劉國燦

?

一類剛性問題的序列分裂方法求解

劉國燦

(湖南文理學院 數(shù)學與計算科學學院, 湖南 常德, 415000)

將序列分裂方法應用于一類剛性常微分方程初值問題的求解, 通過理論分析和數(shù)例說明分裂方法處理此類剛性問題是收斂的.

剛性問題;序列分裂方法; 相容性

1 問題類描述

考慮如下類型的剛性常微分方程的初值問題:

說明 a. 問題存在剛性, 這意味著實際過程包含多個子過程, 這些子過程相互影響但變化速度相差很大. 文獻[1]指出, 人們對剛性問題的認識經(jīng)歷了從線性到非線性的逐步深化與完善的過程. 雖然目前仍無法給出其一個嚴格的數(shù)學定義, 但對其本質(zhì)形成了如下共識:

(a) 剛性問題欲求的解是慢變的, 但存在快速衰減的干擾[2], 這種干擾使得數(shù)值計算復雜化, 在數(shù)值穩(wěn)定性、計算精度及算法實現(xiàn)等方面帶來一系列實質(zhì)困難.

(b) 存在由快速衰減干擾引起的局部壞條件[3].

(c) 剛性問題具有巨大的 Lipschitz 常數(shù).

b. 剛性問題的解包含暫態(tài)解和穩(wěn)態(tài)解. 人們感興趣的主要是穩(wěn)態(tài)解, 因此暫態(tài)解至少要衰減到可以忽略不計的時刻. 若試圖在整個計算過程中使用顯式方法, 整個計算的積分步數(shù)將多到在量級上和剛性比相同, 尤其是強剛性問題, 計算量大得驚人, 甚至無法實現(xiàn). 由此可見剛性問題一般不宜用顯式方法求解, 而必須采用穩(wěn)定性好的隱式方法, 以避免或減緩數(shù)值穩(wěn)定性對步長的苛刻要求.

c. 問題(1)的右端函數(shù)既包含有剛性部分, 又包含有非剛性部分. 當然可以對整體用隱式方法數(shù)值求解, 但當所考慮的系統(tǒng)非常大的時候, 對函數(shù)數(shù)值離散所獲得的系數(shù)矩陣可能不是三對角的或是稀疏矩陣, 這將大大增加數(shù)值求解的計算量, 但若能對該部分用顯式方法, 一方面可以保證相應的精度要求, 另一方面可以提高計算效率.

d. 對剛性問題的誤差分析往往是基于(3)式的, 因為它是基于單邊Lipschitz常數(shù)的, 對于很多剛性問題, 它的經(jīng)典Lipschitz常數(shù)可能很大, 但是它的單邊Lipschitz常數(shù)很可能是適度大小的, 甚至是負的, 因此它能提供較好的逼真估計[4].

2 序列分裂方法

用序列分裂方法求解非線性自治常微分方程初值問題:

同樣, 對非線性常微分方程情形, 序列分裂方法也具有一階相容性.

針對問題(1)構(gòu)造數(shù)值算法, 并研究其收斂性. 基于顯式, 隱式Euler方法的序列分裂方法為:

3 數(shù)例

圖1 h = 0.001數(shù)值解圖像

圖2 真解瞬變圖像

[1] 肖愛國, 李壽佛, 符鴻源,等. 非線性剛性微分方程算法理論的發(fā)展[J]. 自然科學進展, 1999, 9(增刊): 1183-1186.

[2] Dekker K, Verwer J G. Stability of Runge-Ktta methods for stiff nonlinear differential equations[M]. Amsterdam: North- Holland, 1984.

[3] Auzinger W, Frank R, Kirlinger G. Modern convergence theory for stiff inilial value problems[J]. J Comput Appl Math, 1993, 45: 5-16.

[4] Shampine L F, Gear C W. A user’s view of solving stiff ordinary differential equations[J]. SIAM Review, 1979, 21: 1-17.

Seriessplitting methods for solving a class of Stiff problems

LIU Guo-can

(Mathematics Department, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

The series splitting methods was used to solve a class of stiff ordinary differential equation initial value problems. Theoritical analysis and numerical experiments show that series splitting methods were suitable for solving the class of stiff problems.

series stiff problems; splitting methods; consistency

O 241.8

1672-6146(2012)04-0001-03

10.3969/j.issn.1672-6146.2012.04.001

2012-10-16

劉國燦(1979-), 男, 講師, 碩士, 研究方向為常微分方程的理論與應用. E-mail: lg3_527@126.com

(責任編校: 劉曉霞)