jī)械臂作業(yè)過(guò)程中對(duì)基座的不必要擾動(dòng)。

圖11 關(guān)節(jié)角速度，關(guān)節(jié)角，基座姿態(tài)角以及基座位置變化曲線

6 結(jié)論

本文提出了一種可行的FSM系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法。該方法首先確定規(guī)劃目標(biāo)，將機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為非線性控制系統(tǒng)狀態(tài)方程，將運(yùn)動(dòng)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為尋求滿(mǎn)足目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)控制問(wèn)題。為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化目標(biāo)函數(shù)，將輸入控制函數(shù)表示為Fourier正交基與其投影的積的形式，而目標(biāo)函數(shù)中對(duì)于初末時(shí)刻約束條件的處理采用增加懲罰系數(shù)的方法。

狀態(tài)方程和目標(biāo)函數(shù)明確以后，可以用多種最優(yōu)化方法解決問(wèn)題，而遺傳算法具有通用性強(qiáng)，最優(yōu)解全局性好的特點(diǎn)，能夠求解多種復(fù)雜的目標(biāo)函數(shù)。算法設(shè)計(jì)過(guò)程中，染色體采用實(shí)數(shù)編碼，長(zhǎng)度與Fourier基的數(shù)量一致；種群數(shù)一般選擇20～100(本文40)；適應(yīng)度函數(shù)需要根據(jù)遺傳代數(shù)進(jìn)行適當(dāng)縮放，有助于選擇最優(yōu)個(gè)體；交叉概率的選擇既不能破壞好的個(gè)體的優(yōu)良性，又不能使新個(gè)體產(chǎn)生速度過(guò)慢，一般選擇0.4～0.99(本文為0.8)；變異概率同樣要保持個(gè)體優(yōu)良性并較快地產(chǎn)生新個(gè)體，一般選擇0.01～0.2(本文為0.15)；遺傳代數(shù)是算法的終止條件之一，為得到更高精度的最優(yōu)解，遺傳代數(shù)越大越好，但計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，效率不高，一般建議選擇500～5000(本文2000)。為確保算法結(jié)果更快地收斂到全局最優(yōu)點(diǎn)，可先進(jìn)行若干次計(jì)算，從中選擇最優(yōu)結(jié)果作為優(yōu)秀個(gè)體再次參與遺傳計(jì)算，直到得到滿(mǎn)足精度要求的結(jié)果為止。

FSM系統(tǒng)相當(dāng)復(fù)雜，本文僅以較簡(jiǎn)單的二關(guān)節(jié)單臂系統(tǒng)為例進(jìn)行分析，得出了解決機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題的一般思路。文中內(nèi)容還有不完善的地方需要進(jìn)一步深入研究。如：動(dòng)力學(xué)模型為二維簡(jiǎn)化模型，僅考慮了關(guān)節(jié)軸平行的情況，需要進(jìn)一步分析多桿機(jī)械臂系統(tǒng)在三維空間的運(yùn)動(dòng)模型；載體姿態(tài)隨機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡和方向等因素的變化規(guī)律還需進(jìn)一步明確，以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制載體姿態(tài)的目標(biāo)；機(jī)械臂系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃需要進(jìn)一步嘗試多種最優(yōu)化方法，以提高計(jì)算效率等。

參 考 文 獻(xiàn)

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